Konspekt_po_algebre

Преобразование переменных (столбцов)

(12.19)

T

n

называетсваниянеособым преобразованием, еслиy = Sxматрица S невырождена (

нальное

|S| 6= 0

дногобразПустьассмотримскдляалярного.дногоОниспецитеснопроизведенияскалярногоьныйсвязанывидпроизведениясуществуетсотакихскалярнымнеособыхконтинуумбудетпроизвдениемпреобразованийакортогональныховым. дляПреобразованиедругогоортогональпреобразований. Однак). ыеортогопредля-.

ваныОпредесогëасноениеопределению12.9. Матрицаск

x · y := x y,

x, y R .

T

лярногоS орт нормировапроизведе

ияа, если все ее столбцы ортонормиро(12.20)

ормированна(12.20). Преобразование. (12.19) на-

зываетсяОртонормировтогàльным,нность матрицыесли матрица S орто

ортон

åùå,

матрицыSTS = I

S

= S

. Таким

бразом, в качестве

−1

Пусть

очевидноа равенству

S

T

S = I

. Действительно.

S эквивал нт

S = (S1 ..., Sn). Тогда это утверждениå

следует из

ОтмермированностиортогональногочS S =

.

S1 S1

... S.1T.S. 2

... S1 Sn

T

T

Sn S1

Sn Sn

T

−1

определения

Поняв пространстве столбцовпреобразовани(можно взÿтьдляравенстваобщего случаяT жительноска, ярногоибоT произведе

симметричная

S

S S = I

S

= S .

ие видаинымT , способомгде. Каким?поло - Намекопредедаетсëåдуюнная

Теоремащая

12.13матирца). Скалярноеобычнопроизведеx · дитсяy := x Hy

H

−

зования:тогональноД к з амут епреобрл ь с тазованию. Пустьпеременных.

(12.20) инвариантно по отнош нию к ор

T

x, y столбцы. Делаем с ними ортогональные преобра-

x′ = Sx y′ = Sy

T

T

(12.21)

′

′

′

′ (12.21)

T

T

еоремаоперВ рноатору12и обратное.14. Если.

скалярное произведение инвариантно по отношению к некоторо-

ìóÒ

= x

· y = (x ) y =

x S Sy = x Iy = x y = x

· y.

столбцам x y, выясняем,xTy÷òî= (~x·~y) = xTATAy. Придавая значения

Теорема 12.13

следующее92 .

12.06.2012 ATA = I.

углынойСогласнодлинымежду

определевклидовомíèþдлиныóãëà åæäóïð ñòвекторамианстве. оворят,тогональноеевклидовогочто ортогональныепреобразованиеост нства естественсохраняет

соответствуютвекторамивращен

ю системывекторовоординат.

матрицы A называетсяпреобразования-

Ортогональным преобразование

пределениезначение:вида 12T.12.,СледоматрицыматрицыгдеT

называется сумма ее диагональных элементов.

Îразованиеб

S AS

S S = I.

ТеоремаД к а 12з а.т15Spå ë.Aü= Pi=1 aii.

n

матрицы:

Следс т в о. аскрываемавенопределительсумме ее собственныхарактеристическойчисе .

обрТпени

|A − λI| = (−λ)

n

+ SpA (−λ)

n−1

+ ... = (−1)

x − SpA λ

+ ... .

n

n

n−1

еоремаазованиюП авнаименим12второму..16Инымитеорему. СледксоэловамматрВиета:ициентуцысуммаинвариантен, взятомувсех корнейс обрапо полиномаотношениюным знакомсединицейк .ее ортогональномупри старшей престе-

T

T

T

Ä

ê

ò å ë ü ñ ò â

. ассмотримSTS = Iхарактеристическое= SpA = Sp(STASуравнение).

.

Òî å|Aòü−характеристическиеλI| = 0 0 = уравнения|S | |A − λIматрицы| |S| = |кратностиS À(A −матрицыλI)S| = |S AS − λI| .

