3.4 Законы сохранения

Любые расчеты технологических процессов на ЭВМ основаны на законах сохранения, под которыми понимаются физические закономерности, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых физических процессах.

Если система не является изолированной, то законы сохранения записываются в виде уравнений баланса, связывающих скорость изменения «полного количества» соответствующей физической величины в некотором объеме с «потоком» этой величины через поверхность, ограничивающую объем и «источниками», действующими внутри объема.

Законам сохранения, записанным в интегральной форме соответствуют локальные законы сохранения – уравнения, тождественно выполняющиеся в каждой точки области, заполненной сплошной средой.

К основным физическим законам сохранения относятся:

1) сохранение массы;

2) сохранения количества движения;

3) сохранения момента количества движения;

4) сохранения механической энергии.

Если система не является изолированной, то законы сохранения записываются в виде уравнений баланса, связывающих скорость изменения «полного количества» соответствующей физической величины в некотором объеме с «потоком» этой величины через поверхность, ограничивающую объем и «источниками», действующими внутри объема.

Законам сохранения, записанным в интегральной форме для произвольного объема сплошной среды, соответствуют локальные законы сохранения – уравнения, тождественно выполняющиеся в каждой точке области, заполненной сплошной средой.

3.5 Зависимости механики континуума в матричном представлении

Реализация алгоритмов математических моделей процессов обработки металлов давлением приводит к построению систем линейных алгебраических уравнений и последующему решению этих систем на ЭВМ на основе координат узлов построенной сетки конечных элементов (КЭ).

При этом, перед исследовании процессов, протекающих в сплошной среде, необходимо выбрать систему координат, относительно которой будут определяться характеристики узлов сетки КЭ.

Дальнейшее исследование рассматриваемых процессов может идти по двум возможным подходам: исследование на основе переменных и методов Лагранжа и Эйлера, на которых основаны метод конечных элементов и метод конечных объемов соответственно.

В первом подходе объектом изучения являются сами узлы сетки КЭ, при этом рассматривают во времени изменение некоторых скалярных или векторных величин, таких как плотность, температура, скорость, а также изменение этих величин при переходе от одной частицы к другой.

В качестве таких координат обычно принимают декартовы координаты Xi произвольного узла в начальный момент времени t = 0, тогда ее текущие координаты xi в том же базисе неподвижного пространства наблюдателя есть функции времени t и начальных координат той же частицы:

(3.6)

Переменные X1, X2, X3 и время t называются переменными Лагранжа.

Зависимости (3.1) полностью определяют положение частицы в пространстве ее лагранжевыми координатами X1, X2, X3. Это позволяет ввести еще одну систему координат – подвижную деформируемую систему координат X1, X2, X3, которая называется соответствующей системой.

Второй подход, развитый Эйлером, в качестве объекта изучения принимает неподвижное пространство наблюдателя (или его фиксированную часть), заполненную движущейся средой.

Различные величины, характеризующие движение, считаются функциями узла и времени, т.е. функциями трех аргументов xi и времени t, называемых переменными Эйлера.

С точки зрения Эйлера, объектом изучения являются различные поля (скалярные, векторные или тензорные), характеризующие движение сплошной среды.

Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов, который можно трактовать как метод аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений заданной функции в некотором конечном числе точек области ее определения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей.

К основным этапам решения задачи на ЭВМ можно отнести следующее:

1) ввод геометрии и условий процесса;

2) дискретизация области;

3) генерирование начальных значений полей скоростей на первом шаге;

4) локальная аппроксимация на отдельном элементе;

5) глобальная аппроксимация кусочно-полиномиальной функцией, определенной на всей области;

6) составление системы линейных алгебраических уравнений с применением метода Ритца или Галеркина;

7) решение полученной системы относительно узловых значений;

8) вычисление погрешности;

9) вычисление искомых величин в элементе;

10) преобразование геометрии.

Решение рассматриваемых задач происходит в следующем порядке:

процесс дискретизации области сводится к двум этапам: разбиение рассматриваемой области на линейные и треугольные элементы и нумерация элементов и узлов;

построение интерполяционного полинома для отдельного элемента;

построение интерполяционного полинома для дискретизированной области;

построение матрицы жесткости.

Результирующая система уравнений имеет следующий вид

, (3.7)

где [К] – матрица жесткости;

{Ф} – матрица жесткости элемента;

{F}- глобальная матрица жесткости.

Таким образом, при использовании метода конечных элементов получается система уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных узловых параметров, к которым главным образом относятся деформации и напряжения.

Одним из наиболее эффективных методов решения системы уравнений является метод исключения Гаусса, для использования которого матрица системы преобразуется к треугольному виду, после чего решение получается обратной прогонкой.

Процесс деформирования заготовки рассчитывают поэтапно. Расчет каждого этапа содержит вычисление перемещений узлов и приращений неизвестных внешних сил. По найденным перемещениям подсчитывают приращения деформаций и напряжений элементов.