3.2 Осесимметричное напряженно-деформированное состояние

Одним из частных случаев напряженного состояния, весьма часто встречающихся при обработке металлов давлением, является осесимметричное напряженное состояние, под которым понимают состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, расположенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях.

Определяющие отношения напряжений и деформаций рассматривают при следующей постановке задачи. Пусть дана некоторая область, образованная вращением криволинейной полосы вокруг оси x1 (рис. 16).

Рис. 16. Постановка осесимметричной задачи

При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором, полярным углом, отсчитываемым от выбранной оси и аппликатой z.

Тензор напряжений в цилиндрических координатах запишется следующим образом

(3.4)

При решении некоторых осесимметричных задач кроме цилиндрических, могут встретиться так же сферические координаты. В этой системе положение точки будет определяться радиусом-вектором и двумя углами, определяющими его положение в пространстве. При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравнениях равновесия обратятся в нуль.

Кроме того, в меридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось z) не может возникнуть касательных напряжений вследствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки, и, таким образом, компоненты напряжений при осесимметричном напряженном состоянии можно записать следующим образом

(3.5)

3.3 Объемное напряженно-деформированное состояние

Математическое моделирование объемных пластических течений связано с большими математическими трудностями. Основная проблема – это размерность задачи. Так, при использовании метода конечных элементов решение трехмерных задач приводит к системам с многими сотнями или тысячами неизвестных. Вместе с тем хорошо организованный вычислительный процесс позволяет обойтись более доступными ресурсами. Подход к решению краевых задач, основанный на концепции опорного решения и его последующего уточнения, дает возможность ограничиваться сравнительно простыми конструкциями уточняющих функций.

Другими словами, для уточнения «хорошего» начального приближения требуется сравнительно небольшое число членов ряда или конечных элементов. Во многих случаях при решении объемных задач рациональным оказывается применение имитационной модели. Содержащиеся в расчетных формулах эмпирические коэффициенты определяются в процессе проведения «обучающих» экспериментов, а затем апробируются на другой серии «проверочных» экспериментов.

При разработке модели объемного неизотермического течения сплошной среды используют алгоритм, состоящий из следующих этапов:

составление алгоритмов отображения на каноническую область;

алгоритмы разбиения твердотельных объектов сеткой конечных элементов;

построение опорного поля скоростей;

составление уравнений теплопроводности и анализ температурного поля;

уточнение опорного решения. Производится методом конечных решений. В качестве последних используют прямоугольные параллелепипеды сирендипова семейства. В рассматриваемой области им будут соответствовать криволинейные элементы.

В качестве узловых параметров принимают три компоненты поправочного вектора скорости и гидростатические давления . Целью этапа является определение распределения напряжений. Решение задачи распределения напряжений выполняют исходят из уравнений равновесия и одного из условий пластичности;.

зная распределение напряжений по поверхности поковки и имея опытные данные о механических свойствах различных металлов при температурах ковки и штамповки, определяют величину деформирующего усилия.