Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Алгебра (общая)

Файл:

Konspekt_po_algebre

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

	Aε	λ = 0
6	B := D5	− 0I = D
Ker B5	P (x) = x4
Ker B4	P (x) = x3
Ker B3	P (x) = x2
Ker B2	P (x) = x
Ker B	P (x) = x

длялирует	B										B2
KerЭтот строительныйP (x) = 1		атериал непосредственно понятен (т.е. очевидн , что
	все мн гочлены степени не более 1, а их базиспроизвольномсостоит1, x. Нî материал1 уж взятоанну-
	Пополняемоченьиспользоватьпонятмíî,гочленоммакакрицуподобратьоператораx). непосредственно векторов											äëÿ
шен,КогдаKerможноB.íå
áàçèñå								A			базисе. следовательноВчастности
è	E. Òàê êàê B = D−λI, òî Bε = Dε −λI. В нашем примере B = A,
Bε = Aε. Отсюда
второйЛегк заметить, что		Bε	= Aε	=	0	0	2	0	0	0	.
второйЛегк заметить, что		Bε	= Aε	=	0	0	0	0	0	20	.
					0	0	0	6	0	0
					0	0	0	0	12	0
		2	2		0	0	0	0	12	0
		если первый единичный столбец соответствует базису

					0	0	0	0	0	0
					0	0	0	0	0	0
					0	0	0	0	0	0

òî		единичный столбец может войти тоькодействубазис																	Ker	B	,
материЭтàлп IIIнакоплен.Напоследний. вектор,								башни,						Ker B2.						B
						ò.å. íà										Èòàê,	строительный
единичный столбец умножаем слева на										x5			ем оператором B (èëè æ						шестой
								Bε и получаем башню:
		этом базисе,	(e6	, 5e5, 20e4, 60e3					120e2, 120e1)									имеет вид:
или же набор столбцов				x5 5x4		20x3				60x2 120x 120				,
	Â		состоящим из одной								оператор ди еренцирования
					0		0		0	0	0	0
					1		0		0	0	0	0
					0		1		0	0	0	0

					0		0		1	0	0	0	.

					0		0		0	1	0	0
					0		0		0	1	0	0
					0		0		0	0	1	0
	§Пусть12.6. имеетсяСопряженныелинейныйиоператор,самосопряженныекоторый действуетоператорыв евклидовом пространстве Е:
Îï	еделение 12.4. Сопряженным поAотношению: E → E.												к оператору
îïåðàòîð			(Ax, y) = (x, By) 81x, y E. 12Обозначается.06.2012													A называется такой
помощью B*., ÷òî			(Ax, y) = (x, By) 81x, y E. 12Обозначается.06.2012												сопряженный оператор с

пряженномуAоператору,, симметричнаB ортонор. . если

A :=

Теорема 12.4. В

мированноИными базисе.

A = A

ного оператора

словами,E = (b1, ..., bn) матрица самосопряжен-

ç à ò å ë ü ñ ò â î.

E E = I

A = ÿAспособами= Aε = Aε .

Ä î ê à

Преобразуем дву

скалярное произвед ние. Одни

. Другим способоì:

A~x

различныеT . Т. . получаеì:

A~x · ~y = (x)Ty = xTAε y

· ~y = ~x · A~y = x Aεy

xстолбцыTATy =. xTAεy =: v. Назначае послед вательно вместо x и y

единичные

. . .

i ,

y := e .

i =

. . .

←

aji = x Aε y = v = x Aεy = aij			Aε
T T	T	симметрия матрицы

Определение 12.6. Если матрицы A B связаны между. собой соотношением

ОпределениеотТAеорема=бражающийT −1BT12, .5то.12Увещественноеони.вещественного7. называютсяВещественныйВПподобнымиамосопряженноговещественнлинейный(T пер.невырожденнаяоператораторбазис:это линейныйматрица).оператор,

праведливоимметричнаяД ныствек. з тувещественнсимметричнойл ь . ассмотримвещественнойортонормированныйматрицы A все

обственныеA ко ечномерномчиславещепро-

äîñò

àò èöà

E =

) ñîîòветствует

Pðà

A = A

T ¯

· ~y =

xiyi

самосопряженному оператору (A

= A

аточно ограничится ссмотрением матрицT с .темиОчевидно,жсобственнымичто числами. Поэтому

(12.13) имеем

(12.13)

где черта сверху означает комплексноеAx = λxсопряжениеAx¯ .=Согласноλx,¯

λx x¯ = (λx) x¯ = (Ax) x¯ = x A x¯ = x Ax¯ = x λx¯ = λx x¯ =

Имеем:

0 =

λ − λ

x x¯ =

λ −

xk x¯k =

|xk |

λ − λ .