ñовпадают12.17. Определительих собственныеортогональнойчисла с учетомматрицы авен. ПрименимT

эквивалентнытеорему12.15.

ТЗначитеорема

S AS

Ä

к а з а тлыеь с т в о. Определение

|S

±1.

орму Бине-Коши свойства12.11

S| = |I| = 1

случай

определителей,влечет T имеем

Используя частный

Ò. .Извлекаем2.

квадратный коре ь получаем

|STS| = |ST| |S| = |S| .

1 = |S|

n

2 , ò. .

норма сооòâåòствует нор е веêòîðà.

E

Определение 12.13. Подчиненная норма это±1.

12.14.

Шуровская норма= sup

||A ||.

Определение

||A||

x

синоним

ев лидовой норме:(12.22)

x

матрицы

P

x6=0

||

||

A

Шуровская нормаa

являетсшуровскаяпорождением следуещего скалярного произведения:

||

||

:= q

i,j=1 ij

X

A · B :=

aij bij

(12.23)

i,j

√

E

= ||A|| =

A · A.

93

12.06.2012

(12.23)

S

S S = I

Ä

ê à ç à||÷òSAразмерностилучили||üE = â||AS. Преоб||E = ||Aазова||E èå (SA) · (SB) = (AS) · (BS) = A · B.

 â ñò÷òîëáöû

áû ïð â

è ê ïðивычномуBâèäó= SA. Пустьлинейное. ¾Вытянем¿ матрицы А и

òîãî,

сопостмы

åñòü

A = (a1, ..., an). Первый столбец

b

Sa1, остальные столбцы никак не учас вуют

этом. Пусть

X

Y = XTYX. ассмотрим матрицу

Xìàòí ïðавстиц лбец,¿дной

стоящавляетсяй изпорядокверностолбцов¾сверхуматрицывниз¿,. причемОтметим,порядкучтодляследованиялюбыхквадратных¾слева

0

S

0 ...

0

:= S матрица преобразования.

S

0

...

0

·

b

b

b

...

0

0

0 ...

S

B

SA

столбец высотой

2. Исследуем матрицу ˆ.

0 S

b

= b b

n

I

0

...

,

т.е. матрица

STS =

0

I

0 ...

0

(12.24)

b b

...

b

0

0

0 ...

I

Отсюда

S ортогональна. По построению

b

A · B = b ·

A

B.

T

T

T

T

ортто естьУго

c d

b b b b

b

b b b b b

· B,

(SA) · (SB) = SA · SB = SA SB = (A) S SB = A B = A

кношениютожек .умножению на

ствательно,

м альнуюскалярноежениематрицусправапроизведениеПустьслева. ИматрицаматрицшуровскаяХинвариантносонорма,тоит следэтого,ïî

T

T

T

строку

1

X

· Y = X · Y è

XS = XS. Èñõ äÿ èç

X1′ , ..., Xn′

. Сопоставим ей

очевидно,′

÷òî

′

ˇ

. Если для строк взять

êàë

рное пр изведение

U

V := U V

T, òî

x , ..., xn

=: X

Sс правой(смотри

)

(

=

e

e

g

e b

прошлый семестр, .там было94 доказано,12.06.что2012 левая обратная матрица совпадает

·

матрицей)

e e

e ·

e

·

f

· g eb e b eb b e

òîгональную12инвариантность.1. матрицускалярногосправа. И,произведенияследовательно,матрицшуровскпо ойтношениюнормы тожек умножению.

Леммана орЭ

AS

BS

AS

BS = (AS)(BS) = AS SB

= AB

= A B = A B.

Ä

к аобратнойз т Så TSü ñ= Iâ î. SST=I.

ST = S−1,

ò.å. ST левая обратная матрица по отношению к

õ äèìî

√

Q áûëà ÏÏÎ, íå á

ò

Sp Q ≥ kQk

Sp Q ≥ n − 1 ||Q|| .

