Konspekt_po_algebre

§

1

сортировкиениядействия с матрицами

4

§

2

Îïðå åëители 1-го 2-го порядк в

6

§

3

Подстан

, перестановки, четности

7

§

4

Метод

пузырек . . . . . .

0

§

5

Аксиомат ческое введение определителей.

1

§

6

Вычис ение

оторых определителей.

2

§

7

СледствияФорму ы Биíå-Êîøè

4

§

8

из ормулы Бине-Коши

5

§

9.

Теоремы Лапласа .

7

§

0

Частный случай теоремы Лапласа

19

§

1

Фо мулы Крамера . . . . . . . .

1

§

2

бщий случай теоремы Лапласа . .

2

7.138..ÎпределительВЕКТО НЫЕступенчатойП ОСТматрицыАНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523

ëàâà§

§

1 Аксиоматикомбинации

§

2 Линейные

7

8.3.9. ангиЛИНЕЙНЫЕ. . . . . . . . .СИСТЕМЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3834

ëàâà§

§

9.1.

1 21 СистЛинейныемногообразиямылинейныхмногообразиярешенийуравнелиíейныхий уравнений

39

Линейные

§

2

• 9.2.1. Описаниеметодауссаидеального метода аусса

0

Идеальный

9.3.

4541

ëàâà§

0Псевдорешение. КВАД АТИЧНЫЕ. . . . . . . . .ФО. . . МЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§

1 Л нейные ормы . . .

§

2 Билинейная и квадратичная ормы

§10.3.Метод Лагранж (МЛ) . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

§

1 Начальные сведения .

§

11.2.

• 11.â2.конечномерном4321рама.АлгоритмКритерийбщийОртогональные-ШмидтвиддпространстваШмидтрамаскалярногоевклидовом. .системы.линейной.ортогонализации. . произведен. векторов.простра.независ. . . .èñòâå.ямостисистем. . .

векторов

3

2

1

Теория

§

3

Ор огональные по

4

§

4

Ìåòðèê . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

11.5.2Изомор. ЛИНЕЙНЫЕизм ЕвклидовыхОПЕпространствАТО Ы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7471

ëàâà§

§

1

ПреобразованиеЛинейность преобразование базиса . . .

§

2

ма трицы оператора при изменении базиса

5

§

3

Собственные числ , собственные векторы

6

§

4

Жорданова о

. . . . . . . . . . . . . . .

§

5

Алгоритм построения жордановой ормы методом башен

78

§

6

СУпрощенныеяждополненийсамосопряженные операторы

1

§

7

Поиск

к базисам ядер степеней оператора

5

§

8

Веществ

ая жорданова орма

89

§

9.Ортогональные преобразования . . . . . . .

1

§

0положМатрицальной критерииполуопределенноположительнойти(ППО)оп еделенности (ПО) и

§

1 Билин йные ормы в к мплекñных пространствах

7

§

2

билинейной рмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§12.13. Изменение матрицы билинейной ормы при изменении базиса . . . . . .

99

3

12.06.2012

îé,

0, . . . , n − 1;

0кольцат, .÷ê.Äëÿ. m ...−матриц)1.

определяются некоторые операции. Пусть элементы матрицы элементы

1. УмножениеK.

матрицы А на элемент этого кольца K.

орректно,

A Kn × Km (матрица над кольцом K), t K. Тогда

.

кольцоэлементов,ЕслиДляKтого,кольцонекоммутестьчтобыtAK:=

At :=

ta.11 ...

ta.1n

a11. t ... am.1t

tam1

· · ·

tamn

an1t

· · · am1t

ì.мутаенты1)былоòдолжныивно,кто,бытьсогласноизнужнокольцаопределениючтобыгруппыбыло(7.1)определено.верноAt=умножениеtA. Если(7.1)

элеативное,к(7

Сложение. Пусть имеются(n äâå× mматрицы).