(12.14)

ламТеоремадля самосопряженного12.6.λСобственные= λ, что означает

2012

|xk |

(12.14) влечетx 6= 0

( k) xk 6= 0

1n |xk |2 > 0. Поэтому цепь

оперв кторы,атора,вещес82сооортогональнывенносветствующие.06. собственного. различнымчисласобственным.

÷èñ-

A = A , γ 6= λ

A~x = λ~x, A~y = γ ~y

~yîäè= ~x · (γ ~y) = γ ~x · ~y

(γ

− λ) ~x · ~y = 0.

Ïîñê ëüêóA~x ·â~yïîëå= λ~xíåò· ~y, делителейA~x · ~y = ~xíóëÿ· A

åñòüеоремапределение ор огональности

γ − λ 6= 0, то должно быть ~x · ~y = 0. À ýòî è

12.7. Пусть

~x è ~y.

нимум одно собственное числоамосопряже собственныйлиней

который ымиеет ми

A −

оператор,

и пусть L

(e1) −

рт ортогональноеоевектору

λ1

èанство

A A

подпрострвектe1

îтносите

анство иíвариантно

ìè,

собственноподпрострмувектору опер.Тогдаатора

(e1)

(e1). È

слова-

Ä ê

ç ò åAë.ü ñ

. Пусть

L (e1),

.å. (~x, e1) = 0.

Тогда

Теоремазис Дизвекторсобственныха 12з а.8.сущестлСамосопряженный(üA~x,векторовe ). =Очевидно,(~x,.A e )оператор=õîòÿ(~x, Aeáû )однов=конечномерном(~x,собственноеλe ) = λ (~x,числопространствеe ) = 0. имеетсобствена

1 1 1 1 | {z1} =0

íûé

λ è îäèí

Выберемe1

çèñ

óþò.

матрица рамà äëÿB2 = (b21, ... , bn1 )

у подпр странства

L (e1). Â ñèëó e1 bi1 ,

i =

, n,

E2 = (e1, B2) квазидиагîнальна и

12.7,

· · ·

.å.

(

(B2)

= 0,

(B2)

= e1

| 6

акова: базис всего ВП. Матрица оператора в нем, по построению базиса и теореме

−

· · ·

0 a22

a2n

странство

...

Сужению оператора на подпрAε2

0 an2

ann

· · ·

õîòÿ áû

íèæ

ем углуоператором.Оимеет

нный векторсоответствует подматрицавысоты правом

Собственнымдин собст

L (e1)

îäвозбраняетссобственíое число

e2(1) − столбец

n − −

пряженным

. Следоват. Суж ниельно,оператора на

L (e1)

, очевидно, явля тся самосо-

λ2

12.5.

(Íå

λ2 вещественно

силу доказанной å ðåìû

очевидно, будет

λ2

= λ1).

вектором-столбцом для всего пр странства,

дпространство,яемрассуждения от. осительно суженияоператора на

Ïîâò

e2(1)

=: e2

L (e1). Выделим в

L (e1) ïî

ортогоíальное e2(1)

. Это будет

L (e1, e2), у него выберем базис

. В базисе

83 матрица12.06.2012

акова:

(b3

... bn) =: B3

E3 := (e1, e2, B3)

01	λ2	0	· · ·	0
λ	0	0		0

где знаки	Aε3	=	0.	0.	♦.	·· .·· ··	♦.	,


			0	0
					♦	· · ·
					♦	· · ·	♦

n-2 äëÿ

♦

означают

екоторые числа Найдем собственный вектор-столбец

(2)

подматрицывзаимноижнем углу. Доп лнив его сверху двумя нулями, получимвысо ой

В итоге: базис из

ортогональных взаимно собственныхвекторов

(e1e2

e3 è ò.ä

И диагональная матрица в

м базисе из

... en) = En

векторов

норгональнаяС мированныйЧтос теслисостоит

λ1

0 · · ·

λ2 ...

