Konspekt_po_algebre
.pdfниваемтопредыдущимåãîåñòüпредыдущимэлемент,. Призаканчиваинверсии(пузырекíà-òðåòýòîìñÿ, |
éместе,перехàíîâäèìíèæòüñÿ. Íêåñòîвторым)îìóÿùèìпузырек. ÅñëèПотом, гдеперестаетинверсия,сравниваемдилсбытьпузырекòî пузырек. Ñðàâñ- |
|||||||||||||||||||||
стано итсявсплытиениж стоящий. Н |
инверсиитранспозицияпускается нижместу. Процесс заканч вается,пузырькогда |
|||||||||||||||||||||
последний пузырек всплываåò до своего ур вня, и он рожден либо следнèì |
элементом, |
|||||||||||||||||||||
либо все нижерасположенные относительн |
åãî ìåñò |
рождения не образуют |
инверсий. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Этому алгоритму соответствуют рагмент |
программы на С: |
|
|
||||||||||||||
float a[n ; /*массив, |
который следует упорядочить по возрастанию*/ |
|
|
|||||||||||||||||||
swap (float |
, float |
) /*обмен значениями*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
loat s; s |
= ; i>0=d; |
d=s; } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
{flotationor |
t |
|
i--) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(a, |
nt k) /*процедура всплытия*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
if (a[i <a[i-1 swap (a[i ,a[i-1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
} |
else break; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
main |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{for (int k=1; k<n; k++) flotation (a, k);} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Определение§7.5. Аксиоматич7.9.Опрзадаваеделителское ввåмдениеn-го порядкаопределителейквадратной. матрицы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ется ункция от нее, |
|
мая ормулой |
|
|
|
|
|
|
kai,j kn называ- |
|||||||||||||
всех перестан вок чисе p = (p1, p2, ..., pn), I(p) числоP |
|
|
π |
|
|
, здесь p |
||||||||||||||||
перестан вка изльзуетсячисе |
|
|
|
|
det A = |
p π(−1)I(p)a1p1 |
...anpn |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
такое{1, .., nобозначение}. |
|
|
|
|
инверсий в p; |
|
множество |
|||||||
|
|
Часто испо |
|
определителя: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Определитель матрицы 3-го порядк вычисляется согласно|A|определению= det A. |
7.9 òàê: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
тыхматрицыЭто.можно.Левыйзапомнитьрисунокпомощьюдляполодвухжительныхс ем, в слагаемыхкоторыхв.тройкиПравыйобъединеныдля отрицательэлемен- |
||||||||||||||||||||||
í |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22a33 |
+ a12a23a31 + a13a21a32 |
|
a13a22a31 |
|
a11a23a32 |
|
a12a21a33. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 12.06.2012
|
индексу, |
|
|
|
|
|
не изменится: |
a1p1 ..anpn |
сомножители упорядочим по |
|||||||||||||||
|
|
X |
aq11...aqnn(−1)I(q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|A| = |
|
|
|
|
q = (q1, ..., qn) |
π |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
q π |
|
|
произв дении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно,второмуСвойствоДк обратнаяз е л ьэтойс онов{1.очевидно, ...Åñëè, n} |
|
|
.anpn =aq11...aqnn, ãäå |
q1...qn òð íñ- |
||||||||||||||||||||
позиция, |
по тношению к |
p1...pn. |
|
a1p1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме 7.6 четности p и q совпадают. |
||||||||||||||
Íà îñíî àíèè1. |
теоремыI(pполучаем) |
важнейшееI(q) |
свойство. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a1p1 ...anpn (−1) |
= aq11...aqnn(−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ðîизвольныечиеможносвойства.2 Еслизаменитьопределители,следуютднаTсловоизи стровоямоакстрокстрокивсехизAопределениязаданныенулевая,другихна столбцысвойствахтопосредством7.9.,Наиопределинаобороихнекосноторогове.елей,Строкиможноправилагдевычислять,говоритсясто.бцы |
|||||||||||||||||||||||
кроакстрокахвноправныП |
|A| |
= |
|A |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 От перестанов |
|
|
|
|
|
â |
|
|
|
|
|A|= 0. |
|
|
|
|
|||||||
íåò. |
4 |
две строки рав |
|
, тоdet его знак меняется, а абсолютная величина |
||||||||||||||||||||
|
|
5 |
пропорциональнымистрокумножаетсянаdetчисло,=0.Прочието |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det |
множается на число. |
|
|||
Свойство 7. detÅñëè |
|
дна строк |
|
есть суммастрокамистрокравен нóëþ. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
, òî |
det = det1 + det2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совпадают, где |
|
det1 |
на месте a стоит |
a1 |
, |
â |
det2 |
|
|
местеa стоит |
a2 |
. |
|
|
сроки в другие, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det1 det2 |
|
|||||
со строками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство= 0. |
det8. Если. одна из строк есть линейная комбинация других, т. . |
X |
|
|||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai = |
λj ai, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=6i |
|
det |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на некоторые |
ñëàdet. не меняется, если к одной строке прибавляются |
умноженные |
||||||||||||||||||||||
|
Вычислениематрицытреугольннек. îйторыхматрицыопределителей. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