A и B одной

Aýòèõ:=

,

X :=

a.11 ... a1.n

x.11 ... x1.n

Тогда сумма

am1

· · · amn

xm1 · · · xmn

матрицыопределяется так:

СкладыватьУмножение:размерностьюможноПуимеетстольк

дной размерностиA+B := .

a11 +.

x11

...

a1n +. x1n

.

am1 + xm1

· · · amn + xmn

матрица

A (n × m) матрица размерностью (n × m) è X (m × k

КлассичУмнож

(m × k)

аемскоеiопределениестрочкуматрицыпроизведения. A на j-й столбецAматрицыX. X и получаем элемент

cij

матрицы С.

m

p a.1ρxρ1 ...

p a.1ρxρk

называется строкой,

· · ·

когда

n = 1. 5

12.06.2012

m = 1. Матрица

Произведение C имеет размерность (

(7.2)

ci,j = aiρxρj

i = 1, n; j = 1, k,

C := AX :=

P

P

.

ρ=1

P

P

X

p anρxρ1

p aρnxρk

образом,(7.1), (7??.1)), (7(.??2))образуютпорождаюталгебраическуювекторное пространствоструктуру,.

называющуюся алгеброй.

Исторически опред ление умножения матриц (7.2) восходит к матричной записи си-

стемы линейный уравнåíèé

матрицыгде равенствонастолбецпонимается покомпонентно....

=

=: b,

определить умножение

Pm

n

b. 1

i=1 a1ixi

P

Отсюда естественно

i=1 anixi

bn

âðåстнойшитьДальнейшеенескоиразAxüêî:=

= . .

=

.

Pm

a.11 ... a1.m

x. 1

n

b. 1

P

приебуетсянеиз(7.3)-

ичнымиразвсистемтиесвободнымилинейныхоперацийчленами:уравненийнадатрицамис одинаковымдало задачи,коэ в ициентомкоторых т

an1

· · · anm

xm

i=1 anixi

bn

ãäå

= ...

Bi = ...

AXi = Bi,

i = 1 kполучаем.

Xi

A èõ=

x1i

b1i

a.11 ... a1.n

ойстрокзадачикак равенство,

матричнуюПонимаязаписьавенство,ак

соответствующих ,элементов,

xni

bmi

am1 · · · amn

îáêè:

теперькоторыхопределитьсправа,естьтопроизведеумножпоследченияениеем равенствематрицы слеванаможноматрицунавынестисоответствующийкакматрицуизAпозастолбцов,индексуск

столбецкаждыйЕслиматрицыиз

(AX1 ... AXk) = (B1 ... Bk)

Окончательно, вводя

det(A),

A(X1 .. Xk) = (B1 ... Bk) .обозна

X =

X1 ... Xk ) è

B = (B1 . . . Bk ), имеем AX=B.

íонаогомернымия:порядковтеориязадана.опилиаргументом,едели|A|. елейон.Определительотображаетквадратунк

цияВную§от7матрицупределитель.теории2квадратной. ОпределителиматрицольцоматрицыбольшуюэтоK, над1ункция.-гоОбознарольоторымтеоретических2играет-гом

т кОпри

det

решениисистемулинейныхуравненийприменяютсв

A −→ K

исследованиях и используются на прак-

еделители

ассмотрим

2-го порядкn

n.

A K × K

Ax = b, или в развернутом

âèäå:

Пусть

a11

a12

x1

=

b1

.

(7.4)

a21

a22

x2

b2

a11 6= 0. Используем методВыписываемусса. Первую строку делим на a11, умножаем на

a21 и отнимаем от второй строки. 6

12.ответы06.2012 .

1

a12/a11

b1/a11

,

0 a22 − a21a12/a11

x = b1 − a21b1/a11

x2 =

b2 − b1a21/a11

=

b2a11 − b1a21

,

a12 − a12a21/a11

x =

a22a11 − a12a21

−

. ункциями эле

÷òîaодинаковыеx =

−

=

b1

b1a22a11

a12b2a11

a22b1

a12b2

ментовЕслиНетрудноматрицывыражениезаметить,.