λn

операòора существуетэтомбазисеортодиа-

кратноевекторовчисеамосопряженноголсобственное. diag. Матрицачисло?

независимых

извещественногонекотороесобственных

встретится12базис.1. Для

(λ1, λ2, ... , λn) .

Aεn =

· · ·

Теорема 12.9. Каждому собств нному числу

амосопряженного оператора соответ-

ствует столько линейно

столбцов, какова кратность этого собственного

числа.

îдного

·· ··

··

−

íåê

Дторомк а збазисет е л ь с т вСмотрим. Начинаем с матрицы Aε1

оператора А в

an1

· · ·

ann

Aε22 :=

a222

· · ·

a22n

имеет набор собственных чисел, отличный,Чтоакая, тоот

Eig Aε1

только

2· ·

· · ·

−

.8. Òàê

êàê

пространства,.

то существудоказаетельствонеособаятеоремыматрица

совпадениебази-

ò ãäà

−1

âëå÷åò

= T1E2, èõ

ñîбственныхПоэтому чиселизвидаучематрицы. Том.е.крàòрицыности.

Aε1

−

подобны.

Aε2

= T1Aε1 T1

Aε2

Aε2 следует,

что подматрица матрицы Aε2

− матрица

тем, что кратность собственного числа

an2

ann

λ1 меньше

Таким образом, если для матрицы

кратность1.

эта кратность не

Aε1

собствен

ое число

λ1

имеет кратность k и сли

оль,вектордля матрицы

собственных

åùå

дин собств нный

-столбец. И A.ε22

− 1

è äëÿ

λ1

найдедля я

ä. Òåãî. .

íûõk

вектор-столбцов

будет построено k

λ1

ñòè

льствоено

азатпостр

размерн

.тоПосколькуразмерностьи,собственныхпричемсуммаортогональныхпросвсехранстваолбцов,84кратностей.ортогональныхдруг12.06.2012другу (почемудругчиселдругу,смравна.будетдок

пространствате лько,ремы какова12.8)

−

ВыбираемСтроим начальный базис

E = (e10; e20 ... en0 ).

Вычисляется характеристическийматрицу операторадпространстваполиномэтом базисе.

Aε −

4. Находим базис линейного по

|Aε − λI|. Находим его корни λ1 , ... , λr.

− решений системы (A − λ1I) x = 0

ãäå k

E11 = (b1 ... bk1 ),

согласно теореме 12.9, кратность собственного числа

λ1.

Ортонормируем

−

Повторяем 4-й иE511-йпопунктыШмидтудля.Получаемвсех (e1 ... ek1 ).

λi ,

i = 2, r,

ò.å.

и орт нормиру м по Шмидту(A λ I) x = 0

→

... b

) =

−

+k2

6. Все полученные базисы объединяются(ek1+1 ... ek1+k2 ).

E′

= (E11 E12 ...).

§Базис12.7. ядраПоископераторадополнений к базисам ядер степеней метоератора

ющей матрицы

степени kпециевидной, нах дитс посредством ïриведения соответству

обобщеннойпеременныхтрà зависимые и независиорме(см.ые:

усса), потом про-

изводится разделениеk ê

азбиваем множество индексов переменных на два подмножества:

тогда добавки

подмножества, чтобы

1-базисуйуч й: еслиопределяютсуастсвыделиI =ü {такие1, ... , n} = Ik

[ Ik .

ê Äëя всехядраиндексов

ÿ ïðîñòî:

Ik−1

укороченного

орматаПусть. мощность

ïåðå

ерем единичные с

ëáöû,

:= Ik

\Ik−1

åì

µ (ΔIk

) = rk − объем добавки. Согласно методу аусса ормиру-

ãäå

и размерность столбца независимых переменных

равна

количеству независимых переменных

= ei

Зависимая переменная

dim (ei) = µ(Ií).

x есть некоторая85

12ункция.06.2012 от

xí : x = x (xí).