§ТреугольныеОпределитель7.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
квадратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Если все элементы над главной диагональю |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 0 . . 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 .....0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
нулевые, то |
|
|
íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
диагональюнижняя. треугольквадратнойая матрицаматрицы. нулевые, то она |
||||||||||||||
называетсяЕсливсеверхнейэлементреугольнойыподлавнматрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определения:элеТеоремаментовД к а7з..а8т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. помощьюроизведениюаксиоматическогодиагональных |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ..... |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
еОпределительл ь с т в о. ассчитаемтреугольнойэтот матрицыопределительавенс |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 ... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12.06.2012. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|A| = |
|
|
|
|
|
|
|
|
I{p1,. .,pn} |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a1p1 ...anpn (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(1,...,n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p πX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 6= 1
Здесь сумма |
|A| = a11 |
X |
a2p2 ...anpn (−1)I{1,p2,...,pn}. |
||
|
|
(p2,...,pn) π(2,...,n) |
êïìíîтораядматрицаобразуетсят−акжсиоматическтреугольнаяиз исх дн й определениекаквычеркиваниемисх дная;определителяпервого столбцаподм трицыпер порядкай строки(n.−Ýò1),
|
жества |
{2,. . . ,n}. Ò |
åñòü |
|
|
|
|
|
π(2, ..., n) − множестâî перестановок |
|||||||||||||||||
уже вычлененавторяем.действие: |
выносим за знакнесуммымогутпринимать значение |
1 |
, так как единица |
|||||||||||||||||||||||
|
|
p2 |
, ..., pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Ïî индукцииэлементов:получим, что |
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
диагональных |
|
|
|
|
|
|
определитель треугольной. И .дматрицы. равен произведению |
|||||||||||||||||||
|
Если транспон |
|
|
|
|
|A| = (a11 |
(a22(...(ann)...))) = a11a22 |
...ann |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
матрицамметрическиеравняется исходнойматрицысо знаком. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рованнаяКосос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ется кососимметрèческой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− , то она называ- |
||||||||||||
|
|
|
матрица кососимметрическая,A = −A òî åå |
aij = −aij |
i, j. |
|
|
равны |
||||||||||||||||||
Åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
диагонаэлементыьные лементы |
|
|
|
||||||||
|
Ä é ñ |
â |
|
ò |
ë ü |
. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||
æå âðåìÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B := −AT = Aвторого.Тда |
B = A |
|
|
|
bii = aii, íî â òî |
|||||||||||
|
|
|
|
bii |
= −aii |
. Значит |
aii = |
−aii |
, òî åñòü |
|
|
|
aii |
|
|
|
|
|
||||||||
под диагональю равны элементам над диагональю со знаком равны нулю, а элементы |
||||||||||||||||||||||||||
|
Примеры. Кососимметрические матрицы |
и третьего− .порядков: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
0 |
c |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
Умножим |
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
|
0 |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислимвсеопределительстрокиопределителякососимметрическойна |
матрицы произвольного порядка. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюдарема 7.следует9.(Åñëè1) |
A = |
|
|
|
|
|
= det( A) = det(A ) = det A. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
| |
| |
|
−a.11 ... |
−a.1n |
|
− |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
− |
|
· · · |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òå |
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åå îПроверимпределительвручнуюавеннулютеорему. A −7.9кососимметричнаяна определителе третьегои ее размерностьпорядка. нечетная, то
|
0 |
a b |
|
|
− | | − − |
− − |
− |
|
− |
|
− |
|
|
−b |
−c 0 |
|
|
|
|
|
|||||
Теорема −7.9a |
верна.0 c |
|
= ( |
1)n A = 13( a)(a0 |
12(.06.2012cb)) |
|
b(ac |
|
0b) = acb |
|
bac = 0. |
тикиазмерностьПу§ оченьестьопределительмного.ям угольные матрицы |
A и минорыB, можно умнож ть A íà B справа. Это |
||||||||||||||||||||||||||||||||
посчитзна , что размерности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A è B должн выглядеть так: k × n вычисляяn × p, соответственно. |
||||||||||||||||||||||||
Коши исслеC :=îâàëABслучай,тогдакогдаk × p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
àòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = p, тогда C − квадратная ма рица k ×k. Можно |
||||||||||||||||||||
Определение 7.10. Пусть|C| черезв некототорыерой матрице |
A è B, íå |
|
|
|
|
его на прямую |
|||||||||||||||||||||||||||
ществуетИсх дно матрице |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строк |