знаменатели

ответов являются

a11 − 11

1

2

a11(a22a11 − a12a21)

a22a11

− a12a21

рядка det

a22a11 − a12a21 принять за определение опр делит ля второго по-

(A) =: V ,

то ответ можно записать в виде ормустолбецКрамера x1 = V1,b/V,

Аналогичные, де

Vi,b

x2 = V2,b/V

-

мененДля этогонаболеестолбецпотревы

добно,ков и ввестиднако,понятияормуопределительлысоответствующиеаксиоматическое.можнополучитьматрицы,определениеункцидлявкоторойсстемотматрицопределителялинейныхi- . уравненийз.

буютсясокихb. Болеепоряследующие

назовемТеоремаОпределениекойОпределениеетствиеок.M7.3.M7Подстановки,и.1.множествоПусть77..54.. ЗаданиеБиекцияMмперестановки,конечноеперестановоклинейногоконечногомножествопорядкамножестваначетностиM насуществует.Ткîгданечнонаконечноемеждумножествевзаимномножествомназываетсяоднозначноеперестановкаподстановподстаносоот--.

§

Ä ê à.ç à

ë ü

. Вводим

àêîé-òî ïîðÿä к на M (просто нумеруем элементы):

существующего. Пусть существует биекция, которая отображает множестэквивалентностив себя,

{ò.m.1,T:..., mn} =: M

′

′

′

M

è

ужВводимM ←→бинарноеM , . отношение.порядкеслиавленияmiна:=намноT (mжжiестве) i =натуральныхM1, nс,помощью{mi, ..., mn} = M

чисел:отношения .

′

′

это правило сопост

биекции бинарному отношениюmiотображениемRT mj i <F.j

m′

m′

m1

mn

ñóùå-

. Между ними больше нет элементов. То

↓

T

↓ T

′

′

′

m1 R m2

... mn−1 R mn

Легко показать, что бинарное отношение

T

T

порядок.

îзьмаж.ем,двачтоэлементотображение

F подстановокRTнаудовлетворяетпорядкибудетвсеминъекциейаксиомам. отношения

порядкаВП

ствует

1

2

′

′

′

′

стьнек

другая j {1, ..., n}

R

,

акого, что

m1

mj

mj R

m2. Пусть существуå

биекция

S:

T

T

оторая

M ←→ M

порядок, соответствующий бинарному,котораяотношениюсогласноотображению F породит тот ж

самый

7

12.06.2012RT.

mi1 , mi2

m1′ m2′

i2 = i1 + 1

R 6= R

j

i1 < j < i2

m1′ R S (mj ) S (mj ) R m2′

mi1 mi1+1

↓ S′

↓ S′

Покажем, что

m1

m2

i1 = 1. Åñëè i1 > 1, рассмотрим m1. Согласно отображ ию F элемент

S (m1)

должен предшествовать элементу

′

′

минималåí äëÿ

îæü.

′

S (mi1 ) ≡ m1

. Íî

m1

íèÿ

îòí øå-

ПротиворечRT. Так каквлечетRT = RS, òî m1

минимален

äëÿ RS.

Ò.å. S (m1) RS S (mi1 ) Äàë

исключаем

èç

рассмотрения элементыи. Т. .

S (m1) = T (m1)

,

S (m2) = T (m2).

å

i1

= 1 i2

= 2

видно

m1, m2.

Если было всего 3 элемента, то, оче-

S (m3) = T (m3).

Åñëè áî

ее трех, то аналогично доказываем

S (m3) = T (m3),

довательно,i, j не авныхподстановкидруг. Значитдругу этоверноFподстановки,биекция.

в которых

äëÿ

ментарные

Ñë

Определениенекоторых двух7элементов.6. .дЭле.