(Пояснение: bk = bk (x , xí) ,		bk = bk (x , xí)		. . . , bk = bk		(x , xí) .		x
x				Ií	содержит Iн , тогда бе
x
1	1	2	2	rk	rk
образом2-й получаемлуч й:k =необходимуюслиs −намстароене удалосьобозначениеобавкудобикбазисуься,в предыдущем. что					алгоритме башен.)		Таким
				k		k−1		åì
kerбазисеB каждому вåêò							ð
kerбазисеB каждому вåêò	ру из его базиса сопосòавляемановкоордин					тную строкутрапециевиднойнекото

неормделаемE(В. .ИзобычнойСмэтих.рисстрок.1обобщенной.)составляемдопускаетсяматрицу иперестиводим ееа строк,рассеяннойв рассеянной этого

вуютЕе диагоналямстолбцы,горизонтсоkerтветствуютBалям единичныеис.1 столбцы. На рис.1 ертикалям соответ

òолбец			− строки. На первом шаге аусса выяснилось, что 1-й
						-
ñ-йпревращаетнулеобразомâой,1-й единичныйв1-м элементе.После2-гочего,столбцавыясняетсне янульчто. вВторой3-м столбцестолбец2-йметодэементаему0,
3аналогичным−				−
−		матрицу и		ее снизу.	ker B	2, сопоставëÿåì
−	не 0. Метод	усса делает		e3	ker B
	не 0. Метод		изприписываемнего.д. Находим ядро

ker B

инейработаемДалеечастиматрицы,строкипометодуобрываетсединицамипродлеваяследующеесса, получая2наединичныпересединичниистолбцыисна.2ыеединичнымистолбцынулями.доВыкидываемстолбцаминизу.Спускаемсяотнимаемнулевыедобавкуизстроки,ниж-
д лее анал гично. Если ker B			очереди ядро имеет размерность преды ущего, то
ê		из пяти строк, значит заканчиваем на			ker B3:	ker B	4
íотораяýòîì ïð			86	12.06.2012
	состоитöåññ	я. Так, например,		рис.3. Приписываем матрицу äëÿ

ker B ker B2 ker B3

ОпределениевекторовльнПнятиеподпростралиней12.í8стваойПустьнезависимости.есть4 простри выбораисство.3 линейно независимых векторов относи-
пространстваловами,			ker B
						относительно под-
ñòâà	a1, ...			независимымV его подпространство L V , набор
		ak V называется линей				относительно подпростран
				ициентов
бинацияL, если не существует наборнезависимостькоэ						(α1, ..., αk ) 6= 0, что линейная ком
Другими с			линейнаялежит	.	набора
	α1a1 + ... + αk ak			L

a1, ..., ak

L соответствует

α a + . .вектордиаграмжа). α aасспоизìLдействовалиотримверхнего.=Начинаемпримерα =этажа...наспостроения=негосамых(вα нашем=оператором0высоких. башенслучаебашенсогласноиз7.-гоВзялиэтой

1 1 k k 1 k

х дится этажом ниже:

B. Образ нà-

ÈõÑ

ker B

Bb1

остальнымиобразыперейдутвекторамина6-й7-этажго этажа поступаем также.

а ниже этажом уж

åñòü âåê îðà

, ...

ker B

B r7

Èç íèõ

íàäî

... br6

ãäå

r6 > r7

выбрать линейно независимые к.

Пустьоответствуютнекотором базисе базису7 ÿäðà7

ker B

Bb1 , ... , Bbr7

относительно

B и базис м ¾добавок¿ ker Bi ker Bi−1, i = 2индек, . . . ñами. Имеем 7 этс ажей:олбцы, из которых скомпоновàны матрицы с соответствующими

ker

ker B2

B˜2

ker

˜T

ker B4

ker B3

B33

12.06.2012

ker B

ker

87 èñ. 4

B˜T

(

B7)

ker B4

ker 5

(

2B )

2 ¯

ker B6

ker B5

B6 T

( B )

ker

˜T

−

обозначаютслось или те строки,я че езкоторыематрицусоответствовалипомещенный6 обработки не обнуленным, (это неважно)

¯T, которая войäет во вторую

атрицу

косвенным обр

çîì,

через транспонивтораяованный образB

ìåñ å,

Косвеннымна6место. Перед ним. Н

BB6

высоте 5. Для этого об-

рабатывае

даетблочвершиныая матрицабашен. Получаемвысоты 6. Смотрим

B7)

¯T

третьюСпумаилисьрицуалгоритмдо(см4-. рисунок)этаж , .получаем

B5 .

