9.3. Стереографическая проекция

Стереографическая проекция является уже давно известным в кристаллографии ценным вспомогательным средством, благодаря которому можно получить простое двухмерное изображение пространственных структур. Кроме того, стереографическая проекция правильно отражает угловые соотношения:, т. е. на плоскости проекции можно определить угол, который образуют между собой данные плоскости или направления.

Стереографическая проекция исходит из сферы проекций. Мысленно представляют себе изображаемый кристалл или совокупность кристаллов расположенными в центре сферы проекций и каждую грань изображают точкой выхода ее нормали на поверхность сферы. Затем выбирают плоскость проекций, которую целесообразно совместить с выделяющейся плоскостью изображаемого объекта, и располагают сферу проекций так, чтобы плоскость проекции была горизонтальной и разделила сферу на верхнюю и нижнюю полусферы.

Рис. 56. Стереографическая проекция точки P на сфере проекций

Таким образом, плоскость проекций пересекает сферу проекций по большому кругу (см. далее), основному кругу проекций. Проекция строится (рис.56) таким образом, что точка поверхности сферы, например точка выхода нормали плоскости P на «северную» полусферу, соединяется прямой линией проекций с полюсом S противоположной полусферы.

Точка Р пересечения этой прямой с плоскостью проекций является стереографическим изображением точки P . Полюсы, которые лежат на «южной» полусфере, изображаются за пределами большого круга проекций; их поле проекций простирается до бесконечности. В общем, однако, их также можно изображать внутри большого круга; для этого проектируют полюсы одной половины сферы от полюса S, полюсы другой половины - от полюса N и соответственно их обозначают.

При изображении направлений проектируют точку выхода соответствующего направления на сферу проекций. Таким образом плоскость и ее нормаль имеют одну и ту же точку проекции. Направления, лежащие в плоскости проекции, изображаются точками на концах Диаметра круга проекций.

На сфере и на стереографической проекции различают круги двух видов. Круги с максимальным диаметром, плоскости которых проходят через центр сферы, называют большими. На проекции они имеют вид круга (основной круг) или дуги или же совпадают с диаметром. Дуги пересекают основной круг проекций в двух противоположных точках. Все круги, диаметры которых меньше, чем диаметры больших кругов, называют малыми. На проекции они всегда являются кругами или дугами, если простираются за пределы основного круга.

Их геометрический центр, конечно, не совпадает с центром их проекции. Центр проекции смещается из центра круга настолько, чтобы он составлял одинаковое угловое расстояние со всеми точками окружности. Исключением являются только круги, концентрически расположенные относительно центра проекций.

Рис. 57. Полярная сетка

Рис. 58. Сетка Вульфа

Использование стереографической сетки сильно упрощает изображение плоскостей и направлений в проекции. Такая сетка есть стереографическое изображение сферы, которая, как земной шар, разделена меридианами, т. е. продольными большими кругами, и широтными параллельными кругами. Если эту сферу спроектировать из одного полюса на плоскость экватора, то при взаимном угловом расстоянии в 2° получается картина, изображенная на рис. 57. На такой полярной сетке меридианы становятся диаметрами, а параллели - концентрическими окружностями. Для решения многих стереографических задач применяют проекцию, которую получают, располагая плоскость проекции параллельно оси север-юг сферы проекций, разделенной, как земной шар. В этом случае для взаимного расстояния в 2° получается картина, изображенная на рис. 58, которая называется сеткой Вульфа. На этой стереографической сетке меридианы идут от полюса до полюса, а параллели проходят от одной стороны сетки до другой. На стереографической сетке отмечают изображаемые плоскости и направления и получают картину проекций в значительной мере автоматически, без необходимости каждый раз представлять Себе в частностях процесс проектирования.