Учебное пособие 1991

X=TX',

(3.4)

X'= T-1 X.

(3.5)

Примеры.

1. Рассмотрим двумерное пространство всех

функций

t

-t

,

e

1

= e , e 2

= e

e

et

e t

et e

t

= ch t =

, e2

= sh t=

.

1

2

2

1

1

1

1

Тогда

e1 =

e

1

+

e 2,

e2 =

e

1 -

e

2,

2

2

2

2

или

1

1

1

1

T

2

2

, T

1

.

1

1

1

1

2

2

a

1

1

1

a

,

a

1

1 a

b

1

1 b

b

1

1 b .

2

системы координат. Повернем оси координат на угол

против

часовой стрелки,

и

пусть e1

, e2

- новые базисные векторы.

Углы, образуемые вектором

с векторами

равны

e1

e

1,

e 2

соответственно

и

-

/ 2 .

Поэтому координаты

этого

вектора в базисе

равны cos

и cos(

-

/ 2 )= =sin .

e

1,

e 2

Значит:

e1

=cos

e 1+sin

e 2.

Аналогично,

углы вектора

с векторами

равны

e2

e

1, e 2

соответственно

+

/ 2

и

;

координаты его в базисе

e

1, e 2

равны cos( + / 2 )=-sin

и cos

, поэтому:

e2

=-sin

e 1+cos

e 2.

T=

cos

sin

,

sin

cos

x1=cos

x1

- sin

x2

x2= sin

x1

+cos

x2 ,

или

X=TX´.

3.

Найти

координаты

геометрического

вектора

x

i

2 j

k

в базисе B´,

состоящем из векторов e1

i

j ,

e2

j

k

, e3

i

k .

Выпишем

столбцы

координат

векторов e1

, e2

, e3 в исходном базисе B= i , j , k

:

1

0

1

E1 1

, E2

1

, E3 0 .

0

2

1

Отсюда матрица перехода TB

B

имеет вид:

1

0

1

TB

B

1

1

0 .

0

1

1

1

1

1

1

1

0

)-1X=

1

1

1

2

2

X'=( T

B

, т.е. x

2e

e .

B

2

2

3

1

1

1

1

1

Упражнения

1.

Выяснить,

являются

ли

следующие

множества

1.3

Множество всех геометрических векторов,

|>a, где a>0 - фиксированное

удовлетворяющих условию | x

1={-3,1,5},

а)

x

x 2={6,-3,15};

б)

1={1,1,1,1},

2={0,0,0,0};

x

x

1={2,-3,1},

в)

x

x 2={3,-1,5}, x 3={1,-4,3}.

4. Показать, что следующие системы векторов линейно

зависимы,

и выяснить, является

ли

вектор b линейной

комбинацией векторов a 1, a 2, a 3:

а)

a

1={1,0,4},

a

2={0,2,1},

a 3={0,1,-1},

b ={0,1,0};

б)

a

1={1,0,0},

a

2={0,2,1},

a 3={1,2,1},

b ={0,0,1};

в)

1={0,0,0,1},

2={0,0,1,2},

a

a

a 3={0,1,3,5},

a 4={1,-2,0,0}, b ={1,-1,4,-2}.

5. Показать, что векторы e 1,

e 2,

e 3 образуют базис и

найти координаты вектора

в этом базисе:

x

а)

e

1={1,1,1},

e

2={1,2,1},

e 3={0,0,1},

x ={1,0,4};

б)

e

1={1,0,1},

e

2={0,1,0},

e 3={2,3,4},

x

={1,-3,-3};

в)

e

1={1,2,1},

e

2={2,3,3},

e 3={3,1,7},

x ={3,3,5};

г)

1={1,1,1,1},

e

e

2={1,1,-1,-1}, e 3={1,-1,1,-1},

e 4={1,-1,-1,1},

x

={1,2,1,1}.

образует базис в пространстве

n всех многочленов степени не

выше n и, следовательно dim

n=n+1,(этот базис называется

каноническим). Найти координаты:

а) многочлена

-3t2+1 в каноническом базисе

пространства

2;

б) многочлена t2-2t в каноническом базисе пространства

3

в) многочлена 5-2(t+1)+3(t+1)2+(t+1)3 в каноническом

базисе пространства

3.

9. Доказать, что система многочленов t2+1,-t2+2t,t2-t

образует

базис

в

пространстве

2. Выписать в этом базисе

столбец координат многочлена -2t2+t-1.

10. Найти координаты многочлена t2-t+2 в базисе:

1,t-1,(t-1)2.

