Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 800396

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
2.23 Mб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева, М. Л. Федюнин

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Учебное пособие

Воронеж 2020

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.1я7

Д503

Рецензенты:

кафедра математического анализа Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А. Д. Баев); д-р техн. наук, проф. С. Ю. Панов

 

Ряжских, В. И.

 

Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие

Д503

[Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,1 Mб) /

В. И. Ряжских, А. В. Ряжских, Е. А. Соболева, М. Л. Федюнин. –

 

 

Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический

 

университет», 2020. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем.

 

требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA

 

с разрешением 1024×768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. –

 

Загл. с экрана.

ISBN 978-5-7731-0853-5

Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал таких разделов математического анализа, как введение в начало математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Изложение теоретического материала сопровождается выводом и доказательством всех разделов.

Издание предназначено для студентов специальности 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной формы обучения.

Ил. 12. Табл. 2. Библиогр.: 4 назв.

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.1я7

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-7731-0853-5 © Ряжских В. И., Ряжских А. В., Соболева Е. А., Федюнин М. Л., 2020

©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2020

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие представляет собой теоретические аспекты математического анализа. Представленный материал служит основой для решения задач рассмотренного курса.

Учебное пособие является концентратором основных положений теоретического характера с подробной иллюстративной и практической направленностью, адаптированной на широкую предметноориентированную студенческую аудиторию, обучающуюся по различным образовательным техническим программам специалитета, в том числе аэрокосмической подготовки инженеров высокой квалификации, обладающих глубокими знаниями в использовании математического аппарата как инструментария выполнения проектов повышенной сложности.

Список обозначений:

□ ■ – начало и конец доказательства.

3

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1.1. Основные понятия

Определение. Под множеством будем понимать совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, будем называть его элементами. Будем обозначать A, B,...,X ,Y – множества, a,b,...,x, y – элементы.

Запись: x X – ″x принадлежит X″;

x X – ″x не принадлежит X″.

Замечание. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Определение. Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент А является элементом множества В. Обозначение:

A B.

Определение. Множества А и В равны A B , если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:

A B A B .

Определение. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и множеству B. Обозначение:

A B A B .

Логические символы: – ″из следует ″; – ″для любого″; – ″существует″; : – ″имеет место″.

1.2. Числовые множества. Множества действительных чисел

Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

N 1, 2,3,..., n,... – множество натуральных чисел.

Z0 0,1, 2,3,..., n,... – множество целых неотрицательных чисел.

4

Z 0, 1, 2,..., n,... – множество целых чисел.

m

 

 

Q

 

: m Z, n N

– множество рациональных чисел.

 

n

 

 

R – множество действительных чисел.

Справедливо соотношение: N Z0 Z Q R.

Замечание. Множество R содержит рациональные и иррацио-

нальные числа и обладает следующими свойствами:

 

1) оно упорядоченное, т.е. a,b: a R, b R a b

или a b ;

2) оно плотное: между a и b R содержится бесконечное множество действительных чисел;

3) оно непрерывное.

1.3.Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a,b R a b .

Определение. Числовыми промежутками называются подмно-

жества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

a,b x: a x b – отрезок;

a,b x: a x b – интервал;

a,b x: a x b , a,b x: a x b – полуоткрытые интервалы (или отрезки);

,b , a, – символы « » обозначают неограниченное удаление чисел вправо или влево.

Определение. Пусть x0 R. Окрестностью точки x0 называется любой интервал a,b , содержащий x0. Если a x0 , b x0 , то интервал называется – окрестностью (x0 – центр, – радиус).

Записи вида – эквиваленты.

5

2.ФУНКЦИЯ

2.1. Понятие функции

Понятие функции вводится для установления зависимости между элементами двух множеств.

Определение. Пусть X ,Y . Соответствие f, которое каждому x X сопоставляет единственный y Y , называется функцией и записывается y f x или f : X Y . f отображает X на Y .

X – множество – область определения, Y – область значений.

2.2.Числовые функции. График функции. Способы задания функций

 

Пусть

f : X Y ,

X ,Y R, тогда f называется числовой функцией,

и для краткости будем писать y f x ,

где x – аргумент; y – функ-

ция. Эквивалентно: y y x . Если x a,

то f(a).

 

 

Определение. Графиком функции y f x называется множе-

ство

точек

на

Oxy,

для каждой из

которых x

– аргумент,

y – функция.

 

 

 

 

 

 

 

Способы задания: аналитический, графический, табличный.

2.3.

Основные характеристики функций

 

 

Определение. Пусть y f x , x D,

называется

четной, если

x D : x D и

f x f x , нечетной

 

f x f x .

 

Определение. Пусть y f x , x D и D1 D.

 

Если x1,x2 D1 x1 x2

f x1 f x2 , то f возрастающая на D1;

если

f x1

f x2

неубывающая; если

 

f x1 f x2 убывающая;

если

f x1

f x2

невозрастающая.

 

 

 

Определение. Возрастающие, неубывающие, убывающие, невозрастающие функции называются монотонными, а их интервалы –

интервалами монотонности.

6

 

Определение.

 

y f x , x D называется

ограниченной,

если

M 0, x D

 

f x

 

M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

 

y f x , x D называется

периодической,

если

T 0, x D: x T D,

f x T f x , T – период.

 

 

2.4.

