Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

_n(x)= (2/L)^½ sin(n x/L).

Невозбужденному состоянию (n=1) отвечает волновая функция

₁(x)= (2/L)^½ sin( x/L). (2)

Подставив ₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁=3L/8 и x₂=5L/8. Произведя замену

sin²( x/L) = 1 /2 [1 – cos(2 x/L)] ,

получим

4. Физика атомов

4.1. Основные законы и формулы

1. Собственные значения энергии электрона в атоме водорода и водородоподобном ионе

где n = 1,2,3…- главное квантовое число; Z – порядковый номер элемента; h = 6.62∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка; R= 3,28∙10¹⁵с^-1 – постоянная Ридберга.

2. Орбитальный механический момент импульса L элек- трона и его проекция на заданное направление внешнего магнитного поля

, ,

где  = 0,1,2…(n-1) – орбитальное квантовое число;

где m = 0,1,2… - магнитное квантовое число;

3. Спиновый момент импульса электрона L_z и его проекция на заданное направление

, ^. ,

где s = - спиновое квантовое число.

4. Орбитальный Р_m и спиновый Р_ms магнитные моменты электрона

где = 0,927∙10^-23 Дж/Тл – магнетон Бора.

5) Обобщенная формула Бальмера для спектральных серий

,

где λ – длина волны, излучаемой атомом водорода при переходе из одного энергетического состояния (n) в другое (m); - постоянная Ридберга.

Для серий: Лаймана m = 1, n = 2,3,4…

Бальмера m = 2, n = 3,4,5…

Пашена m = 3, n = 4,5,6,…

6. Коротковолновая граница _min сплошного рентгенов- ского спектра

где e – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложен -ная к рентгеновской трубке; c – скорость света.

7. Закон Мозли:

а) в общем случае

где  и λ – частота и длина волны линий рентгеновского спектра; Z – атомный номер элемента, излучающего этот спектр;  - постоянная экранирования; m и n – номера электронных орбит.

б) для К_ - линий ( = 1, m = 1, n = 2)

или ,

Энергия фотона К_ - линии рентгеновского излучения

где E_i – энергия ионизации атома водорода.

4.2. Примеры решения задач

Пример 1. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механи- ческого и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состоя- ние.

Решение

Изменение механического L и магнитного P_m момен- тов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.

L = L₂ – L₁,

P_m = P_m2 - P_m1 .

Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантово- го числа l:

L = (h /2) ( l (l + 1))^½ , P_m = _Б ( l (l + 1))^½ .

Учитывая, что в основном состоянии l=0, L₂= 0, P_m= 0, а в возбужденном состоянии (3d) l=2, найдем изменение орбитального механического и магнитного моментов:

.

Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьшение орбитальных моментов.

Подставив значения, получим

L= -2,5710^-34 Дж с;

P_m = -2,2710^-23 Дж/Тл.

Пример 2. Определить скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны _min в сплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм.