Konspekt_po_algebre
.pdfматрицамент которойI |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
− список диагональных элементов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Определение |
7.16. Обратнойdiag матрицей |
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I = |
|
(1, ..., 1); |
|
к квадратнойdiag матрице |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AA = |
(Δ, ..., Δ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A называется такая |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
ЛеммаЗ 7.Bч2, (ончтоисвойстве3AB. Обратная= I.единичнойОбозначается:матрицаматрицы)не всегдаA :=.существуетB1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ТДеоремак з т7е.л17ь.с Пусть. Элемент |
|
|
|
|
|
|
|
|
AI = A A |
IA = A |
A |
||||||||||||
|
|
|
|
|
тсяарно,матрицас помощью определения умнож;ения2) матриц. |
|
. |
||||||||||||||||
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица,−1 ещe существует |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, и существует A |
|
тогда |
|
−1 |
|
||||||||
|
|
|
единственна, .то ассмотриместь существует. леваяКвадратобр |
àÿ |
|
|
|
A |
= D |
||||||||||||||
обрДатнаяк зDаматрица: åDAлассоциативныйь = I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
группу, то ес ь |
|
|
|
группоид. Можно−1. êàê óãî íыео расс рицыавлятьобразуютскобки. полу- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
DAA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
DAA−1 |
= D(AA−1) = DI = D |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Единственность вытекает из того, что все |
= A−1 |
|
= D. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
DAA−1 |
= (DA)A−1 |
= IA−1 |
|
= A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема 7.18. Пусть матрица |
|
|
|
|
|
A−1 равны D, их не может быть несколько. |
|||||||||||||||||
обратная м трица как левая, такAделимневырождена,правая: то есть |
|A| 6= 0, тогда существует |
||||||||||||||||||||||
Ä |
ê à ç à å ë |
â î. Åñëè ïî |
|
|
все элементы( B) AB = BA = I. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B := A |
−1 è AB = BA = I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
A íà |
|A| |
, то получим матрицу |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§Пусть7.11. данаФормулысистемаКуðàвнениймера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax = b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.11) |
||||
ТеоремаA − (n7×.19n.) Систеквадратнаяма матрица, x, b − (n ×единственное1) олбцы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
невыр ждена. Иными словами,(7.11) всегда имеет |
|
|
решение, |
сли матрица A |
|||||||||||||||||||
ассоциативности:Дкз е л ь |
â . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
b. |
|
||
Покажем|A| 6=единственность0 = ( !x)Ax. =Пустьb, кромесуществутого,етx такой= A |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
÷òî |
Ax = b. Умножаем этî равенство слева на обратную матрицу. |
A−1(Ax) = A−1b. |
Èç |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
A)x = Ix = x. Таким образом, |
x = A |
−1 |
b. Единствен- |
|||||||||||||
ностьСуществованиедоказана. A. Òàê(Axêàê) = (A |
|
||||||||||||||||||||||
(7.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2012 |
|
|
|
−1. Подставляя в |
||||||
|
|
|
|
|
невырождена, то |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−1 |
bдоказано,получаем. |
A |
|
|
−1 |
|
|
|
− |
|A| 6= 0 = A |
|
|
|
|
|
|||||||
Существованиеx = A |
b = A(A21 b) = (AA12.06. |
|
)b = Ib = b, |
то есть (7.11) истинно. |
−1 |
|
1 ˜ |
|
x = A |
b = |
|
Ab |
|
=Åñëè|A|. |
|
, |
òîãî,x1 = |
A11 |
|
An1 |
|
=: |
1. |
|
|
|||||||
Êàê x := |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
b.1 |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|||||
получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
считается определитель? |
|
|
исхчтоднойполучилосьматрице.заменяется первый столбец на столбец |
b |
è |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
1(A, b). |
|
|
|
|
И так далее: x2 |
= |
|
A12 |
· · · |
|
An2 |
|
b.1 |
=: |
2, |
2 = |
2(A, b). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
= |
|
, i = |
1, n |
− ормулы Крамера. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема§7.12.7.Общий20.Для случайлюбой квадратнойтеоремы Лмàтрицыпласа |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
верно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(n ×n) äëÿ âñåõ L N := {1, ..., n} |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть|A| = |
|
|
|
MLJALJ . |
(7.12) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(J )=µ(L)=:r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J N µX |
|
|
|
|
|
|
||
(7.15): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σLJ − набор слагаемых из MLJALJ. Тогда, по теореме |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
σLJ σ = σ σ . |
|
|
|
|
|||||||
äèí ýëåìTíòJ 6=ç K, например, j-é |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|||||||||
аждаяk-й, в каждом из слагàемых миноров до жен быть |
||||||||||||||||||
ëè÷ û,σLJñëèσLK = =соответственно,J 6= K èáî ìèí ðàõ MLJ è MLK к к минимум два столбца раз- |
||||||||||||||||||
|
оличество-го и,дополненияэлементовк в |
|
|
|
|
|
этимизведенияхжэлеìентамииноров |
|||||||||||
|
|
-ãîпарастолбцаслагаемых.Значит,будетивпро |
|
|
||||||||||||||
алгебраические. |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
îнатл 3)хчнасчитаем |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J[ |
|
В каждом |
σU = |
σLJ. |
(7.13) |
N
σLJ одно и то же количество членов, поэтому
[X
µ(σU ) = µ( σLJ) = |
µ(σLJ) = |
J N |
J |
X
Количествосилуразличныхпункттельно, = 2членовверно Cсовпадаетr!(n r)!ñ
r −
n
|
J N µ(J )=r |
|
Ç ì |
1. Когда |
σU = σ |
|
|
множество. |
частный |
лучай теоремы Лапласа. 22 L |
n!
=êîличествоì· rчленов!(n − r)!определителя= n! . Следова-
r!(n − r)!
сужается12.06.2012 до одного элемента, получается
Определение§ |
7.17. Матрица |
|
|
âèäà B.21 |
B.22 |
· · · |
|
|
называется ступенча- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
B11 |
|
0 |
·. ·. .· |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
òîé, ñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bm2 |
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bm1 |
|
|
|
|
Bmn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
J = L). Следовательно, в сумме (7.12) только для J = L |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Bij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ri |
× |
равенrj ), rk |
≥ |
1 |
k |
|
|
||||||
лейТеоремадиагональных7.21не. Определчисла,матрèац:теВоспользуматрицыступенчатойразмерностиматрицы |
|
|
произведениюопределитель. ите- |
||||||||||||||||||||||||||
Ä ê |
ç |
ò å |
ü ñ |
â |
î. |
|
|B| |
|
|
емся теоремой. Лапласа и раз |
æèì |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |B11|...|Bmn| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
AТеоремаLL − тоже7.22ступенчатая. Если матрицыматрица, определитель, которой раскладываеазмерностия аналогично. |
|||||||||||||||||||||||||||||
по первым |
|
|
|
|
L := {1 ... r1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|B| |
|||||||
главный ( |
|
лястрокам |
|
Èç |
всех миноров |
|
|
LJ |
|
|
отличны отпроизведениенулятольк |
||||||||||||||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (B) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
MLJALJ будет ненулевым: |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|B| = MLJALJ = MLLALL = |B11||ALL|. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
J =L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A и B − квадратные одной |
|
|
|
|
(n × n), òî |
||||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выпишем вспомогательную|AB| = |A||B|. |
|
матрицу ступенчатого вида. (7.14) |
|||||||||||||||||||||||||||
S := |
A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1, ..., an, b1, ..., bn − столбцы, |
||||||||
−I |
B , |
|
A = (a1...an), |
B = (b1...bn), |
|
ãäå |
|||||||||||||||||||||||
Используя предыдущийединичнаяматрицарезультат, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
I := (e1...en) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПервыйS = столбецA B = умножим на= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
...a |
|
|
... |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 ... |
1n |
0...0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
| | |
|
| || | |
− |
|
|
− |
1 |
− |
n 1 |
n |
|
|
|
−... |
|
11 |
1n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
a1...an |
|
|
|
|
|
|
an1 |
...ann |
0...0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
I |
B |
|
|
|
|
e |
... e |
b |
...b |
|
|
|
|
1...0 |
b |
...b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b11 и прибавим |
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
...b |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0... |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
nn |
|
ноль а месте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
результат к |
-му с олбцу. Получаем |
|||||||||||||
столбцу |
|
|
|
b11. Втор й столбец умножим на b21 |
и прибавим результат к (n + 1)-му |
||||||||||||||||||||
элемента (a11 b11 ... 0 0 b21 ... bn1)T. |
П лучаем ноль на месте b21 . И так до обнуления |
||||||||||||||||||||||||
|
bn1. Определитель не изменится: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
an1·...· ·ann |
·0· · |
· · · |
· |
0· · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11...a1n |
a11b11 |
· · · |
|
0 |
|
|
|
|
|
2012 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
||||
A |
B |
| |
= |
|
· · · |
0 |
23b1n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
||||||
| | | |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
· · · |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aibi1 0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
a ...an |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.06. |
|
|
|
|
X0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
· · · |
· · · |
· · · |
· · · |
|
|
|
|
e1 ... |
|
|
en |
b2 |
|
bn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1...0 |
b21 |
|
b2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0... 1 |
bn1 |
|
bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
0 |
1 |
|
b2 |
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
I |
|
|
|
|
· · · |
|
bn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Ab |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем ноль на месте |
a11b11 |
· · · 0 |
0 |
b21 |
|
· · · |
bn1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
столбец |
|
|
|
b21. И так далее до обнуления элемента bn1. Аналогично обнуляем |
||||||||||||||||||||||||||||||
b2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжая,A B = получим1на местеi i2матрицы· · · |
|
|
|
= |
|
|
A |
Ab1 |
|
Ab2 |
0 |
· · · |
|
0 . |
||||||||||||||||||||
| | | | |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
0 |
|
0 b3 |
|
|
bn |
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
X |
0 |
|
|
b3 |
|
|
|
|
bn |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A |
Ab |
|
a b |
|
|
0 |
|
· · · |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицу. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулевую |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
Ab1 ... Abn |
|
|
− |
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
|
A |
|
|
1 |
|
n + 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
ïðè ç ìåíå |
|
I |
|
|
0 ... 0 |
|
|
|
I |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|A||B| = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Приведем этот определительстрокступенчатому виду. Поменяем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
домножимместами. Такстрокуак |
|
|
|
|
|
|
|
определитель меняет знак на-юпротивоположный,()-ю строки |
||||||||||||||||||||||||||
строчку на |
|
|
n + 1 íà (−1). Затем переставляем 2 è n + 2 строчки, домножая n + 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(−1), и так далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0. |
1 .. . |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
0 . . |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рицы1)Эта.ВтеоремаегдаA B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= I AB = AB . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
.... .. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
| || |
| |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
|
| |
| |
| |
|
|
|||||||
|
0 ... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
льматответатоврица.понаобратнойвопросы матрицеосуществовании обратной мат- |
||||||||||||||||||||||||||
|
существуетпозволяетСвозаимнаядкзавершитьрезу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
Ab1...Abn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Åñли матрица |
|
|
|
|
|
˜ ˜ |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( A) ( A) AA = AA = |A|I. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
˜ |
|
A не ырождена, ò |
всегда существует обратная матрица вида |
||||||||||||||
сущестД3) |
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A = |
Еслийâóютв.,определительобратная. Отравенпротивногонулю,. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|A|A |
A A = AA |
|
= I |
Пустьтони правая, ни левая обратные матрицы не |
|||||||||||||||||||
теореме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|A| = 0 ( B) AB = I. |
|
|
По доказанной |
||||||||||||
Аналогично2)|ABпроверяетс| = |A||B| = несуществование0, другой стороныле ой|ABобрат| = |Iой| =матрицы1. Пришли. к противоречию. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Ä4 |
|
|
= |A| 6= 0Пустьматрсуществует( Bца) I = AB = BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
еЕслий3)справедливотправаятвлечет( ь . |
|
|
существуправаяет,обратнаято). она жек |
леваяматрицаединственная. |
|||||||||||||||||
åò, ÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
˜ |
B. Из п.3) следу- |
||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
| 6 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
−1 |
| |
|
| |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
−1. |
Отсюда |
|||||
Но тогдаA = 0 |
|
существованиематрицы A , àêîé, ÷òî |
A = A/ |
A |
A |
A = I. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = (A A)B = A (AB) = A I = A = B = A |
|
||||||||||||||
−è |
праваяединственностьравны правой обратной |
|
. Аналогично для левой |
обратной. |
И левая |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A−1. |
|
|
24 |
12.06.2012 |
|
|
|
|
Определение§8.1. Аксиоматика8.1. Отображение K называется законом внешней композиции, если
|
|
|
K : A P × G → G |
|
|
|||
ры закона, значение |
|
или областью) опера |
оров закона, лементы P операто- |
|||||
Наиболее важные законы всюдуком еделенные,p и gт.относите. льно ýтого закона. |
||||||||
K(p, g) |
|
опозицией |
|
|
|
|
||
Пусть G группа, P некотоðое поле. Тогда групповаяA = P × G.операция для |
|
|||||||
щимзаннаяОпределениемеждуции,записываетсобычноакподр |
îтакжернымбозназакономчениямипространствоакж внешнейумножкакэлементовисложениеиекомпозиции,(ВП)в. поленазывается,отсутствиемполе;удовлетворяющимзаконабелевакакихвнешнейгруппа,либокомпозиследуюобычнознаковсвя-- |
|||||||
ñиомамнекоторымядобозначаетсяаддитивностоящими.8.2. Вектполем, |
|
|
|
|
|
. |
G |
|
P именуется множеством( + ), |
|
|
|
|
|
|||
Аксиомы закона |
внешнейполе |
композиции для ВП |
|
|||||
1. Дистрибутивность для сложения |
|
|
|
|
||||
2. Дистрибутивность для(α+βсложения) x=αx+βxв группеα,β P è x G |
|
|||||||
3 |
α (x + y) =αx+αy α P è x, y G |
|
||||||
4. (αβ) x = α (βx) α, β P è |
x G. |
|
|
|
|
|||
íоеполе,пространствонейатеральныйло, то. Аксиомапоявляюэлементсяи понятиялевое. Для.левоеправоговекторноепринимаетсяпространствоаксиома |
||||||||
правое1 3')Åñëè· x =векторx, 1 P − |
|
|
|
x |
G |
|
||
пнолнении.1Название:(αβ) x = β (αx) |
α, β |
P, x G |
|
|
|
|
Åñëè. ормустьPаксиомыкольцо,P модуль4)тос. единицей,этиGаксиомы.то левый1),Примеры2),3)правыйдают:левыймодулииправыйбудут модульунитарнымисоответственпривы-
ÏространствоG столбцыоператоровg размерностиP матрицыn с обычной( операцивнешнейсложения.
лой nЧn). Закон композиции задается цоЭтоакскакужединицейнельзяK (p,. Тнgак)звать:=аяpgалгебраическ.ВП,такакаямножесструктураво матрицназываетсяP образуетмодулемвсего.Онлишьлевый,коль-
(AB) g = A (Bg) A, B P,25 g G.
|
В общемPассоциативноеслучаеумноаких треугольных матриц нет обратнойn ×.nÑëåäP вательно, |
|
||
|
ðà óåò |
ольцо с еди ицей. Если |
P îá |
|
3. |
Пустьпоçèöèè åñòü |
ж ие матрицы а столбец, тоGимеемстолбцылевыйи закмодуî |
внешней. |
êîì- |
|
Закр озьмемэтомвныйонвнешнейPслучаеправому,любуюдиагональныеимеемкомпозициинадабелевукольцомлевыйгруппувводитсмодуль,целых.Любая(nчиселравный×рекуррентно:n).абелева(тG. |
|
|
|
4. |
|
правому. произведениест группалбцы. . образуетчисел коммутативно)левый модуль,. |
5. |
Пусть |
−kg = (1 − k)g − g, kg = (k − 1)g + g, |
k = 2, 3, ... |
|
G множество непрерывных вещественных ункций, заданных на отр зк |
||
|
[a, b] : G = C[a,b] |
вещественныхíå ì íå |
|
|
континуума элемвещественных. По сложениюов.Упражнениеони образуют:доказатьабелевуэто), группу (в этой группе |
||
|
чисел ( |
P множество |
|
|
ñò.ê. |
R1) . Закон внешней композиции, заданный так: |
K (p, f ) := pf äàåò ÂÏ, |
6. |
называетсяВозьмеманавливаемP полерешеткунимнаойперпендикуляры;.плоскости:чиселоткладываем.ихпересечениецелыечисламножествонаосяхточек,Охи Оу;котороевос- |
|
(Множество всех точ |
плоск |
можно трактовать как ВП.) |
ñëî |
|
æå |
Возьмем на нашей решетк |
элемент и другой элемент, сложим их (по |
|||
решетки (подумать почему?двумерной). Т. . решетка группоид. Существованиеправилуней |
åé- |
||||
|
ния векторов элементов |
плоскости и) |
олучим некоторую точку из этой |
тральногокчествев элементмножестваи обратного - оч видно. Поэтому решетка абелева группа G. Если модуВПза.дуля, исключениембо ее узкое понятие,Pопределенныхвзятьмножчеммодульество26случаев,целых.Далееособо12.06чисел.2012многооговариваемыхZ, теоремтовитогебудет.получимдоказаноунитдляарныймо-
RG G
|
|
|
¯ |
|
|
|
0 R, 0 G |
a |
G |
|
|||
0a = 0 |
|
|||||
отношению к сложению для0a +элемент0a =группа,(0 + 0) a = 0a |
0a |
элемент единственный и один и тот же0äëÿa. Новсехбылоэ ементовдоказано,группычто в.группеТ. . нейтральный
Теорема 8.2. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 · a = |
0 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G абелева |
|
|
|
R кольцо и пусть |
|
|
G (ноль группы) è |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Д .кТаогдаз т е |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 R |
|
|
|
|
|
|
правыйло. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
α0 = 0 |
α |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α0 = 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
α80.3(и. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
элемент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулевой элемент для |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 + α0 = α 0 + 0 = α0 = α0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
и левый, так как G |
|
абелева группа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a G (G абелева группа) è |
α R (R кольцо.). Тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
обратнымДк з а т еПустьл элементомв . |
|
|
|
|
|
|
(−α) a = − (αa) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ê |
|
|
|
|
(−α) a + αa = (−α + α) a = 0a = |
0 |
. |
|
Ò.îå:. (−α) a является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 8.4αa. |
|
. А обозначение обратного элемента так |
|
|
−(αa). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ä |
квнешнейа з а т л векторноa . G, α R. Тогда: α (−a) = −(αa). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ò |
|
|
8.5. В мпозицииα (−пространствеa) + αa = α (−a + a) = α |
0 |
= |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
закона |
|
|
|
|
|
|
êî |
|
|
|
. Ò.å. |
|
|
|
|
|
V |
|
над полем P нет делителей нуля для |
|||||||||||||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αa = 0 = α = 0 a = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Дαо кP,а з аимеютaслеваVь.последнееобратные,в . Пусть |
|
|
|
|
|
6 |
|
α, обозначаемый через α−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
будет |
|
|
|
равенство. В |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
кроме нуля |
|
|
|
|
|
|
существуетαa = 0 обратныйиα = 0. кТогда, поскольку все элементы поля |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жимтеоремынанего8.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силу аксиомы III закона внешней композиции. Умно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ò. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
−1 |
(αa) = (α |
−1 |
α)a = a = α |
−1¯ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
¯. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§Пусть8.2. Линейные комбинации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
странства |
|
|
над теломсемейство элем нтов |
P |
-модуля |
G |
(или более узко: в кторного про |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Åñëè |
|
G(ai)i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
проблемвозник;болеспоå широко:иманиемкоммутого,дностича ивнаятакоегруппа с опëåраторами). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
бескI онечно, то P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi I ai |
|
||||||||||||||||
котораяжествоОпределимIнужнаонечное,этудлясуммуопределениятодномаютсхчастномдимости) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
некоторыеслучае:.ру |
|
|
|
|
|
(в нашем моду нетнет.Еслиметрики,мн |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( J I) µ (J) < ∞ i / J ai = 0 , |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
i I ai |
:= i J ai |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть имеется некоторое семейство операторов |
(λi), i I R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
же эта сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R кольцо) . Когда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J := {i27| λi 6= 0 ai 6=2012} I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
имеет смысл? ассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
X |
λiai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подмножество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.06. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.2) |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со свойством (8.2), (8.3) называется семейством |
||||
то сумма x имеет смыслоператоровиакая суммаµ Jназывается) < ∞, |
линейной комбинацией семейства |
|||||||||||||||||
(a ) |
|
|
к э ициентами |
((8.3)λi) |
.определение линей |
комбинации. |
||||||||||||
КаждоеФормулысемейство(8.1),линейной(8.2) |
||||||||||||||||||
i |
i I |
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
êîý èöèå òîâ |
|
|
комбинации(λi) |
x (относите ьноназываетсясемейс |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
(aсвободнымi)). |
|||
Определение 8.3. |
Семейство |
элементов |
ìîäóëÿ |
|
||||||||||||||
независимым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( линейно |
|||
|
|
|
), åñ |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λiai = 0 µ({i|λi 6= 0}) < ∞ = λi = 0 i. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ОпределениеЕсли µ({i|λi 6=80.4}.) =Семейство∞, то эталементовсуммаможетмодулябытьназываетсянеопределенанесвободным). |
||||||||||||||||||
зависимым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(линейно |
|||
|
|
|
), ñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы семейство |
λiai = 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
(1.(λi)i I ) 0 < µ({i|λi |
6= 0}) < ∞ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
доста |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ai)i I |
|
|||
|
Утверждениеочно, чтобы каждое2. Еслиеговсемействеконечное подсемейство былобылосвободнымсвободным. необх димо и |
|||||||||||||||||
|
|
несвободноми,Не{2,xсуществует}суммамножество.которыхакойизтождлинВПåственнйнойункций (ai)i I |
|
|
||||||||||||||
ñòâî1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
îмбинацииПримеры:равняласьнадполемхотябыункцийвещественныхбы0.динненулевымиэлементчиселнулевой,.коэ тоициентасемей-- |
|||||||||
|
|
10)3+( |
|
|
+2)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32.. говоркУтвер({3,5-ассмотриммбинациx,2яxждениенев+2}-6)5рнйxìíî+15(2множествостальных.3жество. Никакойx элементовункцийизВПсис еманадункц,эткторовсвоболинейтольцом.го. системанадсемействаíîгоцелыхзависимаполемсемействалинейночисел,вещественных(очевидно)невозмо.ненезависимат.может.к.оммутОбратное,чиселбытьативный.рассматри.линейнойвообщеуни- |
||||||||||||||||||
|
|
λ1 |
2 λ2x = 0 |
x |
|
λ1 |
|
= λ2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
ò ðíûé |
дуль. Система из трех в |
|
{3, |
5x, 2x+2} |
линейно зави има, но |
|||||||||||
|
|
âается кольцо це ых чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
æíî, .ê. |
|||||||
|
|
ыразить |
дин элемент этого множåства через другие |
|||||||||||||||
Теорема 8.6.справедливоЕс непустое сем йство векторов несвободно и состоит из |
||||||||||||||||||
|
À äëÿ ÂÏ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
а этого семейства могут быть представленыненулевых |
|||||||
екторов, т , как минимумследующеедва в |
|
|
||||||||||||||||
âèäå |
линейной |
комбинации прочих векторов. |
12.06.2012 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
X |
|
|
( j I) λj 6= 0 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
X |
|
|
|
λi 6= 0 |
|
|
|
||||||
|
λiai = 0 |
|
|
λj aj = − |
|
|
λiai |
|
|
|
||||||||||||||||
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
I\{j} |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ãäå |
|
|
|
|
aj = −(λj )−1 |
|
|
λiai = |
|
|
|
βiai , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I\{j} |
|
|
i I\{j} |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Èòàê,βi = −îäèí(λj ) векторλi , i семействаI \ {j}. выражен через другие. Согласно теореме 8.1 среди |
|
||||||||||||||||||||||||
должен быть отличный от 0. Пусть с индексом |
|
|
|
|
βk ak = aj − |
|
|
{βi} |
||||||||||||||||||
|
Умножим это равенс во слева на |
|
−1 |
|
|
k . Тогда |
i I\{j,k} βiai. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем линейное представление для |
ak |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
. |
|
Определение 8.5. Пусть есть некоторый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
семейство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(илиВП) G ипусть есть некоторое |
|||||||||||
|
(ai)i I , |
принадлежащее этому модулþ ( |
X |
|
), è |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тогда это семейство называется( x G ) |
(λi)i I |
|
|
λiai. äëÿ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
порождающим семейс |
âîì |
|
модуля |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
емействомЕслисистэлмодуляпорождающееойентовсированы,. семействомдойприродысемейство. В сравнен.Например,являетсяс семействомсвободным,систематоилионоВПназываболее.- |
||||||||||||||||||||||
