Konspekt_po_algebre

ãäà

A

F

операцийзуютс. . A алгебраическая структура. Операции из F могут быть заданы на множестве A,

Обозначим

→ M1

(A)

;

на декартовом квадрате

A

ò.å.

F2 : A × A → M2(A)

,обкитак далее.

F1

: A

операциямидляобозначения семейства операций указанного. Здесьтипа. Иигурныепусть естьск множиспольство-

F := ({F1(·)},

{F2

(·, ·)},

{F3(·,

·, ·)}, ...)

B

дного типаG = ({G1

(·)}, {G2(·, ·)}, {G3(·, ·, ·)}, ...)

между

совпадают:

. Причем мощн сти семейств

µ({F1}) = µ({G1})

,

µ({F2}) = µ({G2})

, . . .

. Ìíî

ества

P åñëèB ñ Q. Òîãäà

единяютсяествами, например, A

упомянутым уже типам операций прис -

соответственноMi(Aествами). КогдаMi(ñóùåB) существулибоетнебиекцизависÿтмеждуотA è

B è

совпадают,

ëèáî åñòü

A è B

ϕ

ìíîæ

AеслиB (A ←→ B), то говорят, что

полняются связи

A è B

ет изомор изм,

в случае

Mi(A) = Mi(B) âû-

а в случае

F1(x1) = G1(ϕ(x1))

F2(x1, x2) = G2(ϕ(x1), ϕ(x2)), ... x1, x2, ··· A,

Mi(A) = A, Mi(B) = B выполняются

ϕFi(x1 ..., xi) = (Gi(ϕ(x1), ..., ϕ(xi)))

Аналогично определяетс. я изомор изм лгебраических структур с несколькими мно

æi, x1

x2, . . . xi

A

F11 : A × P → M11(A), G11 : B × Q → M11(B), F2,1 : A × A × P → M21(A),

G21 Теперь: B × B × P → M21(B) ...

т.ппомимо.т.д.

изоморлибоными,равно

Mij (B), ëèáиекцииопервое

åñòü

, âò ðîå

B

. И структуры

называютсяMij (A)

A

существует биекция

ϕ,

óæå óïîмянутыми свойст ами,

ψ : P ←→ Q,

нзитивно,

такая, что

случае

M11(A)

= M11(B)

âåðíî

и .п.ассмотрим.д.

âà íûé ïðèà

векторного пространства, то

F11(x, p) = G11(ϕ(x), ψ(p))

когдар.ДляM11(A)

6= M11

(B)

ϕ(F11(x, p)) = G11(ϕ(x), ψ(p))

лены операция слоæåíèÿ ýëåìåнтов и операция умножения на элементV íàä ïîëÿåì P опреде-

P .

Теорема 11.14 об, изоморто есть изме ли ейных, пр странств,. тоПустьес

F1,1 : V ×P → V

.

F1

(x, y) = x + y

F1

: V ×V

→ V

F1 1

(t, x) = tx

любоеДныекпространствазвекторноел ь

L1

è

L2

простран.днойСв йазмерностиñòâî изоморразмерностиадностиоднимтр

лем, тогдапоэтони изоморесли оказать,ны. линейчто-

столбцов высоты

r

àд полем P

èçîìор но пространству

полемдруг другу,товсе.Пустьвекторные пространства îãîдной размерности над

дним полем изоморr надны

P

E = (e1...er )

~x L1

представим

T

виде линейной комбинации

базис. Тогда любой

. .1.

базиса и элементов как

-то столбца.

~x

L1

=

x :=

~x =

x.

Åñëè

~y

L1, то существует столбец

x

xr

E

x1

+

y1

y = (y1...yr )

. такой, что

~y = y. È ò ãäà ~x + ~y =

. . .

. . .

дистрибутивностьПоопределению. законаПоэтомувнешней композиции для векторных пространств.

меет место

E

E

xr

E

yr

сложению

~x + ~y =

. . .

сложение векторов

x1 + y1

соответствует

координатных71 столбцов12.06. .2012,

аким образом,

E xr + yr

x1

tx1

векторным пространством размерности

r

P

r

стваТеоремаполем.дной11

~xt = E

. . . t = E

. . .

xr

txr

разме.15 обностиизомор изме евклидовыхнад полемпространстви столбцами. Евклидовывысоты надпространтем же-

размерностиД к

топределяетспространствомь . Установимконечной

изомор ныизм. между евклидовым пр странством

произведен

(

)

Er

år è

алярногормувещественныхлй: столбцов высоты r, äëÿ

от рых скалярное

Введем для

r

x · y = Σxiyi = xTy.

Äëÿ âû÷

сленияE ортонормирск ванный

E = (e1...er ), òî åñòü EET = I.

ортонорм

произведениябазис

~x · ~y

~x

~y

ïî

базисарованному базису

воспользуемся разложением

è

T

T

(òàê êàê

EE

T

).

