Учебники 80358

гипотезу об отсутствии связи следует отвергнуть, т.е. признать статистическую значимость анализируемой связи и считать, что мнения экспертов согласованны.

ранжировками следует отвергнуть и считать, что мнения экспертов согласованны.

отсутствии связи между ранжировками следует принять и считать, что мнения экспертов несогласованны.

Для больших значений и можно использовать известные статистики. При числе альтернатив оценка значимости коэффициента конкордации может быть проведена по критерию . Величина имеет -распределение с степенями свободы. Для оценки значимости выбирают уровень значимости критерия (часто равный 0,05), определяют по табл. 8П при величину . Если то гипотезу об отсутствии связи между ранжировками следует отвергнуть (т.е. статистически значимое) и считать, что ранжировки связаны.

Следующий пример иллюстрирует то, как оценивается значимость коэффициента конкордации Кэндалла по критерию

.

151

Пример. Пяти экспертам было предложено проранжировать 10 альтернатив. Результаты опроса приведены в табл. 2.6. Оценить согласованность мнений экспертов.

Таблица 2.6 Ранжировка 10 альтернатив пятью экспертами

В данном примере и есть связанные ранги. Вычислим и . Для вычисления дисперсионного коэффициента конкордации определим сначала сумму квадратов отклонений:

Поскольку в ранжировках имеются связанные ранги, то вычисление коэффициента конкордации выполним по формуле

(8). Сначала найдем величины . Затем рассчитаем коэффициент конкордации:

152

Оценим значимость коэффициента конкордации. В

Поскольку значение гипотеза о согласованности мнений экспертов (ранжировок) принимается.

Таким образом, в результате экспертного оценивания получили групповую ранжировку режимных параметров по степени их влияния на выходы целевых продуктов.

Энтропийный коэффициент конкордации. Этот коэффициент вычисляют по формуле

где – энтропия:

— максимальное значение энтропии; – оценки вероятности присвоения i-го ранга -му объекту. Эти оценки вероятностей вычисляются в виде отношения количества экспертов , приписавших альтернативе ранг , к общему числу экспертов :

153

Максимальное значение энтропии достигается при равновероятном распределении рангов, т. е. когда . Тогда

Подставив это соотношение в формулу (9), получим

Значения энтропийного коэффициента конкордации изменяются в интервале . При распределение альтернатив по рангам равновероятно, поскольку в этом случае . Данный случай может быть обусловлен либо невозможностью ранжирования объектов по сформулированной совокупности показателей, либо полной несогласованностью мнений экспертов. Значение достигается при , когда все эксперты дают одинаковую ранжировку.

Сравнительное оценивание дисперсионного и энтропийного коэффициентов конкордации показывает, что эти коэффициенты дают примерно одинаковую оценку согласованности мнений экспертов при близких ранжировках. Однако если, например, вся группа экспертов разделилась на подгруппы, причем ранжировки в этих подгруппах противоположны, то коэффициенты конкордации имеют разные значения. В таких случаях энтропийный коэффициент конкордации позволяет зафиксировать факт разделения мнений на противоположные группы. Объем вычислений для энтропийного коэффициента конкордации несколько больше, чем для дисперсионного коэффициента конкордации.

Обработка экспертной информации, полученной на основе метода парных сравнений. Одним из вопросов,

154

возникающих при обработке экспертной информации, является следующий: каким образом получить оценку всей совокупности альтернатив на основе частных результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи.

Пусть экспертов проводят оценивание всех пар альтернатив, давая числовую оценку:

Если при оценивании пары альтернатив и экспертов высказались в пользу предпочтения экспертов высказались противоположным образом

– экспертов считают эти альтернативы равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины

Общее количество экспертов равно

Определив отсюда и подставив его в предыдущую формулу, получим

ранжировку всех альтернатив и определить коэффициенты относительной важности альтернатив.

155

Вектор коэффициентов относительной важности альтернатив порядка вычисляют по формуле

где

пар альтернатив; - вектор коэффициентов относительной важности альтернатив порядка

Коэффициенты относительной важности первого порядка являются относительными суммами элементов строк матрицы . Действительно, если , то с учетом формул (11) и (12) получим

Коэффициенты относительной важности второго порядка () являются относительными суммами элементов строк матрицы

Из теоремы Перрона-Фробенпуса следует утверждение: если матрица неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка величина сходится к максимальному собственному числу матрицы :

156

а вектор коэффициентов относительной важности объектов стремится к собственному вектору к матрицы X, соответствующему максимальному собственному числу

Как известно, собственные числа и собственные векторы матрицы находят путем решения алгебраического уравнения

Компоненты собственного вектора являются коэффициентами относительной важности объектов, измеренными в шкале отношений.

