Учебники 80358

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ РИСКАМИ

На этапе обработки рисков основной задачей является выбор мер и средств контроля и управления из множества имеющихся альтернатив. Для решения данной задачи целесообразно использовать элементы теории принятия решений.

Теория принятия решений – это область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии с целью изучения закономерностей выбора путей решения разного рода задач, а также способов поиска наиболее выгодных из возможных решений (Википедия).

2.1. Основные понятия и обобщенная классификация задач принятия решений

Постановка задачи принятия решений

Пусть имеется множество X, состоящее из элементов x, называемых альтернативами. Требуется выделить из множества альтернатив X некоторое подмножество или одну лучшую альтернативу либо проранжировать (упорядочить) альтернативы. Выделение или ранжирование альтернатив проводится на основе представления об их качестве некоего субъекта, характеризующего принцип оптимальности (opt) [68].

Указанные элементы – множество альтернатив и принцип оптимальности – позволяют сформулировать следующие определения. Задачей принятия решений назовем пару , решением задачи – альтернативу , подмножество либо ранжировку альтернатив, полученных c помощью принципа оптимальности opt.

Задачи принятия решений в зависимости от имеющейся информации о множестве X и принципе оптимальности opt классифицируют следующим образом:

101

общая задача принятия решений: X и opt не известны;

задача выбора: X известно, opt не известен;

задача оптимизации или задача упорядочения альтернатив: X и opt известны.

Задача выбора, задача оптимизации и задача упорядочения альтернатив являются частными случаями общей задачи принятия решений, в которой требуется сформировать как исходное множество альтернатив, так и принцип оптимальности.

В задаче оптимизации предполагаются известными множество альтернатив и принцип оптимальности, позволяющий выбрать лучшую альтернативу или подмножество лучших альтернатив . Часто принцип оптимальности выражается в виде целевой функции (функции качества, эффективности, выигрыша или потерь) F(x), зависящей от х. В этом случае требуется найти или подмножество , на которых функция F(x) достигает экстремального значения – максимума или минимума – в соответствии со смыслом решаемой задачи.

Иногда целевая функция F(x) не задана в явном виде. Тогда предполагается, что существует субъект принятия решений (индивидуум или группа), имеющий представление о значениях целевой функции F(x) в зависимости от х.

Взадаче упорядочения альтернатив предполагаются известными множество альтернатив и принцип оптимальности, отражающий сравнительное качество альтернатив. На основе принципа оптимальности все альтернативы ранжируются в порядке ухудшения или улучшения их качества.

Взадаче выбора предполагаются известными множество альтернатив и неизвестным принцип оптимальности. Требуется сформировать принцип оптимальности.

Пусть при решении задачи альтернативы обладают m свойствами (характеристиками) . Пусть

102

.

Критериальным пространством назовем пространство , координаты точек которого рассматриваются как оценки по соответствующим локальным критериям. Отображение множества X в критериальное пространство Z порождает в этом пространстве подмножество ZX, являющееся

1)формирование исходного множества альтернатив X

(ИМЛ);

2)решение задачи выбора.

Исходное множество альтернатив X формируют из условий возможности и допустимости альтернатив. Задачу формирования ИМЛ можно формально рассматривать как задачу выбора; из универсального множества альтернатив X выбирают X по некоторому принципу оптимальности opt1.

103

Рис. 2.1. Отображение дискретного множества X

в критериальное пространство Z

104

Процесс решения задачи предполагает участие в нем людей с раз-личными функциями, возможностями и ответственностью. Выделим следующие субъекты процесса: лицо, принимающее решения; эксперты, консультанты [68].

Лицом, принимающим решения (ЛПР), называют специалиста, имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска ее решения. Предполагается, что ЛПР является компетентным в области, связанной с задачей, обладает необходимым опытом деятельности, наделено необходимыми полномочиями и несет ответственность за принятое решение. В задаче принятия решений основная функция ЛПР состоит в выделении альтернативы или подмножества X*.

Во многих процедурах принятия решений ЛПР дает информацию о принципе оптимальности. Именно с учетом предпочтений ЛПР решается задача, и оно определяет, хорошо или плохо решена задача принятия решений.

ЛПР имеет цель, которая служит мотивом постановки задачи и ее решения, имеет полномочия и ответственность, систему предпочтений о преимуществах и недостатках альтернатив.

В определенных ситуациях в качестве ЛПР может выступать группа людей, образуя коллективное ЛПР.

Эксперт имеет информацию об отдельных элементах задачи, но не несет непосредственной ответственности за результат ее решения. Эксперт помогает ЛПР сформировать универсальное множество альтернатив , исходное множество альтернатив X, оценить альтернативы х по локальным критериям предлагает варианты выбора решений.

Консультант (аналитик, специалист по системному анализу) разрабатывает модель задачи или проблемы, процедуры решения, организует работу ЛПР и экспертов.

В некоторых случаях задачу решает непосредственно ЛПР, объединяя функции экспертов и консультантов.

106

Существенным элементом задач принятия решений является то, что качество процесса принятия решений находится в прямой зависимости от полноты учета всех факторов, существенных для последствий от принятых решений. Часто эти факторы носят чисто субъективный характер, присущий как ЛПР, так и любому процессу принятия решений. В этих условиях элементы субъективности заметно сказываются на решении.