общееетсяОпределениеазницабазисомпонятие:междуВП8набор.6или. |
|
. Фигуран ами двух предыдущих |
|
|
( |
|
) G |
|||||||||||||||||||
(e )3 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
могут быть |
|||||||||||||||||
Если эти элемен ы проиндек |
|
|
|
|
. ., например, |
|
|
|
{a,определенийb, c}, ã a, b, c |
V. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 = a, e2 = b, e3 = c, то систему |
||||||||
изъятьнеi семейства,iКонтрпримерУтвер=1 ниназываю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ждениедногодиагональныесиñэлементтемы.4Пус. Для. модуляссохраíåниемвсяк свойстваепорождающеепорождаемоссемейство,и,являетсяизкорогобазисомнельзя. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
мноассмотримжествостолбцовследующуювысосистемуы. Пу(семейство):сть множество |
||||||||||||||||
операторов |
|
|
|
|
матрицыG = R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
НетрудноПусть показать, что это семейство будет порождающим. |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e1, e2 |
, . . . , en |
|
|
= |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
произвольный столбец. Положим λ1 := Ix1 , . . . , λn := Ixn . |
Здесь |
|||||||||||||||||||||||
I |
xn |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
единичнаяТогда матрица. |
|
= |
|
|
29 + |
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
λ1e1 + + λnen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
x.1 |
|
|
· · · |
|
|
0. |
|
|
|
x.1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
xn |
|
xn |
Значит, данное |
||||||||||||||
семейство является порождающим. |
|
|
|
|
12.06.2012 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. . .. |
0. |
0. |
|
|
|
|
|
|
Íî |
λi = |
0 |
0 |
6= 0 , |
i = 1, n − 1 , λn = 0. |
|||||
|
|
0 . . . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . . . |
0 |
1 |
|
|
åмействсемейство. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнениеверждение. Доказать,5. В. векторномчтоэтомпромодулетранственет свободныхпорождающсвойства |
|
|
|||||||||
λ1e1 + · · · + λnen = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являерогоД |
|
с сохранследует,ниемчто |
семействепорождаемости,извсегда,кото- |
||||||||
семействонельзявыражк баз тсомзъятьл . ссвоботни.дногоИз элементармулировки |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||
åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
S нет нулей. Т |
||
чтобытьпротиворечитчернезормудругиесуществует |
|
|
|
|
|
|
|
|
систе |
||
S |
лировкдно,.Н это.силуСледовазначит,теорельно,мычто8другие.6одинимеютизэлементовсвойствопорождающаясемействаждаеS ìîæåòè, |
||||||||||
маТеоремаемейсвекД оòкваоров,8з..а7т.тоеЕслилласноьу Vтвввекторномо. Пусть пространствеконечныйбазис,VSестькоторыйсвободноконечнаяможно. |
выбрать из этого- |
||||||||||
ñвободна, то, сог |
8.6, существует |
|
µ(I < ∞ |
. Если система |
(ai)i I íå |
||||||
теореме |
(ai)i I → V |
|
|
|
|
||||||
тогда |
|
|
|
j I, такое что aj |
= Pi I\{j} λiai. À |
||||||
(первоеЕслиравенствосеействоздесьэлементовопределение порож ающей |
|
|
|
. |
|
(8.4) |
|||||
( x V )( (α)i I )x = |
αiai |
= |
|
|
(αi − λiαj )ai |
|
|
||||
|
|
i I |
|
|
I\{j} |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
i X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системы) |
|
|
|
||
т оремы 88семейства..6,7.иПусть.д. Так.имеетсякак I конечно,некоторый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определениепорождающегонение |
(ai)i I\{j} ñâ áîäное,вбазисконцетоэтоконцов,базис,доберемсяиначеповтдîримсвободногоприме- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(ai)i I векторного пространства |
|||||
(модуля) V íàä ïîëå |
(кольцо ) P, тогда по определению порождающей системы верно: |
||||||||||
Элемент |
( x V )( (xi)i I |
P )x = |
i I |
xiai. |
|
|
(8.5) |
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
натой вектораxi элемент поля (кольца) P называется i-й компонентой или i-й коордиТеорема 8.8. Вxпредставлении(э мента x модуля M ).
другоеазоД. |
ê à ç à ò å ë ü |
î. |
(12.26) |
компоненты |
xi |
|
|||
|
|
|
|
Пусть есть два линейных представления:определяютсяодноединственнымиз них (12.26)оби- |
|||||
|
|
|
|
|
x = |
X |
|
|
|
Вычтем из |
|
|
yiai |
|
|
||||
|
|
|
представления (12.26) представление (12.27): |
(8.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i I |
|
Pi I (xi − yi)ai |
|
|
система. |
|
|
|
|
0 = |
||
свободная |
|
|
В силу определения свободной системы, последнее равенство.означаетБазис |
||||||
xi − yi = 0 i I. |
|
30 |
12.06.2012 |
|
|