образом она вх д

детнезависимыми.Выбиратьвсегбудетничегода даватьлинеихнадорезульвсего.Просто.равноДалеет?Т.естрна.пкаждомîлучимбашнилиэтаже.вбашняхдинаковоевсеэлементыколиче-

линейноствоБуэлементов

Лемма 12.1. Вект ры верхнего этажа

n − размерности пространства?

подпрострь н . В

bk ... bk

линейно независимы относительно

странбоДлеей ñнизкоготва (т е л

противноманст а.

ñëó÷ å

bk ... bk .

ker Bk−1) было бы линейно зàвисимо. Что противоречит построению векторов

Ëåì

rkà

12.2. Пусть

набор

k{e1, . . . , es} ker B

k+1

висим относительно

ker

kerлинейноB {e1, . . . , es} − линейно неза-

. Тогда

Be1, . . . , Bes

} −

независим относительно

Äk−å1é.ñ ò â è ò å ë ü í

о. Противное означает

{

ker B

( {βi}s 6= {0}1rk ) x := β1Be1

+ ... + βkBes

ker Bk−2

Bk−2x = 0

k−1

лин йность оп р тор

k−1

= 0

(β1e1 + ... + βkes) = 0.

βÀ1Bпоказано,e + . .÷òî+ βk B

ker Bk−1

k−1

числаТпротиворечиееоремаОтД линейнопротивногока з а.10. енезависимал. ьОбъединение. Пустьт о. существуетЧасть.элемент1. Совокупностьмножествобашен коэлинэлементовйноициентовнезависимобашен .дного собственного.Получено

β e

1 +

...

β e

ker B

...

= 0

= |

{z=

}

такое, что

{βi,s,j }ij I1, i−1 6= {0, . . . , 0},

ri−ri+1 i−1

ãäå

j¯i

= 0,

(12.15)

i I

s=1

j=0

X X X

черезI - множествоi

высот башен: I {1,

. .

k}, причем всегда k I;

полагается

rk+1

= 0

;

Èçb(12обозначаются.15)следует, чтовершины башен âû îòû i (ïðè i = k они с впадают

и коэ ициентами векторовβk,s,0 = 0 äëÿ

ñ õ s èíà

линейная кîмбинация

не улевым

bk , . . . , bk

лежала бы в низшем по

÷òî êàê

óæ

показано в лемме 12.1

невозможно88 .

12.06из.2012леммы 12.2 следуетдпространстве,что

Далее,

равны нулю

элемемированииïîëíà, таммнож. Т.е. (12.15)башенэлементовдноэтажными башнями про хсобственныхдитлнейно независимымker B. À ïî
k − 1	β k, s, 1 = 0 s = 1, rk	k − 1 I

β = 0 s = , r − r

другнияk−1башенs, 0 начевысотыихестваорыеболееk−1 этажи1.k Онибылине могутбы линейнобыть линейнозав симымзавиндексимымиотнос участвующихдругльноотнос тельно

	максимумвсехвысотбашендлябашендлявсехвсехравен k и ,	чисел линейносум-
незавиДЧаñйтьимас т2..в. иСовокупностье л .=Пусть{βi, s, j } = {0, . . . , 0}

ственногоде

K :=

βij bij

= 0,

i=1 j=1

X X

P − количествочисла, элементов во всех башнях, bij

− элементы башен, i

− индек соб-

размерность к рневого пространства. Коэ ициенты

ñтивсе1

олькини отличны,высокихчастностиотнуля

Пустьнулевыедля.Еслинеск mi

−

Очевидно,тдляльк для

â ÷àíå

дного i, то это рассмотрено

βij

Исп льзуем

. ассмотрим

ãäå

B1 = A − λ1I

i = 1

B1 K

îâ

приа самых

чтовыми

не будет чл

умноциентыженыж

ементахчастностибаш

при других с бстве ных числах, коэбудути-

−(λ1

− λl) I

B1 K

b1j

êîý èöèåíòû(λ1

−

λl)k,

т.е. останутся не нулå

. Åñëè åùå äëÿ

еск льких i новые

i = 2,

числару

βij

отличны от нуля и в

äëÿ

можно повтдногорить процеду-

Далееi.

