5. Ответы к задачам
4.1. 
4.2. 
4.3.
4.4.
6. Примеры решения задач по теме занятия
При нахождении оригинала по его изображению пользуются таблицей 1 и свойствами преобразования Лапласа.
1. Найти изображение по Лапласу следующих оригиналов:
a)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
Решение.
а) Так как
,
то
.
Применив формулу 2, получаем
.
б)
Воспользуемся формулой Эйлера
.
Тогда
Применив формулу 4, получаем
.
в)
По определению гиперболического синуса
имеем
.
Следовательно,
.
г)
Так как
,
то
.
Применив формулу 7, получим
.
д)
Так как
,
то применив формулу 13 при
,
получаем
.
2. Найти оригиналы для следующих изображений:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение. При решении будем использовать таблицу 1.
1)
Из формулы 12 имеем
2) из формулы 13 имеем
3) из формулы 3 имеем
4) из теоремы линейности и формулы 6
получим
5) из формулы 8 имеем
6) по теореме запаздывания получим
3. Найти оригиналы для следующих изображений:
1)
2)
.
Решение. 1) Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны:
По формулам 7 и 8 таблицы 1 имеем
;
.
Поэтому
.
2) Используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие дроби:
.
Для определения коэффициентов имеем тождество
.
Полагая
,
находим
;
.
Приравнивая коэффициент при
нулю и свободный член – единице, получим
,
.
Отсюда
;
.
Следовательно,
Таким образом,
Отсюда, используя формулы 2, 7 и 8 таблицы 1, находим
.
7. Задачи для самостоятельного решения
Найти изображение по Лапласу следующих оригиналов:
a)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
Найти оригиналы, соответствующие изображению по Лапласу:
a)
,
б)
,
в)
,
г)
.
8. Ответы к задачам
7.1.
a)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
.
7.2.
a)
,
б)
,
в)
,
г)
.
9. Форма отчетности: устный опрос или контрольная работа.
ЗАНЯТИЕ 2
Тема: Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом
1. Основные понятия, формулы и теоремы
Операционный метод решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [2, гл. 8, §1].
Операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [2, гл. 8, §1].
2. Основные навыки и умения
Уметь пользоваться теоремой о дифференцировании оригинала.
Пользуясь свойствами преобразования Лапласа, уметь переходить в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям.
Уметь решать линейные алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений.
Уметь по известному изображению находить соответствующий ему оригинал.
Уметь пользоваться готовыми таблицами соответствия между оригиналами и изображениями.