4. ЦИфровые системы автоматики
4.1. Определение дискретной системы.
Разностные уравнения
Входные и выходные сигналы непрерывных систем являются функциями непрерывного времени t.
Если независимая
переменная t
принимает только конечное множество
значений
,
то сигнал называется дискретным.
Формирование дискретного сигнала можно
представить себе следующим образом
(рис.4.1).
g(t)
Рис.
4.1
Пусть имеется
ключ Кл (рис. 4.1), который включается на
очень короткий промежуток времени
.
Если на вход такого ключа подать
непрерывный сигнал g(t),
то на его выходе образуется последовательность
импульсов g*(t).
Причём величена
(амплитуда) каждого из импульсов, будет
равна амплитуде непрерывного сигнала
в дискретные моменты
.
В дальнейшем принимают, что интервал
,
(называемый интервалом или шагом
дискретизации по времени) является
постоянным
=const.
Поэтому для интервала наблюдения
имеем:
;
где К – целое число.
Ключ по существу является импульсным амплитудным модулятором непрерывного сигнала и называется импульсным элементом. Известно, что непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями, а дискретные – разностными уравнениями.
Понятие разностного уравнения поясним на следующем примере. Предположим, что нам необходимо вычислить интеграл:
(4.1)
Предположим, что
подынтегральная функция
не интегрируемая в замкнутом контуре.
Тогда обычный прием интегрирования
заключается в том, что функция u(t)
апроксимируется кусочно-постоянной
функцией
(t)
(рис. 4.2), причём
,
(4.2)
Формула (4.2) требует
запоминания всех прежних значений
сигнала
для того, чтобы определить значение
интеграла в данный момент
.
Гораздо более простой способ состоит
в том, что вначале находят:
, (4.3)
а затем вычисляют выражение для разности (4.2) и (4.3):
(4.4)
или
(4.5)
Согласно
(4.5), необходимо запомнить только
предыдущее значение интеграла
и его значение
в данный момент времени, чтобы определить
значение интеграла в последующий момент
.
Выражение (4.5) является разностным уравнением 1-го порядка.
Алгоритм его решения заключается в следующем:
1) запоминается начальное условие: y(0)=0 – начальная сумма;
2) формулу (4.5) применяют последовательно для значений к = 0, 1, 2, …, то есть:
…………….
На каждом шаге
этого итерационного процесса каждое
последующее значение выхода
вычисляют сложением его предыдущего
значения
c
предыдущем значением выхода
,
умноженным на
.
В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид:
(4.6)
Для того, чтобы
при помощи этой формулы вычислить
,
необходимо запомнить предыдущие значения
выхода
и входа
,
а затем выполнить указанные действия умножения и сложения.