столбцов |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A выделеныпересеченияJ L |
|
|
|
|||||||
þò. Ò ñòü |
|
|
|
A |
индексы из множеств ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
впада |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J , L. При этоматрицымощности J è L |
||||||||||||||||||
строк и |
столбцовˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выделенных |
|||||||||
|
|
J J |
L |
L µ(J) = µ(L) =: r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
определитель. Его называют минороматрице.Обозна ение: |
A, для которой су |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
наниепорядка.качествеКогдаизаргумконтåнта,кстатоп |
естья нопервыйоосткак й |
|
|
|
|
|
|
опуска ьминорееупоми-го |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
речь, будемMJ L(A) |
|
r |
|
||||||||||||||||||||||||||||
матрицы |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MJ L. Если минор з хватываезахватываетвсе строки |
|||||||||||||
|
|
|
, то второй индекс у него опус ается: |
MJ ; если минор |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(L = L) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
все столбцы матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 7.10. Пусть |
|
|
ˆ |
, |
òî |
|
|
|
|
|
èíäåê у него опускается: M,J . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
(J = J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ственно. Тогда, если |
A è B матрицы размерностью |
(k × n) è |
|
(n × k), |
соответ- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k ≤ n, |
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|AB| = |
|
|
|
,n) |
|
|
|
|
M,J(A)MJ(B), |
|
|
|
|
|
|
(7.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J π(1,... X µ(J )=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
J := {i1, . ., ik} − подмножество индексов, из множества |
{1, . . . , n}. |
Причем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
i1 < i2 < ... < ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
, ãäå |
ai′ = (ai1...ain); |
|
è èç bi |
= |
|
|||||||||||||
состоит матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Д о к а з а т е.л ь с т в о. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b.1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bni |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
B = (b1...bk ). |
Здесь |
i = 1, k. |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X |
a1i1 bi1 |
1 ... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a′ b ... |
a′ b |
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
AB |
|
= |
... ... ... |
= |
|
|
|
... |
... |
|
... |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
| |
| |
|
|
|
i1 |
|
ik |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a′ |
b ... |
a′ b |
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aki1 bi1 |
1 ... |
akik bik k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1i |
i 1 |
|
i2 |
|
|
|
|
|
ik |
k k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
же множЗдесьествавсеиндексы |
|
|
|
a |
1 b 1 |
|
X |
a1i2 bi22 |
|
X |
a1i bi k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зрованиидного и того |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
суммирования пробегают независимые значения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
i2 |
· · · |
|
|
· · · |
ik |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aki2 bi22 |
|
|
akik bik k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X aki1 bi11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
столбцами:общ й множи.Далее- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знакостальнымиопределителяâ ñóìì |
|
|
|
||||||
простоТворческэлементовпроизводятсяятель {силапервого1, ...,Коширутинныеn}.столбцапроявиласьвыкладкиделаем14расстановк.тоВыносимже12.06самое.2012 индексации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стхавитьябы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a1i1 |
i2 |
a1i2 bi22 · · · |
ik |
a1ik bik k |
|
|
|
|
|
|
a1i1 |
... a1ik |
|
||
| | |
|
i1 |
|
|
· · · |
|
· · · |
· · · |
|
· · · |
|
|
|
i1,...,ik |
|
|
a |
... a |
||
AB |
= |
bi1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
bi1 |
1 |
...bik k |
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
... |
. |
||||||||||
лю.Поэтомури совпадающихследнейвторыхсуммеиндексахможно |
ik |
|
лишьвдвухопределителиакиестолбцахнаборыопределитель равен ну- |
|||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
i2 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
aki2 bi22 |
|
|
akik bik k |
|
|
|
|
|
ki1 |
kik |
|
|||
|
|
|
aki1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
того,емотслагпослдругаемыедниетолькпо знакомдинаковымзависимостинаборамдним , новжествомкоторыхтпоряд- |
|||||||||||||||
кавтонетðдвухасположенияыхининакеквыхмогутиндексовиндексовотличаться.Сгруппи.Блеедруг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i1, ..., ik ) |
|
|
|
|||||||||
и вынесем |
каждой |
акой группе оп еделитель за знак суммирования. |
(i1, ..., ik ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|AB| = |
|
|
|
|
|
|
idem = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} i16=...6=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i {1, ..,nX |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
|
|
|
a1i1 . . |
a1i |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
... . . |
|
...k |
|
|
|
|
|
|
|
|
bj11...bjk k( |
1)I(j), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πлемопределению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj11...bjk k (−1)I(j) по аксиоматическому |
||||||||||
− |
i1<i2 |
определителя есть |
|
aki1 . . |
aki |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
<...<ik {i1,...,ik} {1,...,n} |
|
|
|
|
j π(i1,...,ik) j=j1,...,jk |
− |
|||||||||||||||||
|
сперестановкидинаковыминаиндексамиспискеаргументов. Сумма всех коэ ициентов перед определите- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
j π(i1,...,ik) j=j1,...,j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В итоге: |
|
|
|
MJ (B), ãäå |
|
J = {i1, ..., ik }. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|AB| = |
PJ M,J (A)MJ (B) − ормула Áèíå-Êîøè. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ç ì ÷ í è 1. Åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда полагается |
k > n, |
то матрицы A, B |
имеют миноров k-го порядка. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
M,J (A) = MKJ (A) = 0 = MJ (B) = MJ K (B). |
|
|
|
||||||||||||||||||
Теорема§7.8. 7Следствия.11.Если из ормулы Бине-Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
няетсяД к а з а |
ь ждествоA . BИзсуммесловияквадратныеэтойматрицытеоремыоднойследует,размернчтîсти,в теоремето |AB7.|10= выпол|A||B|-. |
|||||||||||||||||||||||
|
k |
= n. |
Тогда в (7.5) будет J |
= {1, ..., n}, |
M,J(A) = |A|, MJ(B) = |B|, |
|||||||||||||||||||
πТеорема(1,(Этот..., n) =же7.(112резуль, ...(то, n), а . можно.вКоши)получить(7. .Пусть5) извсего |
дно слагаемоеЛапласа..См. далее.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a′ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = (c, d), ãäå |
||||
|
|
c1 |
|
|
|
d1 |
A = b′ |
||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||
|
|
. |
|
|
|
. |
|
ai1 |
ai2 |
||
|
|
cn |
|
dn |
|
||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
тождествоД к а з а,Кошит е л ь.с т в |
î. |
помощью15.ормулТогдаБине12.06.2012-Коши. |
|
bi1 |
bi2 |
||||||
b = (b1 |
...bn) c = |
|
,Cd = |
|
|
|AB| = |
1≤i1<i2≤n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a′ = (a1...an),
|
ci2 |
di2 |
|
− |
|
ci1 |
di1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТеоремаНа этом7.13основыв(неравенствоется |AB | = |
|
b′c |
|
b′d |
= a cb d − a db c. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a′c |
|
a′d |
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
′ ′ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Êîøè). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |(cTd)|, ãäå c è d − столбцы |
|||||||||||
одной высоты. Иными |
|
ловами |
|
|
|
|
|
|
|
p |
(cTc)(dTd) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
еКошил ь с т вво. |
|
|
|
|
q |
|
|
ci |
|
|
diîðìå≥ |. |
|
|
|
cidi| − |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X X |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
неравенствоД к з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
координатнойПусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a′)T = c, |
(b′)T = d. Тогда из (7.6) следует |
|
|||||||||||||||||||||||
|
С другой стороны: |
|
|AB| = |
|
|
|AB| = cTcdTd − cTddTc. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Заметим, что |
|
|
|
|
1≤i1 |
<i2≤n di1 |
|
di2 |
ci2 |
|
di2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
ci1 |
|
ci2 |
|
|
|
|
di1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
cèçi2 |
|
|
|
c |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äðóã ê äðó- |
||
гу матриц. По теоремеi1 |
|
|
|
|
i1 |
|
|
определителейi1 лители |
транспонированных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M T |
|
= M . Применяя ее, получаем |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теории |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1857 |
|
|
|
di1 |
|
di2 |
|
|
|
ci2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|(7AB.7),| |
|
≤n |
di1 |
di2 |
|
|
≥ 0 |
|
|
Отсюда |AB| ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
||||||||||||||||||||
= |
≤i1<i2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
ci1 |
ci2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Принимая во вниман |
|
разложение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
− |
|
|
|
|
|
≥ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
матрица размерностиTcdTd |
cTdd c |
|
|
|
|
. |
Èç |
|
социативно ти умножения матрèцэквивалентго,что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
служенноАН |
|
|
|
|
|
|
(1 |
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1804 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
îñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) не меняется при транñпонировании, следует |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1844, 1849) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
еравенствоВгодуКошиБуняковский. езультатобобщил1821 годаэтонеравенство. для. интегралов:Извлекаякорень, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(cTc)(dTd) |
≥ |
(cTd)(dTc) |
|
|
|
|
cTc)(dTd |
≥ |
(cTd) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
f |
|
(t) |
t Za |
g |
|
t)-1889)dt ≥ ñZa |
|
f (t)g(t) |
|
t . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1830 |
|
|
|
|
|
d |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
иктор Яковлевич Буняковскийd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лазападнымиКошиБине. Вероятность,-Бунякакадемик,ученымиовскоготеория.. потомЕгоимячисел,вицеиног-президентанàлизнеза.- |
||||||||||||||||||
|
Â. 1884Написалупотребляетсямоугольныегоду2ШварцучебникапереоткрылвдляназванииОбщаяшколыормулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
(CLJ |
|
= (Cij )i L,j J ). |
|
А она, очевидно, является произведением по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть имеютс |
|
ïð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы |
|
|
|
|
|
−Êîøè |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (n × m), |
B (m Ч k). Тогда любой минор |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C = AB можно вычислить по ормуле |
|
|
|
|
|
обычную, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ä å é ñ ò â è ò å ë üMí îLJ.(C) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MLP(A)MP J (C). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ(P )=µ(L)=µ(J ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P {1,...,m} X |
|
|
|
2012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MLJ (C) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ðèöû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть определитель квадратной подматрицыдматрицыCLJ - |
||||||||||||||||||||||||||||||||
AL = (αij ) |
|
|
|
|
|
|
на подматрицу |
|
BiJ |
= (bij ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
получаем общую ор- |
|||||||||||||||||||||
мулуПрименяяБинеi-ÊîøèL, jê{ýòèì1,...,m}подматрицам ормулу16 |
Áèíå12.06i.-Êîøè{ ,..,m} j J |
|
|
|
|
летали,§но749чтопришел-1827все открытоЛаплас. Великий. Лагранж даже бросил занятия математикстойчивостьнавысочайшемнескольк
1812 − Pierre Simon Lapla e (Пьер Симон Лаплас)
рия вероятности− появилась). 1799книга-1825 Theorie analytique des probabilites ( Анал тическая т
Определендвижóнойскорровневесовсистемы,ения.этогоБлагодарЛуныдвижндексытрудадоказал,7ения.).11Лапласему.говорит,Луны,Пустьчтовнедрялисьразвилкольцовыяснилматрицанапр− Вышлитеориюмер,Сатурнаметруровеньстрокпятьто,иапчтодолжноèëприплюснутостиограммлярности,мовЛапласНебеснойбыть.обосновалбылразрывпредседателеммеханикиземногоым,у шараоткрыл(Опалапричиныскоростисолнечмер-
жество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
вадратная; инд ксы ее строк образуют мно- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ˆ, è |
|
|
ее столбцов |
|
|
множество |
ˆ. Пусть их мощности одинаковы: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ˆ |
|
J |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
вованных |
миноре |
||||||||
|
|
ˆ |
|
|
|
Тогда мощности |
|
|
|
и столбцов, не задейс |
||||||||||||||||||||||||
µ ) = µ(L) =: n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
MJL(A)вычеркивания, тожеобудут |
равны. Т |
åñ ü |
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
− r |
, ãäå |
r := µ(J) = µ(L) |
. |
||||||||||||||||||
|
µ(J\J) = µ(L\L) = n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(Напомним,ñÿ îò |
|
|
\ − тео етик -множественное вычитание.) Значит то, что станет |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
òåëü |
азываетсядополнительныйст стоминоромлбцов |
тоже квадратная матрица. Ее определи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
ðминоруокльнымL |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||
дополнительный минор к |
|
|
MJL. |
|
|
(к исходному минору). Обозначение: MJL − |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
определениюминор. к дополнительному минору равняется исхименно,д- |
|||||||||||||||||||||||||
му миноруПонятно,JL ибо:что |
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M = MJˆ\ ;Lˆ\L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем рассматриватьJ\(J\J) =далееJ,множестваL\тольк(L\L) =простыеL. |
варианты множеств |
|
ˆ è ˆ |
. À |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Определение 7.12. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
{1, ..., m} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = {1, ..., n} , |
L = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
J, L |
имеют одну мощность: J = {j1, ..., jr } , |
||||||||||||||||||||
для минораическим |
|
|
S(J, L) := j1 + ... + jr + l1 + ... + lr |
называ тся ункцией четн сти |
||||||||||||||||||||||||||||||
L = {l1 |
... lr |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
минор |
|
MJL. П сть матрица A |
|
|
квадратная (n n), |
åй выде яется нек торый |
||||||||||||||||||||||||||||
Алгебр |
|
|
|
дополне ие |
называется число |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JL. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
′ |
|
||||||||||
|
|
|
MJ L. умноженныйЭтомиору соответствует некоторый дополнит ëüíûé ìèíî |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ныйТеорема 7.14. Алг браич наскоетотдополнениежезнак,кчетноститодополнительномувопре′ дополнительноголенииS(J,Lминору). åñòü |
исход- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AJL := MJL(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.12 |
: |
A ˆ |
ˆ |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J \J ;L\L |
|
|
||
|
Ä êSà(J,Lç à).ò |
л ь с т в . Вычислим ункцию |
|
|
|
|
|
äëÿ |
|
|
|
|
|
|
минора: |
|
|
|||||||||||||||||
MJL(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
минор, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
какассмотримдно из чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÒàêS(J |
\J, L\L) = 1 + ... + n − j1 − ... − jr + 1 + ... + n − l1 − ... − lr = n(n + 1) − S(J, L). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n èëè (n + 1) |
|
|
ч тное,алгебраическтоn(n + 1)- четное. Следовательно, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆднойелителя. матрицыминораестьсумма−Внасо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ниямиопределителяS(J,Lэлементов) обапроизведениеS(исхопреJ \J,L\L) |
|
|
|
|
|
|
егознакихом-то+слагаилиоемых,дополнение-+. Следовательно,являющихся.Поопределениюпроизведе |
|||||||||||||||||||||||||||
(−1) |
|
= (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим мно- |
||||||
жествоесть суммаак произведенийхэлеменсучеòîв матрицызнакчерезВ со знаком |
èëè - . |
|
|
MJ LAJ L |
||||||||||||||||||||||||||||||
P |
на суммирование элементов множества, имеемσJL. асширяя операцию суммирования |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
12.06.2012MJLAJL = P σJL. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тиебудетОпрсовпадаетинверсияий,Понинверсииделениеудобноли передно, .чтосузить7ниманьше. |
|
σ |
|
|
≡ det B = |
|
P σ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
î13бщее.стоитадрВ мычислосериис считали,kинверсииинверсииэлементовчто. перестановкеинверсиябоудемльшихсчитать,егоотносится. согласночтокэпоследнемупарементэлементовимеетопределению.k Теперьинвер- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
÷èñë |
|
èíâ ðñèé îïð |
|
|
|
|
|
ранее. Однак |
теперь каждая к |
кретная |
|||||||||||||
|
|
|
приписана к конкретному элементу. Наибольший элемент, где бы он |
стоял, |
||||||||||||||||||||||
не имеет инверсий, наименьший элементделенных, г бы он ни стоял, никому не создает инверсий. |
||||||||||||||||||||||||||
высотыЛемма |
|
|
|
|
|
|
. |
Ï ре естим столбец |
|
|
на первое место |
|
|
столбцов |
{ai} |
|||||||||||
|
|
|
7n.1Пусть. Пусть A = (a1, ..., an) − матрица (n × n), состоящая из I(J ), |
ãäå |
||||||||||||||||||||||
число инверсийинверсJ := (j1, ..., jn) π(1, ..., n). Тогда |aj1 ...ajn | = |A| (−1) |
|
I(J) |
||||||||||||||||||||||||
Д ановкз а |
л ьлевымJò. î. |
усть индекс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
È |
ак далееq − 2äîðàçà,индексаинверсий. . столько раз, сколько |
|
|
было у индекса 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
индекс ми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jp |
= 1, |
|
тогда он образует |
|
p − 1 |
инверсию |
||||||||
|
|
|
|
j1, ... jp−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ajp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ерест |
|
àìè |
|
|
|
зменятьсñîñ äîì. Знак определителя измениться |
последовательными |
|||||||||||||||||||
раз, сколько |
|
|
|
|
й было у индекса |
|
jp. |
|
|
|
|
p − 1 |
раз, . . стольк |
|||||||||||||
ïрочихПустьиндексов не è |
|
ÿ. |
|
|
|
Инверсия индекса 1 станет 0 |
инверсии |
|||||||||||||||||||
|
|
|
jq |
= 2 |
. Т гда у индекса 2 будет |
q − 2 |
инверсийрсии. Переставили столбец |
ajq |
íà |
|||||||||||||||||
изменитьсвторое местоя последîвательными пе естановками |
левым соседом. Знак определителя |
|||||||||||||||||||||||||
Теоремараз, сколько7.15 |
|
|
|
|
n − 1 |
Суммарно, знак определителя изменитьс |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
всего. |
|
|
áûëî |
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = (bij )1n. |
стольк |
||||||
Минор,Дслучайкдополнительныйз σJLñ âσ ., БудемJ, Lдоказыва{1, ..., nü}.теорему для матрицы |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
. |
J = {1, ..., r}к=главному,L. (МинорырасположенM |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
типа JLвсправомтаки |
нижнемJ, L называютсяуглуматрицыглавными.) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно определениям |
|
|
|
MJL |
JL′ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
p πX |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b1p1 ...brpr (−1)I( |
|
) |
|
|
X |
|
|
b(r+1)q1 ...bnqn−r (−1)I( |
|
)(−1)S(J,L), |
|
|
|||||||||
ãäå |
|
MJLAJL = |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
q |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,...,r) |
|
|
|
|
|
π(r+1,...,n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
I(p¯), I(q¯) − количество инверсий в p¯ è q¯, соответственно.