Обратная функция

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Пусть y f x , x D,

y E. Если y E x D,

то

x y обратная

 

 

функция

для

f x . Также

записывают

x y f 1 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Взаимно однозначное соответствие возможно

только, когда f – строго монотонна.

 

 

 

 

 

2.5.

Сложная функция

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

 

Пусть y f u , u D; u x , x D1, причем

x D u x D, тогда на D

1

определена

y f

x которая

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется сложной функцией.

2.6.Основные элементарные функции

1. Показательная функция: y ax , a 0, a 1. 2. Степенная функция: y x , R.

3. Логарифмическая функция: y loga x, a 0, a 1.

4. Тригонометрические функции: y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции: y arcsin x, y arccos x, y arctg x, y arcctg x.

Определение. Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и построенных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операции взятия функции от функции,

называется элементарной функцией.

7

Пример неэлементарной функции:

 

 

1, x 0,

 

x2

1, если x 0,

 

 

 

0, x 0,

 

 

sign x

 

y

если x 0.

 

 

 

1, x 0,

 

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

x3

 

 

x5

 

x7

... 1 n

 

x2n 1

 

...

 

 

 

 

 

2n 1 ! 2n 1

 

3!3

5!5

 

7!7

 

 

3.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1. Числовая последовательность

 

 

 

Определение.

Под

числовой

последовательностью

x1, x2 ,..., xn ,... будем понимать функцию

 

 

 

 

 

 

 

xn f n , n N.

 

 

 

 

Обозначение: xn , xn ,

n N; xn n-ый член последовательности.

 

 

 

Определение.

x

ограниченная,

если M 0,

что n N

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

xn

 

M .

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

возрастающая (неубывающая), если

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n N : xn 1 xn , xn 1 xn .

Аналогично

определяется

убывающая

(невозрастающая) последовательность.

Определение. xn постоянная, если n N : xn const.

Замечание. Рекуррентный способ задания: xn f xn 1 .

3.2. Предел числовой последовательности

Определение. a предел последовательности, если

0, N : n N xn a lim xn a.

n

Определение. R дополненное и называется расширен-

ным.

Замечание. Имеется взаимно однозначное соответствие между расширенным R и числовой прямой.

8

аналогично:

Лемма. У расширенного R a,b R существуют непересекающиеся окрестности.

□ Покажем, что a R и b R 1

, 2 0, что

 

a 1, a 1

b 2 ,b 2 .

 

Возьмем 1 2 b a 2, тогда утверждение справедливо.

Теорема. xn R, n N имеет один предел.

Пусть xn R, у которой a b R пределы xn . Выберем 1 0

и2 0 так, чтобы (см. лемму)

a 1, a 1 b 2 ,b 2 .

Тогда lim xn a n1 N, что n n1,n N xn a 1,a 1 ,

n

lim xn b n2 N, что n n2 , n N xn b 2 ,b 2 .

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть n0 max n1, n2

, тогда n n0 будем иметь xn a 1, a 1 и

x b

2

,b

2

, т.е.

x a

,a

b

2

,b

2

.

n

 

 

n

1

1

 

 

 

Противоречие!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. yk называется подпоследовательностью xn ,

если k N nk N, что yk xnk .

Лемма. Если lim xn a,

то lim yk a.

 

 

n

k

 

 

 

□ Из lim xn a n0: n n0 ,n N выполняется xn a , a , но

n

 

xn a ,a

 

тогда для n0 k N, k k0 ,

k N : nk n0

 

 

 

 

k

 

 

lim yk a.

 

 

 

k

 

 

 

3.3. Предельный переход в неравенствах

 

 

 

 

Теорема. Если lim xn a, lim yn b

и, начиная с некоторого

n

n

 

 

 

номера N, выполняется неравенство xn yn ,

то a b.

 

 

 

 

 

 

9

□ Допустим, что a b. Из того, что lim xn a

 

и lim yn

b следует, что

0 N , что при n N

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

выполнены неравенства

 

 

 

xn a

 

 

и

 

yn b

 

 

,

т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a xn a

 

и b yn b .

 

 

 

Возьмем

1

a b , тогда x

 

a a

a b

 

 

a b

,

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y b b

a b

 

 

a b

,

 

 

 

x

y

,

а

 

 

это

 

противоречит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условию xn yn , т.е. a b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если lim xn a,

lim yn a и справедливо неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn zn yn (начиная с некоторого номера), то lim zn a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

□ Возьмем 0, тогда n1 N и n2 N, что n n1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a xn a

и n n2: a yn a .

 

 

Выберем

n0 max n1, n2 ,

тогда

вновь

будем

иметь

n n0:

a xn a и

 

 

 

a yn a , причем xn , yn a , a .

Неравенство xn zn

yn означает, что zn xn , yn при n n0

 

 

zn a , a , т.е. lim zn

a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.4. Предел монотонной ограниченной последовательности

 

 

Определение.

xn называется ограниченной сверху (снизу),

если a : n N xn a xn a . Если xn ограничена и

сверху,

и

снизу, то xn называется ограниченной, т.е.

 

xn

 

 

a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если lim xn a, то

 

 

 

xn

 

 

b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

□ Возьмем, например, 1, тогда n1, что n n1:

 

xn a

 

1.

 

 

 

 

 

Пусть d max 1,

 

x1 a

 

,...,

 

xn 1 a

 

, тогда n N:

 

 

xn a

 

d.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]