2.3. Основные типы лдз

Безынерционное звено описывается дифферен-иальным уравнением

хвых=k хвх , (2.15)

где k – коэффициент передачи (коэффициент усиления) звена.

Передаточная функция этого звена постоянна

W(р)=k. (2.16)

К безынерционным звеньям можно отнести делитель напряжения, а также электронный или полупроводниковый усилитель с пренебрежимо малой постоянной времени (звено мгновенно, без инерции, реагирует на подаваемый на вход единичный ступенчатый сигнал).

Переходная функция безынерционного звена h(t)=1(t) ступенчатая функция (рис. 2.5). Величина скачка равна k.

Рис. 2.5

Частотная передаточная функция безынерционного звена имеет вид

W(j)=k=k+j. (2.17)

P()=k (2.18)

Q()=0

A() = k² + 0 ² = k, (2.19)

()=arctg(0/k)=0. (2.20)

(фазовые сдвиги отсутствуют, ЛФХ совпадает с осью частот и может не учитываться при расчётах).

ЛАХ безынерционного звена имеет вид

L()=20lgA()=20lgk. (2.21)

Рис. 2.6

Апериодическое звено (инерционное) описывается дифференциальным уравнением

(Tp+1)хвых=k хвых , (2.22)

где Т – постояннае времени звена.

Передаточная функция апериодического звена

k

W(р)= Tp+1 . (2.23)

Примерами таких звеньев могут быть RC и RL цепи

Рис.2.7

Переходная функция h(t) имеет вид:

h(t)=k(1-e^-t/T). (2.24)

Рис. 2.8

Для построения ЛАХ и ЛФХ апериодического звена найдём частотную передаточную функцию звена

W(j)=k/(1+jT) , (2.25)

k T

Р()= Q(t)= - . (2.26)

 1+  ² T²  1+  ² T²

L()=20lgА() =20lgk-20lg1+ ² T² (2.27)

График ЛАХ апериодического звена строим приближённо. Находим сопрягающую частоту =1Т и наносим её на логарифмическую сетку.

При малых частотах <1/T, T<1 и  ² T².

Следовательно, 1+  ² T²  1 и можно считать, что L()=20lgk. При 1/T , T1 и  ² T².

Рис. 2.9

Следовательно, 1+  ² T²   ² T² и можно считать, что L()20lgk-20lg(T). ЛФХ апериодического звена  ()= - arctg(T).

Таким образом, при <1/T график ЛАХ представляет собой прямую, параллельную оси частот, а при >1/Т график ЛАХ – это прямая с отрицательным углом наклона –20 дБ на декаду (рис. 2.9).

Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением

(T²р²+2cTр+1)xвых=kxвх, (2.28)

где 0<c<1 - параметр затухания.

Передаточная функция колебательного звена

k

W(р)= T²р²+2сTp+1 . (2.29)

Примером колебательного звеньев может быть RLС цепь, изображённая на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Переходная функция колебательного звена имеет вид

^h(t)=k (2.30)

и её график приведён на рис. 2.11.

Рис. 2.11

Частотная передаточная функция имеет вид

k

W(j)= 1+2cjT-T²² . (2.31)

ЛАХ имеет вид

L()=20 lg k-20 lg (2.32)

При малых частотах (<1/T ,  ² T²) L()=20 lg k. При

 1/T и  ² T² можно считать, что

L()20 lg k - 20 lg (2.33)

Таким образом, можно приближенно считать, что ЛАХ колебательного звена представлят собой ломаную линию ABCD, состоящую из трёх прямолинейных участков на отрезке АВ это прямая, параллельная оси частот, на отрезке СD это прямая, имеющая угол наклона -40 дБ на декаду (рис. 2.12). Такую ломаную ЛАХ можно использовать при параметре затухания 0,5<c<1,2. При других значениях с реальная ЛАХ будет сильно отклоняться от ломаной и пользоваться данным упрощением нельзя. ЛФХ колебательного звена  ()при диапазоне значений 0<c<1 имеют вид как на рис. 2.12.

Интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением

d xвых

=kxвх, или рхвых=кхвх. (2.34)

d хвх

Рис. 2.12

Передаточная функция

k

W(р)= p . (2.35)

К интегрирующим звеньям можно отнести RC цепь

Рис. 2.13

Переходная функция интегрирующего звена имеет вид

h(t)=k  t , (2.36)

её график приведён на рис. 2.14.

Рис. 2.14

Частотная передаточная функция

k

W(j) = j . (2.37)

ЛАХ имеет вид

L()=20 lg (k) . (2.38)

ЛФХ имеет вид  ()=-90. Графики ЛАХ и ЛФХ интегрирующего звена приведены на рис. 2.15.

Дифференцирующее звено описывается уравнением

хвых=k dхвх . (2.39)

dt

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид

W(р)=kp. (2.40)

Рис. 2.15

На практике дифференцирующие звенья применяются в САУ для коррекции и в большинстве случаев реальные

дифференцирующие звенья имеют передаточные функции вида

kр

W(р)= (2.41)

1+Тp .

Примером реального дифференцирующего звена является RC цепь вида

С

U вх R Uвых

Рис. 2.16

Легко видеть, сто реальное дифференцирующее звено представляет собой два последовательно включенных в цепь звена - идеальное дифференцирующее и апериодическое.

Переходная функция реального дифференцирующего звена

h(t)=ke^-t/T. (2.42)

Т

График переходной функции приведён на рис. 2.17.

Рис. 2.17

Частотная передаточная функция имеет вид

kj

W(j)= 1+jt . (2.43)

ЛАХ имеет вид

L()=20lg(k)-20lg (2.44)

При малых частотах (<1/T ,  ² T²) L()20 lg k (прямая с положительным углом наклона, АВ на рис. 2.18).

При  1/T и  ² T² можно считать, что

L()20 lg k - 20 lg Т, (2.45)

это прямая, параллельная оси частот (ВС на рис. 2.18).

Ломаная АВС есть приближенная ЛАХ дифференцирующего звена, отличающаяся от действительной ЛАХ в точке излома на величину не более 3 дБ.

Рис. 2.18

ЛФХ дифференцирующего звена строится в соответствии с формулой

 ()= 90 - arctg(T). (2.46)

Из рассмотренных типовых звеньев элементарными являются безынерционное, интегрирующее и дифференцирующие. Все остальные звенья можно получить из элементарных звеньев, соединяя их между собой определенным образом. Звенья, у которых переходная функция своевременно стабилизируется, называются устойчивыми (они описываются линейными дифференциальными уравнениями (ЛДУ) с положительными коэффициентами). Типовые звенья всегда устойчивы (кроме интегрирующего звена, которое называется нейтральным). В неустойчивых звеньях переходный процесс является расходящимся, и такие звенья описываются ЛДУ с отрицательными коэффициентами.

Для устойчивых и неустойчивых звеньев одного типа амплитудные характеристики одинаковы, а фазовые различны. Сдвиг фазы в устойчивом звене меньше, чем в неустойчивом.