Таким

разом, между евклидовымE. ~x ·~y пространством= (Ex) ·(Ey) = x r (E)y = x

y

= I

пространствупомощью

E и пространством столбцов

{x}

лучить,результатыговселярноеЗвекмпроизведениеорныеанствачассматриваяотноситестолбцовпространстваможно1E. Все.стльнСледовательно,ановленатойвекторноерезультатыполькожлучить,любогоизоморвысоты,прострбиекция

~x = Ex

конечныассмаотлюбчтоанствадругоимерногосительнормулойериваяразмерностьевклидоводругустолбцовто.евклидовалькоюбпространствасогопростр. Этконечскалярнымпрострбиекцияанствамерногоанствабудет.Такимпроизведениесохраняетстолбцовизможновекторнообразом,мор.скВсеном--

xЗадача· y = x.TyÏóT.ñòü

C[0,π]

пространс во

епрерывных ункций на промеж тке

линейной оболочке:,

,

вектора

f1(t) = 1

f2(t) = sin t

f3(t) = cos t

[0è ,åùåπ]. Воднуэтом ункцию,пространствепринадлежвозьмемщуютриих

Z0

π

f = f1 + f2 + f3.

Пусть

S := L(f1, f2)

оболочкыйбазис f1

f2

h · g :=

h(t)g(t)

t

1

линейная

а л нейной,

об лочки

d . Требуется

2. Найти ор

гональную проекцию

B трех векторов.

тельно

f íà S, ортогональную

оставляющую f относи-

ешениеS ðàññ.1òî. Ортогонализацияяниеотf äî S, . по.: ШмидтуprSf , ortSвекторовf , ρ(f, S).

f1, f2 с нормировкой.

ke k

Z

π

g1 := f1, g1 :=

g1

,

k~g1k := s 0

1 · 1 dt = √π =

g1

g1 = 1/√

e

e

π

Находимпервыйвторо вектор ортонормированного базиса:.

e

g2 = f2 − α21g1 = 0 = f2 · g1 − α21g12 =

p

Z0

π

2012

e

Нормируем

1

1

π

2

2

g

:

·

√

π

√

π

0

√

π

e

−

√

π

−

π

α21 = f2

2

g1

=

e

sin t dt = − cos t

=

=

g1 = f2

.

g2 = f2

k 2k

s

0

− π

72 2 − π12.06.

2

g2

π/2−

4/π

g e =

Z

π

r

ke k

−

sin t

2

2 dt =

π

4

=

g

=

g2

=

sin t

2/π

§Пусть12.1.

Линейностьсиомам:преобразование базиса

оператор

V

W - векторные пространства

ад одним числовым полем P . Линейный

удовлетворяющее. A это отображениеак

дного векторного пространства

другое (A : V → W ),

II. A(x + y) = Ax + Ay x, y V ;

ÏîëåA(tx) = tAx

x V, t P .

II'îäèí.

вариантP можетаксиомыбытьII:действительным и комплексным. Для комплексного P åñòü åùå

АкЛ нейниомые¯

линоператорыйности( выноситсятеснопервогоизсвязано-родапо :знакI+IIспреобразованием.опеАксиомыаторалинейностив сопряженномбазиса.второгоПустьвиде)рода. : I+II'.

A(tx) = tAx

t

(12.2

Здесь

~x = E′x′.

базис про транства

′

′

′

E = (e ...en

между б зиñàìè çàä íàV ормулой:E = (e1

...en) ′ другой базис пространства V . Зависимость′.

да для любогоматрица.)

E = E T . (Система E линейно выражается через E

T Тогневырожденная

~x V

разных базисах, что

найдутся такие x, x′ координатные столбцы вектора ~x в

. .1. ,

~x = Ex,

1)

x =

x′ =

. .1. . Напомним еще раз, какова связь между x è x′.

x

x′

xn

xn′

′

′

′

′

(T x) = E

′

′

~

′

E

(x ) = ~x = Ex = E

T x = E

(T x − x ) = 0

(T x − x ) = 0 =

Пусть

x′ = T x

(12.3)

ðàç

A линейный оператоорпервого рода. Каждому обр зу ~y

соответствует его прооб-

Ae1...Aen)x линейная комбинация из пространства

W

. Пусть

B := (b1

bk )

áàçè

пространства

W

. Значит, каждый образ

Aei

комбинации

может быть

представлен в виде

По определению координат

+ ak2x2 + + aknxn) = BAx

= b1

(a11x1

+ a12x2

+ ... + a1nxn) + ... + bk (ak1x1

образом,

(a11x1 + a12x2 + ...74+ a1nxn) первая кооордината для y. Таким

· · ·

В матричном виде:

yk = ak1x1 + ... + aknxn

к торой стоит разложениеy =образаAx,

соответствующегодеA прямоугольнаябазисногоматрица,вектора каждомпространствастолбце

ïî базису пространства

V

З м ч матрица1. ЕслиWв. к честве базиса пространства

ñòâà

W берутся образы простран-

V , òî

преобразования состоит из единичных столбцов. В этом

лучае

k ≤Åñëèn.

самый базис,A(линейный: V÷òî→ Vдля,топространствакчествебазисапрообразовпростран.Тогдва образов обычно берется тот ж

степени квадратная матрица.

Пример. Векторное пространство многочленов

A

n.

V := L(1, x, ..., xn), ãäå

цирования, x, ..., xn)

ейнаяоператороболочкпервого производа):(1, x, ..., xn).

Пусть

A

îïåð òîð äè åðåí-

L(1 Образ пер торогобазисного вектора

äíàÿ îò′.

Af = f

Образ â

базисного вектора производная от1, равная0.

аскладываем

базису. И так далее. Получаем

x,

1.

ïî

0

1

0

0

0

0.

0

0

3

0