Критические значения распределения Стьюдента
n |
p |
|||||||
0,8 |
0,9 |
0,925 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
1 |
1,376 |
3,078 |
4,165 |
6,314 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
318,29 |
2 |
1,061 |
1,886 |
2,282 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,925 |
22,328 |
3 |
0,978 |
1,638 |
1,924 |
2,353 |
3,182 |
4,541 |
5,841 |
10,214 |
4 |
0,941 |
1,533 |
1,778 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
7,173 |
5 |
0,920 |
1,476 |
1,699 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
5,894 |
6 |
0,906 |
1,440 |
1,650 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,208 |
7 |
0,896 |
1,415 |
1,617 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
4,785 |
8 |
0,889 |
1,397 |
1,592 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
4,501 |
9 |
0,883 |
1,383 |
1,574 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,297 |
10 |
0,879 |
1,372 |
1,559 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,144 |
11 |
0,876 |
1,363 |
1,548 |
1,796 |
2,201 |
2,718 |
3,106 |
4,025 |
12 |
0,873 |
1,356 |
1,538 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
3,930 |
13 |
0,870 |
1,350 |
1,530 |
1,771 |
2,160 |
2,650 |
3,012 |
3,852 |
14 |
0,868 |
1,345 |
1,523 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
3,787 |
15 |
0,866 |
1,341 |
1,517 |
1,753 |
2,131 |
2,602 |
2,947 |
3,733 |
16 |
0,865 |
1,337 |
1,512 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
3,686 |
17 |
0,863 |
1,333 |
1,508 |
1,740 |
2,110 |
2,567 |
2,898 |
3,646 |
18 |
0,862 |
1,330 |
1,504 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,610 |
19 |
0,861 |
1,328 |
1,500 |
1,729 |
2,093 |
2,539 |
2,861 |
3,579 |
20 |
0,860 |
1,325 |
1,497 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,552 |
21 |
0,859 |
1,323 |
1,494 |
1,721 |
2,080 |
2,518 |
2,831 |
3,527 |
22 |
0,858 |
1,321 |
1,492 |
1,717 |
2,074 |
2,508 |
2,819 |
3,505 |
23 |
0,858 |
1,319 |
1,489 |
1,714 |
2,069 |
2,500 |
2,807 |
3,485 |
24 |
0,857 |
1,318 |
1,487 |
1,711 |
2,064 |
2,492 |
2,797 |
3,467 |
25 |
0,856 |
1,316 |
1,485 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,450 |
27 |
0,855 |
1,314 |
1,482 |
1,703 |
2,052 |
2,473 |
2,771 |
3,421 |
30 |
0,854 |
1,310 |
1,477 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,385 |
40 |
0,851 |
1,303 |
1,468 |
1,684 |
2,021 |
2,423 |
2,704 |
3,307 |
60 |
0,848 |
1,296 |
1,458 |
1,671 |
2,000 |
2,390 |
2,660 |
3,232 |
120 |
0,845 |
1,289 |
1,449 |
1,658 |
1,980 |
2,358 |
2,617 |
3,160 |
|
0,842 |
1,282 |
1,440 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,090 |
Пример. Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром (фактор yi , тыс у.е.) от расстояния до ближайшей пожарной станции (фактор xi , сотни метров):
Значения фактора xi |
37 |
48 |
39 |
19 |
28 |
33 |
24 |
43 |
41 |
32 |
Значения фактора yi |
32 |
39 |
27 |
21 |
21 |
36 |
26 |
34 |
30 |
34 |
Необходимо в
соответствии с методом наименьших
квадратов найти уравнение линейной
регрессии
;
найти коэффициент линейной корреляции
и с доверительной вероятности
проверить его значимость. Построить
графики данных и уравнения регрессии.
Решение.
По формулам (3.2) находим средние оценки:
=
(37+48+39+19+28+33+24+43+41+32)
= 34,4;
= (32+39+27+21+21+36+26+34+30+34) = 30;
= (372+482+392+192+282+332+242+432+412+322) = 1255,8;
=
(322+392+272+212+212+362+262+342+302+342)
= 934;
= (37*32+48*39+39*27+19*21+28*21+33*36+24*26+
43*34+41*30+32*34) = 1068,8.
Находим по формулам (3.1) коэффициенты уравнения линейной регрессии :
a
=
= 0,51; b
= 30 - 0,51
= 12,5;
Отсюда, уравнение линейной регрессии имеет вид:
y
= 0,51
+12,5.
Затем по формуле (3.3) находим коэффициент парной корреляции:
rxy
=
= 0,742.
Проверяем коэффициент
корреляции на значимость при доверительной
вероятности
на уровне значимости
.
По формуле (3.4) вычисляем статистику t
и сравниваем ее с критическим значением
tкр,
полученным из табл. 1:
t
=
= 3,131; tкр
= tp
(n-2)
= t0,9
(8) =1,397,
t > tкр (т.к. 3,131 > 1,397), отсюда можно сделать вывод, что коэффициент корреляции значим и показатели Х и Y зависимы, а уравнение регрессии можно использовать для оценок и прогнозов. Строим график линии регрессии и опытных данных. Для построения прямой линии находим две произвольные точки уравнения y= 0,51 +12,5:
если x1 = 15, то y1 = 20,2; если x2 = 50, то y2 = 38.
Наносим эти точки на график и через них проводим прямую линию, наносим опытные данные на график:
Вопросы для обсуждения:
1. Объясните, чем вызвано появление в модели парной регрессии стохастической переменной ε?
2. Почему перед построением модели парной линейной регрессии необходимо рассчитывать коэффициент корреляции?
3. Объясните смысл понятия «число степеней свободы».
4. По каким вычислениям можно судить о значимости модели в целом?
5. Зачем необходимо рассчитывать t-критерий Стьюдента?
6. Зачем необходимо оценивать интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии?
7. В каких пределах должна находиться ошибка аппроксимации, чтобы можно было сделать вывод о хорошем подборе модели к исходным данным?