11.Найти

матрицу перехода

от базиса B=( e

1, e

2, e 3) к

базису B'=( e1

, e2 , e3 ) и обратно, если:

2={0,1,0},

e 1={0,0,1},

e

e 3={1,0,0};

e1

={1,1,1}, e2 ={1,2,3}, e3

={1,0,1}.

12.

В

пространстве

R3

заданы векторы e1

i

j

,

e2

i

j

, e3

i

2 j

k . Доказать, что система B'=( e1

, e2

, e3

)

- базис

в R3, и написать матрицу

перехода

TB

B', где

в базисе

B=( i , j , k ). Найти координаты вектора

x

i

2 j

2k

14.В произвольном линейном пространстве Ln

векторы

e1

, e2

, , en

и x

заданы своими координатами в некотором

базисе В. Доказать, что система B'=( e1

, e2 ,

, en ) - базис в Ln, и

найти столбец X´ координат вектора

в этом базисе:

x

1

1

1

6

а)

E1

1 , E2

1 , E3

2 , X 9 ;

1

2

3

14

2

3

1

6

б)

E1

1 , E2

2 , E3

1 , X

2

;

3

5

1

7

1

2

1

1

7

в) E

2

, E

3

, E

2

, E

3

, X

14 .

1

1

2

0

3

1

4

1

1

1

1

4

0

2

а)

матрица

перехода

TB B',

всегда

невырождена, и TB' B=(TB

B')-1;

б)

если

t11

t1n

T

tn1

tnn

- невырожденная матрица и B=( e1

, e2

, , en ) - некоторый базис

в пространстве Ln, то система векторов:

e

=t1i e +

+tni e

, i=1,2,

,n,

i

1

n

16.

Доказать, что если B,B' и B" - базисы в Ln, то

справедливо матричное равенство:

TB B"=TB

B'

TB'

B" .

17. В произвольном пространстве Ln векторы e1

, e2 ,

, en

и

e1

, e2

, , en

заданы своими координатами в некотором

базисе:

1

2

3

E1

2 , E2

3

, E3

7

;

1

3

1

3

5

1

E1

1 , E2

2

, E3

1 .

1

1

0

Требуется

доказать, что

системы

B=( e1

, e2 ,

, en )

и

B'=( e1

, e2

,

, en ) - базисы в Ln, и, используя результаты задач

15 и 16, написать матрицу перехода TB

B'.

1

0

7

1

2

2

7

8.

а)

0

; б)

;

в)

. 9.

0

.

10. 1 .

3

1

6

1

1

0

1

1

3

1

1

1

1

1

1

11.

TB

B'=

1

2

0

;

TB'

B=

0

.

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1 2

12.

TB

B'=

1

1

2

; X

3 2 .

0

0

1

2

1

1

0

14.

а) 2

;

б) 1

;

с) 2 .

3

1

1 2

42

71

41

17.

TB B'= 12

20

9 .

7

12

8

отображение

вида A :

L1

L2,

сопоставляющее каждому

вектору

L1

некоторый

вектор

L2, что

символически

x

y

записывается в виде y = A x .

Вектор

y

называется образом вектора x

, а вектор x -

прообразом вектора y .

Очевидно,

что

оператор

A

представляет собой

обобщение известного

из анализа определения функции на

Оператор

A называется линейным, если выполняются

следующие два условия:

1.

для любых

A ( x

1+ x 2)= A

x

1+ A x 2

x 1 и

x 2 из L

(условие аддитивности)

2.

для любого

L1

и любого числа

A (

x )=

A x

x

(условие однородности)

Числа

могут

быть

вещественными или

базис B=( e1

, e2 ,

, en )

и задан оператор A , который переводит

вектор

L в вектор

L, т.е.

x

y

y

= A x . Найдем выражение

координат образа

y

через координаты прообраза x .

+...+xn e

,

тогда в силу линейности

Пусть x =x1 e +x2 e

оператора A имеем:

1

2

n

=x1 A

+...+xn A

A x

e

+x2 A e

e

1

2

n

Но так как

(где i=1,2,..,n) - это тоже вектор из Ln, то

A ei

A ei можно разложить по базису B=( e1

, e2 ,

, en ).

Пусть:

A e i=a1i e

1+a2i e 2+...+ani e n, i=1,2,..,n.

Тогда:

A x =x1(a11 e

1+a21 e

2+...+an1 e n)+

+(an1x1+an2x2+...+annxn) e

n.

Если

x1 , x2 ,..., xn

-

координаты вектора

в базисе

A x

B=( e1

, e2

,

, en ) , т.е. если:

A x = x1

e1

x2 e2

... xn

en

,

x1 =a11x1

a12 x2

...

a1n xn ,

x2 =a21x1

a22 x2

...

a2n xn

,

(4.1)