8. Ответы к задачам
7.1.
1/105. 7.2.
0,56. 7.3.
0,25. 7.4.
0,56. 7.5.
а) 0,25; б) 0,5 7.6.
0,1.
7.7.
а)
0,6976;
б) 0б9572.
7.8. 0,8.
7.9.
0,9. 7.10.
Р(А)
= 0,2. 7.11.
15/28.
7.12.
0,4. 7.13.
0,78.
7.14.
Вероятности
того, что выбран студент первой, второй,
третьей групп, соответственно равны:
.
7.15.
.
9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.
Занятие 5
Тема: Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
1. Основные понятия, формулы и теоремы
Определение последовательности независимых испытаний [3, гл.5, § 1].
Формула Бернулли, ее смысл [3, гл.5, § 1].
Вероятность того, что событие появится в n опытах от
до
раз [3, гл.5, §
1].Определение асимптотического приближения [3, гл.5,§ 2].
Локальная теорема Лапласа [3, гл.5, § 2].
Интегральная теорема Лапласа [3, гл.5, § 3].
2. Основные навыки и умения
2.1. Уметь находить последовательность независимых испытаний.
Уметь пользоваться формулой Бернулли и ее следствиями.
Выводить формулу Бернулли.
Знать, как применяется локальная теорема Лапласа.
Уметь пользоваться таблицей для
.Знать, как применяется интегральная теорема Лапласа.
Уметь пользоваться таблицей для
.
3. Контрольные вопросы
Дать определение независимых событий.
Что такое схема независимых испытаний?
Какова суть формулы Бернулли?
Откуда появляется множитель
в формуле Бернулли?Дать определение асимптотического приближения
функции
.Как соотносится формула Бернулли и формула локальной теоремы Лапласа?
Как найти вероятность
того, что событие появится в n
опытах от
до
раз, если
n
невелико?Когда справедлива формула для
из интегральной теоремы Лапласа?Как пользоваться таблицами для
и
,
каковы свойства этих функций?Какова вероятность того, что событие в n опытах появится: а) менее раз, б) более раз, в) не менее раз, г) не более раз?
4. Типичные задачи
В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент времени включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора, б) включены все моторы; в) выключены все моторы.
Найти вероятность того, что при 100 подбрасываниях монеты герб выпадет 40 раз.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
5. Ответы к задачам
;
;
.
.
;
.
6. Примеры решения задач по теме занятия
1. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится:
а) ровно 3 раза;
б) не менее трех раз;
с) не более трех раз;
г) хотя бы один раз,
если в каждом испытании вероятность появления этого события равна 0,8.
Решение.
Так как число испытаний невелико, то
для вычисления искомой вероятности
воспользуемся формулой Бернулли:
.
В рассматриваемом случае:
а) вероятность появления события ровно 3 раза в 5 испытаниях
;
б) вероятность появления события не менее трех раз в 5 испытаниях
с) вероятность появления события не более трех раз в 5 испытаниях
г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях
2. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?
Решение. Воспользуемся формулой Лапласа
где
Здесь
р
= 0,2, q
= 0,8,
n
= 100 и
= 20.
Отсюда
и, следовательно,
.
Учитывая,
что
,
получаем
(для
получения приближенного равенства
можно использовать калькулятор).
3. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.
Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа
,
,
- функция Лапласа. Здесь n
= 400,
=
70,
= 100, р = 0,2,
q
= 0,8. Поэтому,
в силу равенств
= 1,25,
= 2,5 и
=
Ф(2,5)
+ Ф(1,25)
=
= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.