S = T

S (m4) = T (m4)

втТедвухновкиЭлементарной

T (mi) = mj T (mj ) = mi ( s 6= i, j) T (ms) = ms.

îðяясьемаэлементов.езульпосл7.2. åподстановкатВседовательнымиперестановки)работыперестановкиэлементсоответствует.трарнойанспозициями,множестваподстановкинекотороезвозмущенностиnэтихизменелементовтраперестановокíспозицияиесоответствующейможно(переменаn!получить.местперестнеамипо--

Ä î ê à ç à ò

ë ü ñ

. Индукцией

уровню

.

Определе ие 7.7. Пусть сущ

вует перестановка

a1

...an

ции получесовпадают

à

âêà

. С помощью транс ози

перес

некоторого

í

из нее другая

становок

äî

íîìåðà:b1...bn. Пусть первые элементы этих пере-

ìåíò,

n ≥ d ≥ 0.

Ò ãäà

ai = bi, i = 1, n − d, an−d+1 6= bn−d+1

Инымиa.словами(Если n = d, òî i = 1, n − d означает, что i не пр нимает ни дíого значения).

З мментач d1.:=Всегдаmax {k |an−k 6= bk } S {0} .

перестановкедва эле

. Мы не можемd 6=изменить1, так какодинминимальноэлененадоизменивпереставитьбольше ничегохотябыв

ассмотрим(его обязательно надо будет с че

-то переставить).

d = 2. Тогда возможна лишь

дна транспозиция.

ïàíû

a1...an−1an −→ a1...an− anan−1.

Очевидно,.Наэточтобылаэтимизатраченадвумяперестановкамиодна транспозиция8 все12.06.перестановки2012

возмущенностью 2 исчер-

d = d + 1

d

{2, ..., n − 1}

a1...an− bn−d+1...bn

Сделаем элементарную подстановку

←→′

an−d+1.

{bn−Новаяd+1...bn}перестановк= {an−d+1ановки...an}будет.

иметь

â ä

′ an−d

a1...an−d−1 an−d+1 bn−d+1...bn,

причем

′

′

к этой перест

чеговсе подстановки, ко

рые были проделаны при перех.чаломПрименимде

òbn−d+1...bn

= {an−d an−d+2...an}

−→ a1...an−d bn−d+1 ..bn.произведемТсамым

все перест

ñ íà

a1...an

позицию

перест

âêèèñò.ä. äî

a1 ..an−d−1an−d+1. После

транс

an−1 ←→ an

, всего dобразом,.Таким образом будут

àíûanè−âñåd+1 ←→ an−d+2

можные перестановки с возмущеí остью

a1...an−d−1. Таким

получили все воз-

исчерпКогдаывающаядойдемуровеньнашим алгори

ìîìíностистрогоупорядоченноеконца,d.+ 1. Длятополучимэтогопотребовалось d + 1 операция,

Определение 7.8. Пусть имеется

множествоn! перестановок.

пом щью подстановки

a1 < ··· < an, ñ

âêè

T

получена перестановка

b1...bn. Два элемента этой п реста-

перестановкиличестсуммапорядок,

ïðè

образуют инверсию,

ëè

ментапрочитатьнего,общихинвåðсийестановки.количеств..элеменбольшкакЗдесьснарушаютèмизнакнверсийрогоиндперменьше< обозначаетстанксэлеисх

любое

строготношениебольшесехто

bi

инверсийегоони..образуютИныминверсийперестановкестрогоголовамиинверсиюпорядка,элементамиеслиего.этоКоличестводваможноправеесуммаэле

bi < bj

ментов

bj

i < j

и.ивкедныйКокак-

Ï

ример.

Было 12345. После подстановки стало 32541.

считаем количе тво и версий. 3 2 5 4 1

Êîличество инверсий

3

0

0+0+1;

2

относительно

5

+1;

Èòîã:ê6 èíâ ðñèé.

4

= 1.

