3)Описание линейной системы при помощи разностных уравнений в переменных системах.
Аналогично тому как при описании непрерывных систем используются дифференциальные уравнения 1-го порядка
переменных состояния, для дискретных систем используются разностные уравнения 1-го порядка:
(4.15)
или, учитывая, что
(4.16)
Здесь Ad(k),
Bd(k),
Сd(k)
–матрицы размерности
соответственно.
Структурная схема дискретной системы, описываемой уравнениям (4.16), приведена на рис. 4. 3.
4.3. Прохождение непрерывного сигнала через
цифровое вычислительное устройство
В контур управления дискретных САР и САУ часто входит микропроцессорное устройство (МПУ). Схема, имитирующая прохождение сигнала через МПУ, изображена на рис. 4.4. Схема включает ключ Кл (или импульсный элемент), преобразующий непрерывный сигнал в аналоговый дискретный; АЦП, МПУ, ЦАП и экстраполятор – Э. Следует различать аналоговый дискретный сигнал на выходе Кл от дискретного. Первый может принимать любые значения в заданном амплитудном диапазоне, в то время как амплитуда дискретного сигнала ограничена разрядностью МПУ.
а) – с преобразователями АЦП и ЦАП;
б) – динамическая эквивалентная схема.
Рис. 4.4
Экстраполятор Э приводит сигнал к аналоговому непрерывному виду .влияние на динамику имеют лишь три из перечисленных элементов: ключ, МПУ, экстраполятор, а АЦП и ЦАП не влияют на математическое описание системы, поэтому схему можно представить в упрощенной форме (рис. 4.4 б). Далее предполагают справедливыми следующие ограничения:
1)шаг
дискретизации
;
2)запаздыванием при вычислениях в МПУ можно пренебречь;
3)МПУ выполняет любую линейную операцию (дифференцирование, интегрирование, упреждение, запаздывание, решение дифференциальных и интегральных уравнений и т.д.).
4)МПУ работает в реальном масштабе времени;
5)МПУ может использовать настоящую и прошлую информацию, но не будущую (принцип физической осуществимости). Система, содержащая МПУ, квантует сигнал и по уровню, и по времени. Квантование по уровню создаёт на выходе ошибку (шум квантования).второго порядка малости по сравнению с эффектом квантования по времени, поэтому при рассмотрении динамики системы в первом приближении можно пренебречь шумом квантования. Квантование по времени означает дискретизацию, замену непрерывной функции последовательностью импульсов (рис. 4.5).
а) – квантование по времени;
б).- частотный
спектр
непрерывного сигнала.
Рис. 4.5
Вообще говоря, такая замена может привести к потере информации. Условие, когда при квантовании по времени информация не теряется, то есть, когда по дискретным данным можно восстановить исходную кривую, определяется из теоремы Котельникова.
Если сигнал x(t) обладает конечным спектром, то информация не будет потеряна при выполнении условия.
,
(4.17)
где
-ширина
спектра.
Рассмотрим,
как трансформируется сигнал при
прохождении через каждый элемент схемы
рисунок 4. Предполагаем, что ключ Кл
включается и выключается мгновенно,
генерируя числовую последовательность:
подаваемую на вход АЦП. Итак, на выходе
ключа Кл имеем:
,
(4.18)
Пусть
тогда:
(4.19)
Сигнал g*(t), определяемый формулой (4.19), поступает на вход МПУ и преобразуется в другую цифровую последовательность, определяемую разностным уравнением:
(4.20)
Выходной сигнал
с МПУ
подаётся на вход преобразователя ЦАП,
чтобы преобразовать цифровую
последовательность
в непрерывный сигнал
Обычно желательно, чтобы сигнал
представлял
собой огибающую
для временной последовательности
,
то- есть, в интервале
преобразователь ЦАП должен экстраполировать
значение амплитуды входного сигнала в
момент
на интервале
вперёд. Устройства, выполняющие эту
функцию, называются экстраполяторами.
Экстраполятор m-го порядка определяют как экстраполятор, выход которого в данный момент зависит от m+1прошлых дискретных значений на его входе. Обычно используют полиномиальную экстраполяцию:
(4.21)
Через каждый
интервал
коэффициенты
необходимо в общем случае вычислять
заново.
Самым простым
является экстраполятор, реализующий
полином нулевого порядка (m=0),
то есть
при
Выход такого экстраполятора представляет
собой кусочно-постоянную функцию (рис.
4. 6).
Экстраполятор 1-го порядка (рис. 4.7) описывают полиномом 1-го порядка.
(4.22)
<
,
причём:
.
Рис. 4.7
Z – преобразование
При анализе дискретной системы необходимо решение разностных уравнений, устанавливающих связь между её входом и выходом. Z – преобразование сводит это решение к алгебраическим операциям.
Преобразование
Лапласа превращает непрерывные функции
времени t
в функции комплексного переменного S,
а Z
– преобразование – функции дискретного
времени (последовательность чисел ) в
функции комплексной переменной
,
.
Z – преобразование позволяет ввести понятие Z – передаточной функции, имеющей аналогию с обычной передаточной функцией для непрерывных си
Опуская для простоты интервал дискретизации , запишем последовательность чисел в виде:
,
где k – аргумент, указывающий на порядок следования чисел. Если последовательность f(k) определена только для положительных значений k, то одностороннее Z – преобразование для f(k) определяют при помощи соотношения:
(4.23)
Если функция f(k) определена как для положительных, так и для отрицательных целых чисел, то двухстороннее Z – преобразование для f(k) даётся формулой:
(4.24)
Обратное Z – преобразование определяют формулой:
,
(4.25)
где Г – некоторый замкнутый контур в плоскости z.
Степенной ряд в
(4.23) сходится за пределами круга:
,
то есть для всех
>R,
где радиус:
.
(4.26)
Например, пусть
,
что соответствует выходному сигналу
для простейшей ДЛС первого порядка
(рис. 4.8), описываемой разностным
уравнением:
.
Входной сигнал x(n) представим в виде единичного
64
импульса:
Временные диаграммы для y(n) при 0 < а < 1 приведены на рис. 4. 9.
Рис. 4.8
Последовательность имеет Z – преобразование при
Рис. 4.9
Если а>1, то y(n) неограниченно возрастает, что соответствует неустойчивости системы.
Рассмотрим в качестве примера Z – преобразование некоторых последовательностей.
Единичный импульс (рис. 4. 10).
(4.27)
Рис. 4.10
Используя фильтрующее свойство - функции, находим:
(4.28)
При
,
.
Дискретная функция единичного скачка:
,
или
.
(4.29)
Z – преобразование равно сумме членов геометрической прогрессии.
.
(4.30)
3)
;
Z – преобразование равно:
(4.31)