ВыполнимS(J, L) =перемножение:1 + ... + (r + 1) + ... + n = n(n + 1) − четное число, поэтому (−1)S(J,L) = 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
X |
|
|
|
|
|
|
||
полагде |
MJLAJL = |
|
|
|
b1p1 ...brpr b(r+1)q1 ...bnqn−r (−1)I( |
p |
)(−1)I( |
q |
), |
||||||||
|
|
|
π(1,...,r |
|
|
|
π(1+r,...,n) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(p,¯ q¯) π(1, ..., n) − какая-то перестановксправедливиндекс в |
1, ..., n. Так как индексы из |
||||||||||||||||
p¯ не образуютаем,что инверсий с индексами из q¯, |
î |
I(p¯) + I(q¯) = I((p,¯ q¯)) (здесь |
|||||||||||||||
|
(p,¯ q¯) = ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p, q) = (p1...pr18, qr ...qn−r )12)..06.2012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñû, |
|
|
строк, |
|
|
è |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
индекановкиак |
|
. ., lr }òàê |
его столбцов, |
порядо- |
||||||||||||
÷åíныСогласнопо возропределениюстрокианию: минора,J = |
{j1, ... jr |
} , |
|
L åãî= {l1 |
|
|||||||||||||||
лучаю 1. В мàтрице |
1 ≤ j1 |
< j2 < ... < jr , |
l1 |
< l2 |
< ... < lr . Приведем случай 2 к |
|||||||||||||||
ñòтрокой |
|
B строку с |
|
ñîì j1 |
|
переставим со строкой |
j1 − 1 |
потом со |
||||||||||||
j1 − 2. È |
ак далее, до перест |
|
|
|
|
вой стр кой. Придется переставлять |
||||||||||||||
определителяановкиТ разм.ж спос бом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ j2 − 2 ïåðå |
||
. Äëÿ |
|
|
j2 поставим на вт рое мест . Потребу |
|||||||||||||||||
|
меняетсиндексяj3 |
j3 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нут строками |
|
|
минанужноизпротивоположныйперестан.Окîвкинчательно,. .. От каждойстроки перестановкиндсамистольJзнак |
|||||||||||||||||
Т ж самое проделàем со столбцамиR := {1, . . . , r}. |
lr }. Знак определителя изменится |
|
||||||||||||||||||
ê ðàç: |
|
|
|
|
|
{l1, ..., |
- |
|||||||||||||
Заметим,Столбцы счтоиндексами из L станут столбц ми с индексами из R, с сохранением порядка. |
||||||||||||||||||||
j1 − 1 + j2 − 2 + j3 − 3 + ... + jr − r + l1 − |
1 + l2 − 2 + ... + lr |
− r = S(J, L) − r(r + 1). |
|
|||||||||||||||||
пре бразов ний матрицы |
|
|
|
|
|
|
матрицу, которая получится п сле |
|||||||||||||
|
r(r + 1) |
− Вчетноечерез число′ |
и обозначим′ |
|
|
S(J,L |
σ (B) |
|
|
|
||||||||||
если при каждой |
перестановк |
соответствB . Тог σ (B ) = (−1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
да нно меняютспроизведениямножества. Синдексовдругойстороны, |
||||||||||||||||
которым строится минор (первое измен ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J, L |
ïî |
||||||
меняются, значит, не меняются и слагаемые J |
:= {1} ( |
J |
\j1) |
), |
то миноры MJL è MJL′ |
íå |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
′ |
|
|
|
|
|
JL′ , òî åñòü |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
èõ |
|
|
|
|
|
|
|
MJLM |
|
|
||
|
σJL(B) = (−1)S(J,L)σRR(B′) (−1)S(J,L)σ (B′) = σ (B). |
|
(7.8) |
|||||||||||||||||
Теорема§7.10. 7.Частный16.Определительслучай матрицтеоремы Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
B может быть разложен по строке |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и по столбцу |
|
|
|
det B = |
bij Bij |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
det B = |
bij Bij |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.10) |
i=1
для любогоi означает,столбца,чтоа разложение ве но для любой строки, j определению− азложение верно
Ä |
ê |
à |
Используем. |
предыдущий резуль ат. По |
|
минора |
|||
|
ü ñ â B. ij = Aij (B) |
|
|
|
|
|
|
||
bij = Mij (B). Обозначим через σij множество слагаемых в произведении |
|
|
|||||||
|
|
|
i+j ýòî |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