Принятие решений часто осуществляется в условиях неопределенности, т. е. ЛПР обладает меньшим количеством информации, чем это необходимо для целесообразной организации его действий в процессе принятия решении. Частичное или полное снятие неопределенности может быть достигнуто за счет имеющейся либо дополнительно получаемой информации.

Неопределенность в принятии решений обычно обусловлена недостаточными надежностью и количеством информации, на основе которой ЛПР осуществляет выбор решения. Существуют различные виды неопределенности. В общем случае можно выделить следующие часто встречающиеся виды:

1)принципиальная неопределенность, например, в известных ситуациях квантовой механики;

2)неопределенность, генерированная общим числом объектов или элементов, включенных в процесс принятия решений, например при числе альтернатив больше

;

3)неопределенность, вызванная недостатком информации и се достоверности в силу технических, социальных и иных причин;

4)неопределенность, обусловленная слишком высокой или недоступной платой за получение информации и переходом к определенности;

5)неопределенность, порожденная ЛПР из-за недостатка его опыта и знании факторов, влияющих на принятие решений;

107

6)неопределенность, связанная с ограничениями в ситуации принятия решений (ограничения но времени и элементам пространства параметров, характеризующих факторы принятия решений);

7)неопределенность, вызванная поведением среды или противника, влияющего на процесс принятия решения.

Таким образом, и процессах принятия решений и задачах, с ними связанных, имеется ряд ситуаций с той пли иной степенью неопределенности, требующих для своего описания в целях получения решения такого математического аппарата, который предусматривал бы возможность появления неопределенности.

К такому аппарату относится теория вероятностей, в соответствии с которой неопределенность ситуации описывается некоторой мерой, характеризующей возможность появления заданных случайных исходов (элементов или подмножеств некоторого множества).

Кроме того, неопределенными ситуациями занимаются теория игр, в которой неопределенность порождается конфликтом и антагонистическими интересами игроков, связанных между собой определенными правилами ведения игры, и теория статистических решений (игр), в которой в качестве одного на игроков выбирается пассивная среда или «природа», поведение которой характеризуется известными, частично известными и неизвестными законами распределения вероятностей. Теорию игр и теорию статистических решений можно считать крайними случаями различных степеней градации неопределенности или случаями разной априорной информированности.

Еще одним эффективным инструментарием дня описания неопределенностей принятия решений является теория нечетких множеств.

Задача выбора – одна из главных в теории принятия решений. В центре теории принятия решений стоит субъект выбора – человек, лицо, принимающее решения. Одно из существенных допущений теории принятия решений состоит в

108

том, что человек делает рациональный выбор. Такой выбор основан на гипотезе, что решение человека является результатом упорядоченного процесса анализа. Для определения понятия рационального выбора и рационального человека – субъекта принятия решений – используется ряд предположений о поведении человека, которые называются аксиомами рационального поведения.

При условии, что эти аксиомы справедливы, доказывается теорема о существовании некоторой функции, описывающей выбор человека, – функции полезности. Полезностью называют величину, которую в процессе выбора максимизирует человек с рациональным поведением.

2.2. Формальное описание моделей принятия решений

Статические задачи принятия решений (в предположении, что составляющие задачи принятия решений и задача в целом не зависят от времени) по признаку определенности описания задачи делят на детерминированные (при определенности), стохастические (или принятие решений при риске) и нечеткие.

Можно выделить три исходные проблемные ситуации принятия решений при определенности, при риске и при нечеткости [68].

При определенности проблемная ситуация многокритериального принятия решений формально описывается следующей моделью [68]:

существуют альтернативы x, принадлежащие исходному множеству альтернатив X, образованному ограничениями и условиями ;

альтернативы х обладают т свойствами (характеристиками) ;

каждому i-му свойству альтернативы X соответствует критериальная оценка – локальный критерий;

109

значения локальных критериев таковы, что лучшими значениями являются те, которые больше;

каждой альтернативе х соответствует в m-мерном критериальном пространстве Z решение (точка)

;

отображение множества X в критериальное пространство Z порождает в этом пространстве множество решений , являющееся образом множества Х:

Особенностью задачи является то, что альтернативе соответствует однозначное описание в пространстве локальных критериев т.е. многокритериальноcть.

Требуется решить одну из следующих задач:

1)задача упорядочения альтернатив по совокупности т

свойств;

2)задача классификации — распределение альтернатив по классам решений;

3)задача выбора — выделение лучшей альтернативы.

Иными словами, требуется предложить формализованную постановку детерминированной задачи выбора, сведя ее к задаче оптимизации, и алгоритмы решения поставленных задач.

Наибольшее внимание в дальнейшем уделим решению задачи выбора. Основная проблема при решении задач выбора, классификации и упорядочения связана с многокритериальностью, отсутствием одного признака, но которому можно упорядочить решения или выбрать лучшее. Основными способами преодоления многокритериальности являются привлечение ЛПР и решение задачи на основе его предпочтений либо постулирование (пли иногда конструирование) определенных принципов оптимальности и

110