îвидурмыбраор-.

îтносительнутеоремамкквадратичныедиагнальномуэтогосуществуетпре

азаннымE

матрстаточношуприводящееховскаяцамитьдимостьдоказательснорма.Согласноквадратичнуюинвариантныво,докрассматривая

одиагональные

зПрит ваниялькголасноДэтомальноек. Этодиагональнымизкактпреобразование,позволяетслед,ь E ак.упростН

Докаж

ÿ,

q1

..., qn ≥ 0

ñîã

критерию ППО,

элементы Q неотрицательны:Пусть орма ППО. Тогда,

Q = diag(q1, ... qn).

qi ≥ 0 i.

Возведем в квадрат условие необх димости:

n

X

n

2

X

2

X

2

Ï

леднее неравенство(Sp Q)гарантировано= qi + 2

выполняетсqiqj ≥

qi

когда= kQkE .

1

i>j

1

мостьДîñдоказататочíостьа. .

НемППОэквивалентное утверждение:

.

Необходи-

√

Åñëè

влечет Sp

E .

Q

Q <

n −

1 kQk

Q íå ÏÏÎ, òî îäíî èç qi, согласно основному критерию, отрицательно. Пусть

qn <Sp0. Тогда

v

v

√

qi < √

qi = √

ПояснениеQ < . qi

≤

1

|

qi

| ≤

n

−

1

n

−

1

1

n

−

1

Q

. векторов:(12.25)

1

u

1

u

k k

n−1

n−1

n−1

n

X

X

uX

uX

t

2

t

2

Здесь третье неравенство есть известная связь между нормамиE

kxk1 ≤

√

kxk2

m

заменить на более

m

слабоеЗ мусловч

отрицательнойвида, г1. УсловиеразмерностьнеобходимостивектораППО. соответствутеореме нельзя

Контрпри

. Матрица(1 + ε) SpQ ≥ kQkE ,

ε> 0.

äåëенной орì . È äëÿ íåå

Q = diag(1, 0, ..., 0)

ет положительно полуопре-

ТеоремаДля 12.20. Для того,полуопределенносдостаточно1 =îáûSpквадрQ = kатичнаяQkEпоявляется= 1. орма минусс матрицей.

ходимо

12.06.2012E √

Q áûëà ÎÏÎ, íåîá-

E

è

95

−SpA ≥ kAk

−SpA ≥ kAk

n − 1.

разумеетс

условен. раду

пределяемые согласно рмулам

симметричнойãî êðó-

матрицыг(12(.28)исунок(12.29), ни длявесьмакого n не совпадут сы,градусом Северного полярн

66

◦

33

′равно′′

(23

◦

26

′

16

′′). Кроме того, число па аметров

44 ) и тропиком ак

n(n−1)/2. Ïðè n = 2 три парам тр

íî ýò проектирувы жденный случай. При

2. F (x + y) = F (x) + F (y), x, y V .

¯

.97

12.06.2012

F (tx) = tF (x),

x V, t C

1

A(x; x + y) + A(y; x + y) − A(x; x − y) + A(y; x − y) + iA(x; x + iy)−

W =

4

(12 30)= 4

2A(x; y) + 2A(y; x) + 2A(x; y) − 2A(y; x) ,

− A(y; x − iy) =

1

−A(y; x + iy)) − iA(x; x

− iy)

=

4

A(x, x)

+ A x; y + A(y; x) +

A(y, y)

−

A(x, x)

+ A(x; y) + A(y; x) −

A(y, y)+

тоОпределениеесть ормула12.16. . Бèдоказа

+iA(x, x) + A(x, y)

− A(y; x) + iA(y, y) − iA(x, x) − A(x; y) + A(y, x) + iA(y, y) =

1 линейная. орма называется эрмитовой, если