Решение. На основании исходных данных составляем систему уравнений (1) для определения коэффициентов и . Находим коэффициенты системы, вычисляя суммы:

; ;

;

; ;

.

;

.

Откуда система (1) имеет вид:

Решим эту систему по методу Крамера. Вычисляем определитель системы:

Аналогично вычисляем частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:

; ; .

Коэффициенты уравнения определяются по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

.

Найдем теперь оценки парных коэффициентов корреляции и . Для этого находим средние значения

Решение. Находим

Парные коэффициенты корреляций равны (5.2):

;

;

.

Видно, что первые два коэффициенты очень высоки, что говорит о сильном влиянии факторов Х₁ и Х₂ на результат Y. Однако, коэффициент также высок, что говорит о сильной связи факторов Х₁ и Х₂ . Такие факторы называются интеркоррелированными и их наличие ухудшает качество регрессионной модели. Если факторы зависимы, то нет смысла их оба включать в модель, а нужно либо оставить в модели один из факторов (тот, который сильнее влияет на результат), либо объединить оба фактора в один общий, в обоих случаях получив парную регрессию.

Находим множественный коэффициент (индекс) корреляции (5.3):

Коэффициент множественной корреляции практически равен единицы, что дает основания предполагать, что факторы Х₁ и Х₂ в совокупности оказывают на результат Y практически полное функциональное влияние.

Сравниваем индекс множественной корреляции с парными индексами корреляции:

.

Следовательно, включение обоих факторов в уравнение множественной регрессии является обоснованным.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью с помощью F-критерия Фишера:

, (5.4)

где - число наблюдений;

- число факторов.

Полученное по формуле (5.4) значение F сравнивается с табличным при уровне значимости . Табличные значения критических точек распределения Фишера приведены в табл. 2.

Таблица 2

Критические точки распределения f Фишера

k2	k1 Уровень значимости α = 0,05
	1	2	3	4	5	б	7	8	9	10	12
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	244
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,41
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,74
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,90
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,68
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,00
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,57
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,28
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,07
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,91
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,79
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,69
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,60
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,53
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,48
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,42
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,50	2,38

Если фактическое значение F-критерия Фишера превышает табличное, то уравнение статистически значимо с вероятностью . При использовании таблицы следует принимать .

Пример. Для уравнения корреляции, полученного в предыдущих примерах, вычислить значение F-критерия Фишера и определить статистическую значимость уравнения.

Ранее был вычислен индекс множественной корреляции . По формуле (5.4) получаем

.

По таблице определяем для значений :

Мы видим, что , а, значит, полученное уравнение корреляции является статистически значимым.

Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

, (5.5)

где - стандартизованные переменные;

, для которых среднее значение равно нулю, а среднее квадратическое значение равно единице;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэффициентов регрессии.

. (5.6)

ПРИМЕР. Согласно (5.6) и , , из предыдущего примера получаем систему нормальных уравнений в виде:

Окончательно получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе в виде:

Вопросы для обсуждения:

1. Почему необходимо часто строить модель множественной регрессии; приведите примеры экономических процессов и явлений, где Вы бы применяли данную модель?

2. В чем отличие целей построения модели парной регрессии и модели множественной регрессии?

3. В чем Вы идите специфику спецификации модели множественной регрессии?

4. Каким требованиям должны отвечать факторы модели множественной регрессии и почему?

5. Как должны соотноситься коэффициенты детерминации для m и (m+1) факторов модели?

6. Объясните практическое применение в экономике частных коэффициентов эластичности.

7. В чем заключается смысл расчета скорректированного индекса корреляции и какова связь его с индексом корреляции при различных количествах, вводимых в модель факторов?

Тесты

1. В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции:

а) 0 ≤ R_yx1x2 ≤ ∞;

б) 0 ≤ R_yx1x2 ≤ 1;

в) -1≤ R_yx1x2≤ 1.

2. В каких пределах изменяется множественный коэффициент детерминации?

а) 0 ≤ R ² _yx1x2 ≤1;

б) 1 ≤ R ² _yx1x2 ≤ ∞;

в) -1≤ R ²_yx1x2 ≤ 1?

3. Частный коэффициент корреляции оценивает:

а) тесноту связи между двумя переменными;

б) тесноту связи между тремя переменными;

в) тесноту связи между двумя переменными при фиксирован­ном значении остальных факторов.

4. Какой коэффициент указывает в среднем процент изменения результативного показателя у при увеличении аргумента х на 1 %:

а) коэффициент детерминации;

б) коэффициент регрессии;

в) коэффициент эластичности:

г) бета-коэффициент?

5. Множественный линейный коэффициент корреляции R_{vx1 x2} равен 0,75. Какой процент вариации зависимой переменной y учтен в модели и обусловлен влиянием факторов х₁ и х₂.

а) 56,2;

б) 75,0;

в) 37,5?

6. Имеются следующие данные:

коэффициент регрессии a₁= 1,341;

среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии S = 0,277.

Определите t - критерий Стьюдента и оцените значимость ко­эффициента регрессии а₁, если t_табл =2,11 при уровне значимости а = 0,05.

а) 0,207, коэффициент незначим;

б) 4,841, коэффициент значим;

в) 4,841, коэффициент незначим.

7. Имеется матрица парных коэффициентов корреляции:

Коэффициенты	У	X1	X2	X3
Y	I
X1	-0,782	I
X2	0,451	0,564	1
X3	0,842	-0.873	0,303	1

Между какими признаками наблюдается мультиколлинеарность:

а) У и X₃;

б) X₁ и X₃;

в) X₁ и X_2.

8. Какое значение может принимать множественный коэффи­циент корреляции:

а) 1,501;

б) -0,453;

в) 0,861?

9. Уравнение множественной регрессии имеет вил:

у = -27,16+ 1,37x₁ - 0,29х₂. Параметр а₁ = 1,37 означает сле­дующее:

а) при увеличении х₁ на одну единицу своего измерения пе­ременная у увеличится на 1,37 единиц своего измерения;

б) при увеличении х₁ на одну единицу своего измерения и при фиксированном значении фактора х₂ переменная у увеличится на 1,37 единиц своего измерения;

в) при увеличении х₁ на 1,37 единиц своею измерения и при фиксированном значении фактора х₂, переменная у увели­чится на одну единицу своего измерения.

10. Значение бета-коэффициента определяется по формуле:

а) a_j * S_xj / S_y

б) r_jy * β _j / R ²

в) a_j * x_jср / y_ср