. И т.д., пока не останутся только элементы для

собственного

= A − λ2I

Теорема 12− .часть11. Ядро1.

Bk инвариантно для оператора A. Иными словами

еоремаДк а з а ановочныт е лПустьо.

A ker Bk ker Bk .

ker

x =

0 = 0, òàê êàê

B B

x = 0. Íî

B A

12.12.

A и B перест

. Таким образом,

Ax ker B

k−1

kB+1= A−λ1 I ãäå λ1 −

е число оператора A, и пу ь

собственного числа 0 для

. Тогда кратность собственного числа

авна кратноñòè

ker

= ker

ностьла. ПроблемаЗБез

сильно1ючается.Всеизменить. осложнениявочномжордановувознвычèкают,сленииормамукогдакратности.естькратныекорня. . 1Небольшаясобственныенеточчис-

можетдоказательствач нзаки

B = A − λ1I

и равна

m = dim ker Bk

Ìû§12.рассматривали8. Вещественнаяоператоры,дановажйствующие на

лексных столбцов выс ты Cn − векторном пространствещественномк дановаïространс верица.У можетнихîоказатьсягутnбыть.Носущкнеудобнойомплек89ствуютсные.Пустьоператоры12собственные.06.2012 A, действующиечисла.Икомплекснаяв жор-

В некотором базисе

A : Rn → Rn.

вещественная матрица E = (e1 . . . en), ei Rn,

i =

, этому оп ратору соответствует

i, n

торов для нее акого вида:A. ассмотрим проблему собственных чиселполучимсобственных век-

ящики

Ax = λx x 6= 0,

xжордановуC , λ Cîðìó.

комплексные(12.16)

НаблюМ .трицаЭтодение:небылаудобновещественной,Так.как но построив

твенные коэ собственноеицты. Следова

ельно,n×n

товсякомухарактеристическийсобственному числуполи ом

имеет веще-

ïðÿæ

íîå

число

кратности. И

äðóã

λ соответствует

бствененныечисло и

собственный-столбецчастности,¯ îé æ

стороны: пусть

λ, x

−

вектор

¯ ,

. . . , . . íà

−

ãäà

= A

λI

= A

λI

x = 0

x¯ = 0

ñîïðÿæ

добавки для

каждом этаждомуебази ные добавки для

¯ есть комплекс

B x = 0

B x¯ = 0

днозначно соответствует

λ. Â

столбецк для

столбцу для λ âç íîâûèì

башниДля.

омплексные жордà

λ. Построим

λ имеем:

e2 = Be1

......................

äëÿ

er = Br−1e1

λ имеем :

e1′ = e¯1

′

¯ ′

= Be1 = e¯2

e′2 = B¯e′1

= Be¯1

Ai, di R .

e3 = Be2 = e¯3

λ в систему (12.16):

(12.17) è

Пусть собс венное число ................ .....................

столбцы представимы в виде:λ представимо в виде: λ = α+βi, ãäå α, β R; собственные

		e = c		+ d		i	,
ãäå		..................1						(12.17)
		er = cr + dri
n Подставим систему					разложение
Выделяем вещественную и мнимую части:						+ d1i) + c2 + d2i.
A (c1	+ d1i) = (α + βi) (c1
Аналогично для второго собственного				−				.
	Ac1	= αc1			βd1		+ c
			вектора:				+ d2
	Ad1 = αd1			+ βc1
	90			− 12.06.2012 .
	Ac2	= αc2			βd2		+ c3
	Ad2 = αd2 + βc2 + d2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра (общая)

#
28.05.20221.11 Mб5Konspekt_po_algebre.pdf
#
28.05.202239.42 Кб3Билеты по высшей алгебре.doc