Элементы линейной алгебры. Глушко Е.Г., Дубровская А.П

2. Выяснить, являются ли матрицами простой структуры следующие матрицы

3. Выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему

101

102

5. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО,ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

До сих пор рассматривались только такие свойства линейных операторов, которые полностью определяются лишь аксиомами линейного пространства.

Это обстоятельство определяет чрезвычайно большую общность всех результатов, которые справедливы для любых

103

линейных пространств. Для получения же новых результатов необходимо несколько ограничить класс рассматриваемых пространств и тем самым получить возможность более глубокого изучения свойств линейных операторов.

Мы остановимся подробнее на важнейшем частном случае линейных пространств. Этим частным случаем вещественных линейных пространств являются, евклидовы пространства.

5.1. Определение вещественного евклидова пространства

Вещественное линейное пространство L называется

вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два

соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом

( x , y ).

II.Указанное правило подчинено следующим

четырем аксиомам:

1.( x , y )=( y , x )

(переместительное свойство или симметрия);

2.( x 1+ x 2, y )=( x 1, y )+( x 2, y )

4.( x , x )>0, если x - ненулевой элемент;

пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов, важно лишь,

104

чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения.

Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.

Пример 1. Рассмотрим линейное пространство R3 всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т.е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1-4.

Таким образом, пространство R3 с так определѐнным скалярным произведением является евклидовым пространством.

Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство всех функций x(t), определѐнных и непрерывных на сегменте a t b.

Это пространство принято обозначать C[a,b]. Скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) из C[a,b] определим как интеграл от произведения этих функций в пределах от a до b:

b

x(t) y(t)dt

a

Для так определѐнного скалярного произведения выполнены все четыре аксиомы определения евклидова пространства. Действительно, аксиома 1 очевидна; справедливость аксиом 2

неотрицателен, как интеграл от непрерывной неотрицательной функции и обращается в нуль лишь, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте [a,b].

105

Таким образом, пространство C[a,b] с так определенным

пространства определим скалярное произведение равенством:

Покажем справедливость всех четырех аксиом. Первая аксиома очевидна. Для установления справедливости аксиомы 2 и 3 воспользуемся определением операций сложения элементов и умножения их на числа. Действительно:

Рассматриваемое здесь евклидово пространство обозначают En.

необходимому и достаточному условию неотрицательности квадратного трехчлена (дискриминант 0), имеем:

106

Теорема доказана.

Линейное пространство L называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

I.Имеется правило, по которому каждому элементу

x пространства L ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и

обозначаемое символом x .

II. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

.

3.Для любых двух элементов x и y справедливо

неравенство:

Доказательство. Аксиомы 1 и 2 для нормы вытекают из аксиом 4,1 и 3 скалярного произведения. Для доказательства аксиомы 3 воспользуемся неравенством Коши-Буняковского и аксиомами скалярного произведения. Тогда:

107

Теорема доказана.

Теперь в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя

. Это определение угла корректно, так как дробь в правой части равенства (5.2) по модулю не превосходит единицы, что

пространства. В линейном пространстве все базисы являлись равноправными. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортогональными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямоугольный базис в аналитической геометрии.

n - мерного евклидова пространства E образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если:

108

евклидова пространства En. Действительно, покажем, что эти

ортогонализации линейно независимых элементов f1, f2 ,..., fn .

Подробнее с ним можно ознакомиться в [1], [5].

Конечно, в каждом n - мерном пространстве En существует много ортонормированных базисов. Примером

109

ортонoрмированного базиса может служить декартов прямоугольный базис евклидова пространства всех свободных векторов или совокупность n элементов:

евклидова пространства En всех упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (5.1). Проверить это предлагается читателю самостоятельно.

=x1y1+x2y2+ +xnyn,

так как все слагаемые, содержащие скалярные произведения

110