Тема 2. Предмет эконометрика

1. Роль эконометрики

2. Регрессионные модели

3. Метод наименьших квадратов

1. Роль эконометрики

В экономической практике очень часто приходится проводить исследования, основанные на результатах наблюдений за некоторым экономическим явлением или процессом. Экономист - исследователь, наблюдая за исследуемым объектом, получает совокупность данных каких-либо экономических показателей, и из анализа делаются выводы о характеристиках и свойствах этого объекта.

Эконометрика (Econometrics) - совокупность методов анализа связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. При помощи этих методов можно выявлять новые, ранее не известные связи между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией, моделировать динамику изменения экономических показателей, осуществлять прогнозирование поведения экономических процессов.

Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Становление и развитие эконометрики происходили на основе так называемой высшей статистики, когда в уравнение регрессии начали включаться переменные не только в первой, но и во второй степени. В ряде случаев это необходимо для отражения свойства оптимальности экономических переменных, т.е. наличия значений, при которых достигается минимальное или максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например, влияние внесения в почву удобрений на урожайность: до определенного уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту урожайности, а по достижении оптимального уровня насыщения удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности и даже может вызвать ее снижение.

В эконометрике, как дисциплине на стыке экономики (включая менеджмент) и статистического анализа, естественно выделить три вида научной и прикладной деятельности (по степени специфичности методов, сопряженной с погруженностью в конкретные проблемы):

а) разработка и исследование эконометрических методов (методов прикладной статистики) с учетом специфики экономических данных;

б) разработка и исследование эконометрических моделей в соответствии с конкретными потребностями экономической науки и практики;

в) применение эконометрических методов и моделей для статистического анализа конкретных экономических данных.

Основным объектом исследования в эконометрике является выборка. Выборкой объема n называются числа x_{1 ,} x_{2 ,} …, x_n, получаемые на практике при n – кратном наблюдении за некоторым показателем. На основании выборочных значений исследуемых показателей можно строить разные модели зависимостей этих показателей.

2. Регрессионные модели

Уравнение, описывающее связь между несколькими экономическими показателями, которые строятся на основании опытных данных, называются регрессионными моделями.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая (парная) регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т.е. модель вида

,

где y – зависимая переменная (результативный признак);

x – независимая переменная (признак-фактор).

Модель парной, или однофакторной, регрессии, называется полиномом первой степени. Модель парной регрессии применяется для характеристики процессов, равномерно развивающихся во времени.

Общий вид модели парной регрессии зависимости переменной у от переменной х:

y_i = β₀ + β₁ x_i + _i,

где y_i - результативные переменные, i=1, 2,...,n;

х_i - факторные переменные;

β₀, β₁ - неизвестные параметры модели парной регрессии;

_i - случайная ошибка регрессионной модели.

Случайная ошибка модели парной регрессии возникает на основе объективных условий, таких как:

1) условие нерепрезентативности выборки, при котором в парную регрессионную модель включается только один фактор, не способный полностью объяснить изменение результативной переменной;

2) условие ошибочного измерения переменных, участвующих в регрессионной модели.

Параметр β₀ в модели парной регрессии - это среднее значение зависимой переменной у при условии, что независимая переменная х равна нулю (если значение х = 0 имеет экономический смысл).

Параметр β₁ в модели парной регрессии - это коэффициент модели регрессии. Значение параметра β₁ характеризует, насколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении факторной переменной х на единицу своего измерение. Знак коэффициента модели регрессии β₁ в модели парной регрессии указывает на направление связи между изучаемыми переменными. Если β₁ > 0, то связь между переменными прямая, т.е. с увеличением переменной х увеличивается и переменная у, и наоборот. Если коэффициент β₁ < 0, то связь между переменными обратная, т.е. с увеличениям переменной х переменная у уменьшается, и наоборот.

Мерой связи между двумя переменными служит выборочная ковариация.

Выборочной ковариацией двух переменных х и у называется средняя величина произведений отклонений этих переменных от своих средних значений:

где cov(х, у) - ковариация случайных величин х и у; х_i и у_i - i-е значения величин х и y; _x и_y - средние значения величин х и y; i - порядковый номер дискретного значения пар величин х и у; п - общее число дискретных значений пар величин х и y.

Коэффициент корреляции определяется выражением:

где cov (х, у) - ковариация случайных величин х и y;

var (х) и var (у) - вариации величин х и y;

σ_x и σ_y - стандартные отклонения величин х и y.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных: r > 0 при положительной связи и r = 1 при строгой положительной линейной связи; r < 0 при отрицательной связи и r = -1 при строгой отрицательной линейной связи; r = 0 при отсутствии линейной связи.

Случайные величины х и у называются некоррелированными, если r = 0, и коррелированными, если r ≠ 0. Если случайные величины х и у независимы, то они и некоррелированы (r = 0), но из некоррелированности не следует их независимость. Некоррелированность указывает лишь на отсутствие линейной связи между переменными.

Множественная регрессия соответственно представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т.е. модель вида

.

Простая регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Однако когда уверенности в правомерности такого допущения нет, необходимо использовать модель с большим числом факторов. Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства и целого ряда других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Суть этой проблемы включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная, гиперболическая и степенная функции.

3. Метод наименьших квадратов

Существуют определенные методы оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии.

Метод наименьших квадратов (МНК), при котором рассчитывается сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной у от теоретических значений , рассчитанных на основании функции регрессии f(х). Для определения оптимальных значений неизвестных коэффициентов β₀ ...β_n функционал F минимизируется по данным параметрам:

т.е. рассчитываются такие коэффициенты β₀..β_n, при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной у от теоретических значений была бы минимальной.

Достоинством МНК является сведение всех вычислительных процедур к простому вычислению неизвестных коэффициентов; доступность математических выводов.

Основной недостаток МНК – это чувствительность оценок к резким выбросам, встречающимся в исходных данных. МНК является наиболее распространенным методом оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии.

Предположим, что между результативной переменной х и факторной переменной у существует линейная связь, которая описывается равенством:

y_i = а + b x_i. (2.1)

Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что нужно рассчитать такие значения коэффициентов a и b, которые минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной у от теоретических значений , т.е. доставляли минимум функции (2.1):

(2)

Значения результативной (у) и факторной (х) переменных известны из наблюдений. Следовательно, при минимизации функции (2.1) неизвестными являются только значения коэффициентов модели регрессии a и b.

Для определения минимума функции двух переменных рассчитываются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю.

Полученная система уравнений называется стационарной системой уравнений для функции (2.1).

В результате преобразование стационарной системы уравнений получим систему двух нормальных линейных уравнений:

Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии:

где _у - среднее значение результативной переменной; _х - среднее значение факторной переменной; - среднее арифметическое значение произведения результативной и факторной переменных; S²_x - дисперсия факторной переменной; соv(х, у) - ковариация между результативной и факторной переменными.

Свойства ковариации:

1) соv(х,А) = 0, где А = соnst, т.е. ковариация между переменной х и какой-либо константой А равна нулю;

2) соv(x, x) = S²(x) т.е. ковариация переменной х с самой собой равна дисперсии этой переменной.