6. Примеры решения задач по теме занятия

1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000 р., 10 выигрышей по 10000 р. и 100 выигрышей по 100 р. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Здесь возможные значения для X есть: х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 10000, х₄ = 100000. Вероятности их будут: р₂ = 0,01, р₃ = 0,001, р₄ = 0,0001, р₁ = 1  0,01  0,001  0,0001 = 0,9889. Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

	0	100	10000	100000
p	0,9889	0,01	0,001	0,0001

2. Задана плотность вероятности случайной величины X Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением Так как

то , откуда .

Применяя формулу , получаем функцию распределения F(x):

Наконец, формула и с учетом найденной функции F(x) дает

3. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Имеем

и, наконец,

4. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и . Поэтому

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12;14).

Решение. Воспользуемся формулой

.

Подставив , , и , получим . По таблице находим: , . Искомая вероятность

.

6. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 20 и = 10. Найти .

Решение. Используя формулу , имеем

По таблице находим Ф(0,3) = 0,1179. Поэтому = 0,2358.

7. Задачи для самостоятельного решения

7.1. Пусть случайная величина Х  число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X.

7.2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 5000 р. и 10 выигрышей по 100 р. Найдите закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

7.3. Закон распределения случайной величины X задан таблицей

Х	1	2	3
р	0,3	0,2	0,5

Найдите математическое ожидание X.

7.4. Найдите математическое ожидание выигрыша X в задаче 7.2.

7.5. Найдите математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

Х	2	3	5
p	0,3	0,1	0,6

7.6. Производятся два выстрела с вероятностями попадания в цель, равными = 0,4, = 0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий.

7.7. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

7.8. Найдите математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

7.9. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Х	2	4	5
р	0,1	0,3	0,6

и

Y	7	9
р	0,8	0,2

Найдите математическое ожидание случайной величины XY.

7.10. Найдите дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
р	0,3	0,5	0,2

7.11. Известны дисперсии двух независимых случайных величин X, Y: D(X) = 4, D(Y) = 3. Найдите дисперсию суммы этих величин.

7.12. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найдите дисперсию следующих величин: а) X  1; б) 2Х; в) 3X + 6.

Найдите математические ожидания и дисперсии случайных величин.

7.13.

Х	2	1	0	1	2
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

7.14.

Х	1	3	4	6	7
	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

7.15.

Х	5	7	10	15
	0,2	0,5	0,2	0,1

7.16. К случайной величине прибавили постоянную а. Как при этом изменятся ее а) математическое ожидание; б) дисперсия?

7.17. Случайную величину умножили на а. Как при этом изменятся а) математическое ожидание; б) дисперсия?

7.18. Случайная величина X принимает только два значения: 1 и 1. Каждое с вероятностью 0,5. Найдите дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

7.19. Дисперсия случайной величины D(X)=6,25. Найдите среднее квадратическое отклонение (Х).

7.20. Пусть закон распределения случайной величины X задан таблицей

Х	4	10	20
р

Определите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х).

7.21. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (0; 1).

7.22. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой Найдите вероятность того, что величина X попадет на интервал (1; 1).

7.23. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины X:

Найдите интегральную функцию распределения F(x).

7.24. Функция является плотностью вероятности случайной величины X. Найдите коэффициент А и функцию распределения F(x).

7.25. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

7.26. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р = 0,6. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

7.27. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

7.28. Найдите дисперсию случайной величины X  числа появлений события А в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7.

7.29. Найдите а) математическое ожидание и б) дисперсию числа бракованных изделий в партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,02.

7.30. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Найдите дисперсию случайной величины X  числа появлений события А в этих испытаниях.

7.31. Найдите дисперсию случайной величины X  числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если М(Х) = 0,8.

7.32. Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: а = 164 см,  = 5,5 см. Найдите плотность вероятности.

7.33. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 0 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (2; 3).

7.34. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найдите вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (4; 8).

7.35. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание  2,5 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

7.36. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

7.37 Случайная величина X распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 2. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,1.

7.38. Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием 30 и дисперсией 100. Найдите вероятность того, что значение случайной величины заключено в интервале (10; 50).