соответствующимиБыло доказано теореме 7(15,−1)÷òîMij (B)Mij (B) = bij Aij (B). |
|
|
|
||||||
Пусть |
знаками. |
|
− набор произведений элементов матрицы B с |
||||||
1) |
σij |
|
σij − разновидность σJL ïðè |
|
J = {i}, |
L = {i}. Тогда |
i |
j |
|
|
|
σik = = j 6= k (общих |
|
S |
σij |
|
|||
2 σij |
σ = σij σ = σU := j σij σ ; |
|
|
|
|||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19элементов12.06в.2012 при одном |
и разных |
|
íåò). |
|
|
|
|
bij Bij |
bik Bik |
|
bij Bij |
||
|
bij |
bik |
|
|
|
|
|
bik Bik |
|
3) àç èõbikпересечениеэлементов:пусто,bij |
â |
|
|
|
|
|
. |
|
|
4 П считаем количество слагаемыхµ(σU ) ≡ |
µ( |
j σij ) = |
j µ(σij ) |
|
наборе σij |
||||
подноиндекто же количество |
σU . |
Sетрудно заметить,оличествочтолюбомP |
|||||||
ñàì |
|
(n −1)!. |
Íî (n −1)! − ýòî ê |
перестановок |
|||||
1, .., n} \ {j}. Тогда |
µ(σU ) = |
j |
µ(σij ) = n(n |
|
1)! = n!. Очевидно, что |
||||
Ç ì ÷ í{и 14. У ормул |
|
P |
|
|
− |
|
(7.9) |
|
|
σU σ |
µ(σU ) = µ(σ ) < +∞ = σU = σ = |
|
|
понированномОпределениепо строке попорядке,7столбцу,. . Матрицаназываетсясоответствиз алг,взаимнойåбраическихнно. есть.Тоназванияесть,дополнений,еслиразложениерасположенныхопределителявтранс- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.9) |
(7.10) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
взаимная матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B := |
b11. .... |
b1.n , òî |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn1 . . . |
bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
... |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B11 |
. |
|
B1n |
|
|
|
|
|
˜ определяется ормулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
диагональюПосколькуатнойисходной.речьизопределителейидетматрицыобалгебраическихивзаимнойисходнойвматрицы:любодополнениях,порядке. тоестьматрицадиаго- |
||||||||||||||||||
нальнаяЛеммаподрЗазумевается7матрица.ч1. Произведениеква2с. B |
|
|
|
|
|
|
|
|
B := |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
Bn1 |
. . . Bnn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
· · · |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.9) |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
(7.10) |
|
|
|
|
|
||
ремыД й с. тПокажем,в и теоремул ь нчто. |
Значениерочие элементыдиагональныхравныэлементов0,напри получаемер,элементизспредыдущейиндексами тео- |
||||||||||||||||||||
|
˜ |
|
|
|
|
· · · |
· · · |
|
·..·.· |
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
AA |
= |
|
|
|
. |
|
= |
AA. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя |
|
Ëàïласа (частный случай) |
обратноì направлении имеем |
2, 1. |
|||||||||||||||||
|
|
a21 |
·· ·· ·· |
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Íî ýòî |
a21 |
a2n |
− |
результат умножения 2-й строки |
A |
на первую строку . |
|||||||||||||||
c21 = det |
a31 |
· · · |
a3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a· · · |
· · · |
a· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
n1 |
· · · |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Определениекоторой,акак7.15две. Единичнойстрокидинаковыматрицей. Аналогично, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 6= j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гонали |
|
|
стоят единицы. |
|
|
I называется квадратная матрица, по диа- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
· · · |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
1 |
12.06. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
0· · · |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
0· · · · · · · · |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · 2012 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|