На практике коэффициенты относительной важности альтернатив проще вычислять с помощью последовательной процедуры по формуле (11) при Обычно трехчетырех последовательных вычислений достаточно, чтобы получить значения и , близкие к предельным значениям, определяемым соотношениями (13), (14).

Напомним некоторые понятия, необходимые для ранжирования оцениваемых альтернатив.

Матрица называется неотрицательной, если все ее элементы неотрицательные. Рассмотренная выше матрица математических ожиданий неотрицательная, поскольку все ее элементы (10) неотрицательны.

Матрица называется неразложимой, если перестановкой рядов (строк и одноименных столбцов) ее нельзя привести к треугольному виду:

только одно доминирующее множество, совпадающее с исходным множеством альтернатив.

Разложимость матрицы означает, что среди экспертов имеются большие разногласия в оценке альтернатив.

Если матрица неразложима, то вычисление коэффициентов относительной важности позволяет определить, во сколько раз одна альтернатива превышает другую по сравниваемым показателям. Вычисление коэффициентов относительной важности альтернатив позволяет одновременно построить ранжировку альтернатив. Альтернативы ранжируются так, что первой считается альтернатива, у которой коэффициент относительной важности наибольший. Полная ранжировка определяется цепочкой неравенств

из которой следует

.

Если матрица X является разложимой, то определить коэффициенты относительной важности можно только для каждого множества . Для каждой подматрицы определяется максимальное собственное число и соответствующий этому числу собственный вектор. Компоненты полученного собственного вектора являются коэффициентами относительной важности альтернатив, входящих в множество . По этим коэффициентам осуществляется ранжирование альтернатив данного множества.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: если неразложима, то но результатам парного сравнения объектов

158

возможно измерение предпочтительности альтернатив как в шкале интервалов, так и в шкале порядка (ранжирование); если же матрица разложима, то возможно только ранжирование альтернатив.

2.4. Детерминированные модели и методы принятия решений

Управление рисками информационной безопасности выступает, прежде всего, как процесс взаимодействия между управляющей и управляемой подсистемами (субъектом и объектом управления и внешней средой). Управляющая подсистема выдает определенные команды, которые принимает к исполнению управляемый объект. Таким образом, управляющая подсистема представляет собой совокупность устройств и лиц, которые осуществляют целенаправленное воздействие с учетом информации о внешней среде, а управляемая подсистема является тем объектом, на который направлены определенные управленческие воздействия в целях получения желаемого поведения в интересах достижения намеченного результата.

Процесс управления характеризуется следующими основополагающими свойствами: относительность, наличие обратной связи, непрерывность и стадийность, общность и согласованность.

Непрерывность процесса управления дает возможность говорить об управленческом цикле, т.е. об определенной последовательности выполнения, сменяемости и повторяемости одних и тех же видов работ. Обычно выделяют следующие стадии управления [68]:

1)определение целей управления;

2)выработка и принятие управленческих решений на основе изучения практики и тенденций поведения управляемого объекта;

3)организация исполнения принятого решения, которая предполагает доведение его до управляемого объекта, обеспечивает поддержание устойчивой взаимосвязи между

159

управляющей и управляемой системами и между их элементами, а также создает необходимые материальнотехнические и другие предпосылки для выполнения принятого решения;

4) контроль за исполнением и оценка результатов управления в целях выработки информации для принятия нового управленческого решения.

Задачи управления могут быть представлены в виде задач принятия решений. В данном разделе описаны задачи многокритериального принятия решений при определенности. Приведены модель и постановка задач многокритериального выбора, оптимизации. Описан переход от многокритериальной задачи выбора к однокритериальным задачам оптимизации на основе принципов оптимальности. Полученные задачи можно решать однокритериальными методами оптимизации.

Далее приведены методы многокритериальной оценки альтернатив, в основу которых положена теория полезности — аксиоматические методы. Предполагается, что альтернативы обладают определенной полезностью и рядом свойств, на основе которых строится функция полезности. В свою очередь, по значениям функции полезности можно сравнить альтернативы, упорядочить их или выбрать лучшие.

Метод аналитической иерархии использует дерево критериев, в котором более общие критерии разделяются на критерии частного характера. Для каждой группы критериев определяются весовые коэффициенты, отражающие их важность. Альтернативы сравниваются между собой по отдельным критериям в целях определения критериальной ценности каждой из них. Весовые коэффициенты определяются с помощью попарного сравнения важности критериев.

Подход к решению задачи многокритериального выбора на основе попарного сравнения альтернатив по совокупности их критериальных оценок реализован в виде методов ЭЛЕКТРА. В этих методах строится последовательность

160