Лекция 3 Аналитическая обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов

 Для понимания сути данного метода рассмотрим сначала рис. 5. На нем в обычных и логарифмических координатах изображены опытные значения (точки) и, соответственно, аппроксимирующая кривая и аппроксимирующая прямая.

Рис.5. Иллюстрация реализации метода наименьших квадратов

На данном рисунке y₁, y₂, …, y_n – экспериментальные значения, f(x₁), f(x₂), …, f(x_n) – расчетные значения аппроксимирующей функции. Аналогичные значения, но только в логарифмическом измерении, приведены на правой части рисунка.

В основе метода наименьших квадратов лежит следующее положение: наилучшее приближение аппроксимирующей функции y = f(x) к экспериментальным данным будет в том случае, когда сумма квадратов отклонений расчетных значений f(x₁), f(x₂), …, f(x_n) от экспериментальных данных y₁, y₂ … y_n, является минимальной, т.е.

или

Разность в выражении для S есть отклонение по ординате i – ой экспериментальной точки от заменяющей (аппроксимирующей) кривой. Квадраты отклонений берутся, чтобы компенсировать знаки «-» отклонений.

Сумма S^’ будет минимальной, если ее частные производные по параметрам C и k равны нулю. Произведя дифференцирование и соответствующие преобразования, получают систему нормальных уравнений, которая затем решается для нахождения искомой постоянной C и показателя степени k. Существуют компьютерные программы для обработки экспериментальных данных с целью получения аппроксимирующих функций, реализующие метод наименьших квадратов.

Выражение является математической моделью объекта исследования (здесь процесса резания). Поэтому после получения численных значений C и k необходимо проверить степень соответствия (адекватность) принятой математической модели описываемому объекту. Проверку адекватности производят, например, по F-критерию Фишера. Если принятая аппроксимирующая функция не удовлетворяет критерию Фишера, то она должна быть заменена другой.

После получения частных зависимостей их объединяют в общую зависимость.

Пример объединения двух частных зависимостей. Пусть в результате проведения двух серий экспериментов получены следующие зависимости:

Обе серии экспериментов проводились при неизменных обрабатываемом и инструментальном материалах, скорости резания, СОТС и т.д [10]. Кроме этого первая серия экспериментов была выполнена при постоянной подаче s = s const, а вторая при постоянной глубине резания t = t const. Общая формула, выражающая одновременно влияние t и s на силу P_Z, имеет вид:

Здесь неизвестна постоянная , которая описывает влияние на силу P_Z всех факторов процесса резания, остававшихся постоянными при проведении обеих серий экспериментов, т.е. всех факторов, кроме подачи и глубины резания. Общая формула превращается в частные, если в нее подставить соответственно или , при которой проводилась первая серия экспериментов, или , при которой проводилась вторая серия экспериментов:

Используя данные первой и второй серии опытов, получим:

Вследствие неизбежных погрешностей экспериментов величины , полученные из первой и второй серии опытов, будут отличаться друг от друга. Поэтому окончательно принимают:

Подобным же образом объединяют три и более частных зависимости.

Полученные формулы не являются физическими законами. Они получены на основе обработки вполне реальных экспериментальных данных, поэтому имеют определенную область адекватности. Т.е. за пределами этой области их использовать нельзя. Например, если силовая зависимость была получена для подач от 0,1мм/об до 0,5 мм/об, то при подачах меньше 0,1 или больше 0,5 мм/об эту формулу использовать нельзя. Всякая экстраполяция за пределами области адекватности может привести к существенным ошибкам в расчетах.