7. Синтез дискретных систем

Рассмотрим простейший пример синтеза корректирующих звеньев САР в виде RC – цепочки, которая получила название «интегрирующей RC- цепи» (или фильтр нижних частот).

Интегрирующая RC – цепочка (рис. 4.12) описывается дифференциальным уравнением, которое является частным случаем дифференциального уравнения для так называемого инерционного звена:

(4.51)

где x₀ (t) – входное воздействие, X (t) – выходное воздействие, а - коэффициент усиления, T– постоянная времени (T > 0).

Для определения переходной функции h (t) подадим на вход звена единичную функцию:

Рис. 4.12

(1.52)

0, k ≠ 0

(4.52)

при этом считается, что до момента t = 0 звено находилось в покое, то есть х₀ = 0 для t < 0. Начальное условие принимается x (0) = 0, ибо при скачкообразном изменении x величина ,

получила бы бесконечное значение и уравнение (4.51) было бы нарушено. Решение (4.51) при указанных условиях имеет вид (рис. 4.13)

(4.53)

На рис. 4.13 прямая ОМ – касательная к h(t) в точке t = 0, она пересекает асимптоту h(∞) в точке М, имеющей абсциссу Т.

Теперь для интегрирующей RC-цепочки вместо (4.51) запишем:

(4.54) Уравнение в операторной форме, соответствующее (4.51), будет:

(4.55)

Отсюда для передаточной функции интегрирующей RC –цепи при a =1 получим :

, (4.56)

Импульсная переходная функция из (4.22):

( 4.57)

Z - передаточная функция, соответствующая импульсной переходной функции (4.57), будет:

(4.58)

Разностное уравнение

(4.59)

Для построения схемы (4.58) удобнее представить в виде:

(4.60)

Дискретная система, соответствующая (4.60), может быть представлена схемой

_r/T

y(n)

х(n)

Рис. 4. 14

В схеме рис. 4.14 элемент является элементом задержки на время _r.

4.8. Простейшие дискретные линейные системы и цифровые фильтры

.

Дискретная линейная система (ДЛС) называется рекурсивной, если для получения последующего значения выходного сигнала используются предыдущие значения выходного сигнала. В противном случае система считается нерекурсивной. Рассмотрим системы первого порядка.

Разностное уравнение рекурсивного фильтра имеет вид:

(4.61)

С лагаемое определяет порядок фильтра (максимальную задержку).Схема фильтра, соответствующая (4.61), приведена на рис. 4.15.

Рис. 4. 15

Z-передаточная функция, соответствующая (4.61):

(4.62)

К омплексный коэффициент передачи аналогового прототипа системы H(j) получается путем подстановки в (4.62) значения

Получим:

(4.63)

AЧХ фильтра:

(4.64)

Положим : тогда весовая функция

, (4.65)

а для АЧХ из (4.64) получим:

(4.66)

АЧХ фильтра для различных значений коэффициента а₁ приведены на рис. 4.16. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. а₁=1. Фильтр неустойчив: на границах ( при значениях частот t=0, 2, …) АЧХ обращается в бесконечность.

2. а₁ =0,99. Фильтр устойчив, так как АЧХ не обращается в бесконечность ни при каких частотах.

Теоретически на избирательные свойства фильтра ограничений нет, однако для реализации высокой избирательности коэффициент а₁ должен приближаться к единице.

Это влечет за собой усложнение вычислителя для работы с числами большой разрядности.

Дифференцирующая

RC-цепь

Рис. 4.16

3. . Система тоже обладает избирательными свойствами, но на частоте .

При а > 0 характеристика цифрового фильтра приближается к характеристике интегрирующей RC – цепи в области нижних частот, а при а 0 характеристика фильтра напоминает поведение дифференцирующей RC-цепи.

Разностное уравнение для нерекурсивного фильтра первого порядка имеет вид:

(4.67)

Z-передаточная функция, соответствующая (4.67):

(4.68)

Схема ДЛС, соответствующая (4.68), приведена на рис. 4.17.

Рис. 4. 17

Координаты нуля находятся из уравнения:

=0, (4.69)

откуда . (4.70)

Нули и полюсы D(Z) связаны со спектральными свойствами ДЛС: полюсы определяют максимумы спектра (резонансные частоты), а нули связаны с минимумами амплитудного спектра (антирезонансы).

Рис. 4. 18 Рис. 4. 19

Фильтр является абсолютно устойчивым, так как полюс находится в нуле.

Признаком устойчивости фильтра является расположение его полюсов внутри единичной окружности (рис. 4. 18). Отклик системы на единичный импульс, описываемый выражением:

, (4.71)

изображен на рис. 4.19. Комплексный коэффициент передачи аналогового прототипа фильтра:

, (4.72)

Рис. 4.20

Для АЧХ фильтра из (1.72): найдем

(4.73)

Рассмотрим некоторые частные случаи для АЧХ (4.73), представленные на рис. 4.20.

1. .

Ход xарактеристики при изменении относительной частоты от 0 до напоминает дифференцирующую цепь.

2. .

Ход характеристики при тех же значениях частоты напоминает плохой интегратор.

Характерно, что фильтр имеет значение «чистого нуля» на некоторых частотах.

При высокой крутизне S_py РХ и большой инерционности ФНЧ можно считать, что система АРУ поддерживает постоянной суммарную мощность сигнала и шума на выходе усилителя.

Это свойство усилителя с АРУ используется анализе характеристик дискриминаторов радиотехнических следящих систем [1].