то перестановка назыв ется четной.

перестановке

Åñëè

количествоинверсий

в перестановкчетно,нечетно, то перестановкà

называется

нечетной.

7.3. Одна транспозиция меняет четность перестановки

противополож-

Ò

íóþ.

ë ü â î. Äëÿ äâóõ

õ

теорема

. Пусть

еоремаД к а з а

соседж í

перестав

яемыми

элем нтами

r

элементов. Тогда вочевиднаисх дной перестановкмежду

эотчисломоойхжноднотеоремыхднойто,левее,чтокакпеетносравееазестрассавностьпåизреставìатриваемойенитсправымираспотьялевымисоседямитранспозициейсоседямиr раз.. Везусираз,ëуьт1ат:-йпотом,перестановкчаститотдокэлементазатотлильств

r + 1

четное, íàòî

Теоремараз,7зна.4.÷Числоит чеòчетныхстанетперестановокrпротивополо+ 1, потомавножнойещечислу.r разнечетных. Всего 2r è+ равно1 ðàç, . .

9

12.06.2012

n!/2.

четныхВернемс3) силунечетныете ремы. Тановк. .7общее.2, на числонечетныхчетно,местахто ихэтойпоровну,цепионечнуют.(.nчетные!)

перестановки, на

Четностьподсткогдакоммутативную)суперпозициичетна,однакогдасуперпозицииамиз. ееееучастницы. дстановокдвухчетна,подстановокобразуетобе четны,другаялиборавнанечетнаобесуммегруппу.нечетны,.ихначетностеймножествеи суперпо-.

Òподст.еорема.Нсупблюдение:новокрпозициячетна,7.я5(не.к

n!/2

(произведение)зиция

ü ñ â

. Каждую подст

можно представить как супер

þ

Ä

ê

Четно ть

элементарных подстановок,ановкуоторые

тветствуют о

ой транс озиции.

дстановки тогда соо

четности ксоличества элемент

дстано

âîê

суп рпозиции. аскладываяветствусуперпозиции 2-х

ïîдстановок каждую в суперпози-

Теорема 7 6. Обр

подстановка имеет

òó æå ÷åòí ñòü, ÷òî è

исходная.

цию элементарных, получаем,

÷òî

общая че ность есть сумма четностейарныхдных.

:

Ä

к а з а т е л ьатнаяс . азложим

подстановку

T â

извед ние

элемент

−1. (Если сделать одну и ту ж

то получим ис дíóþ

верно

.

Как былановокдоказано

T

−1

−1

−1ранспозицию,

арных

îâ-

T = T1

. .Tk

= Tk

...T1 .

Íî äëÿопределяетсэл м нтарной подст

êè

ТакимT

бразом,

оличеством

перестановку.)T

i

=

i

элементарных подст

Tk

T −1 = Tk ..T1

и четность T −1

ÿ ê

, ..., T1

пузырек, т. . равна четности T.

3+1акуюсортировкимножествопомощьюизмеряемуюсортировкуупорядоченыхсортировкинапешкаприìереи:методомэлементов,шахматныхпузырьканостоящихигур. . Внетеориивтом порядкешахмат. Ихи-

тоетс

ценность,

С)К)имМрримядочить

î

ÿ(Ë)

Ферзь(Ф)СлонКонПешка(П)Пусть7ассмимеют.4уп.

гурыможно§

Ëàä

- 84

оставим параллельно неупорядоченному столбцу игур (отмеченному звездочками)

упорядоченный:Ï

Ê

Ñ

Ë

*

Ô

во втором столбце, точно такие будем делать и в перв м.

Проводя

ратная перестановктранспозиции.

Поэтому если се ией транспозиций второй столбец упорядочится, то в первом будет об-

Метод сортировки

начинаетс

с первых двух позиций столбца. Если есть инверсия,

делаем транспозицию, их упорядочиваем

тем самым (пузырек в этом случае второй

10

12.06.2012