Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1991

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Таким образом, каждому линейному оператору A в

данном базисе B=( e1

, e2 ,

, en )

отвечает матрица:

a11

a12

a1n

a21

a22

a2 n

называемая

an1

an2 ann

i-й

столбец

матрицей линейного

оператора A ,

которой образован коэффициентами разложений вектора A e i

по базису B=( e1

, e2

, en ).

Коэффициенты разложений (4.1)

координат вектора

по координатам вектора

образуют

A x

строки матрицы A. Равенства (4.1) можно записать в виде

X'=AX.

Иногда

говорят,

что

равенствах

(4.1)

числа

x1 , x2 ,..., xn

получены

из

чисел

x1,x2,..,xn

помощью

линейного преобразования, задаваемого матрицей А. В этом случае матрицу А называют матрицей линейного преобразования.

Таким образом, всякому линейному оператору A в n-мерном пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица А n-го порядка.

Справедливо и обратное утверждение. Всякой матрице А n-го порядка при заданном базисе соответствует некоторый


линейный оператор. Действительно, пусть B=( e1	, e2	,	, en ) -

базис пространства Ln, и пусть дана матрица А n-го порядка.

Обозначим			через A		оператор,		переводящий		произвольный

вектор
вектор	x	=x1 e 1+x2 e 2+...+xn e n в вектор:

				A x = x1		e1	x2 e2	... xn en	,
где
			xi	=ai1 x1	ai 2 x2 ...		ain xn ,	i=1,2,...,n.

Покажем, что этот оператор - линейный. Произвольный

вектор

оператор

переводит в

=y1 e

1+y2 e 2+...+yn e n

следующее выражение:

= y1

A y

... yn en

где yi =ai1y1+ai2y2+...+ainyn.

Вектор:

+ y

=(x1+y1) e

1+(x2+y2) e

2+...+(xn+yn) e n

в вектор:

A ( x

+ y )=z1 e 1+z2 e

2+...+zn e n,

где

zi=ai1(x1+y1)+ai2(x2+y2)+...+ain(xn+yn).

Поэтому:


			A ( x + y )= A x + A y .
Далее, для любого числа						имеем:

	x	=(	x1) e1		+(	x2) e2	+...+(		xn) en
и

		A (		x )=t1 e1 +t2 e2			+...+tn en		,
где
ti=ai1(		x1)+ai2(			x2)+...+ain(			xn)= xi .
Следовательно,						и оператор
Следовательно,	A (		x )=		A x	и оператор			A - линейный.
Таким образом,				установлено				взаимно однозначное

соответствие между линейными операторами в n-мерном

пространстве и матрицами n-го порядка.					A
Легко видеть, что для всякого линейного оператора


выполнено равенство A O = O . При этом, если				A x =0 только
	то оператор называется невырожденным, если же
при x =0,
найдется					-
	такой вектор x	O , что	A x =0, то	оператор A

вырожденный.

Пусть A=(aij) - матрица линейного оператора A . Рассмотрим систему линейных однородных уравнений :

a11 x1	a12 x2	...	a1n xn	0,
a21 x1	a22 x2	...	a2n xn	0,

an1 x1	an 2 x2	...	ann xn	0.

Для существования ненулевого решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был равен нулю: detA=0. Следовательно, для того

чтобы оператор A был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля.

Таким образом, матрица невырожденного оператора невырожденная.

4.2. Примеры линейных операторов

Приведем несколько примеров линейных операторов в n-мерном линейном пространстве и соответствующих этим операторам матриц.

1. Если для каждого x Ln справедливо равенство

	=0, то оператор		является линейным и называется
A x	=0, то оператор	A	является линейным и называется

нулевым оператором. Так как для любого базиса { e i}				A e i=0,

i=1,2,…,n, то матрица А нулевого оператора A в любом базисе является нулевой матрицей А=0.

2. Если для каждого вектора x Ln справедливо

равенство				является	линейным. Он
	A x	= x , то оператор	A
называется	тождественным оператором и				обозначается E .


Так как для любого базиса { e }			E e i= e i, i=1,2,..,n, то матрица

тождественного оператора в любом базисе является единичной матрицей: А=Е.

3.Пусть A - поворот всех векторов обычной

плоскости X0Y вокруг начала координат на угол				против
часовой стрелки.	Это	преобразование	линейное,		т.к.
безразлично, сначала	ли	сложить векторы			потом
			a	и b , а

повернуть их сумму на угол , или сначала повернуть векторы, а потом их сложить; также безразлично, умножить сначала

вектор		на число , а затем повернуть его на угол	или
	a

сделать это в обратном порядке.

В п. 3.7 была найдена матрица операторa поворота:

cos sin sin cos

4.Пусть A - растяжение на плоскости X0Y вдоль

оси 0X

раз. Базисные

векторы

1= i ,

e 2= j . Возьмем

произвольный

вектор

={x1,x2} на

плоскости

XOY. Пусть

оператор

переводит его в вектор

={y1,y2}, тогда y1=kx1,

y2=x2 или

. Матрица оператора имеет вид :

A e 1=k e 1,

A e2

= e2

0 .

пространстве n

многочленов

степени не

выше

рассмотрим

оператор

дифференцирования

A (x(t))=x'(t).

Линейность

оператора

дифференцирования

следует из правил дифференцирования. Пусть в пространстве

	выбран базис: e							= t 2
n	выбран базис: e		=1, e1		=t, e2			= t 2		2!,.., en = t n		n! .
		0
	Тогда:		=0,
	Тогда:	A e0	=0,	A e1		= e0	, A e2 = e1				,…, A en = en 1 .
	Матрица оператора имеет вид:
				0		1		0	0
				0		0		1	0
			A	0		0		0	0 .

				0		0		0	1
				0		0		0	0

4.3.Действия с линейными операторами

1.Равенство операторов.

Операторы

называются

равными,

что

обозначается

если

для

любого

L справедливо

A = B

равенство:

A x

= B x .

2. Сложение операторов.

называется

Суммой

линейных

операторов

оператор C , что обозначается

C = A + B , если для любого

справедливо

Оператор

C x

=( A

+ B ) x = A x

+ B x .

линейный, так как:

C ( x

+ y )= A

( x

+ y )+ B

( x

+ y )= A x

+ A y

+ B x

+ B

y =

=( A x

+ B x )+(

A y

+ B

y )= C x

+ C y

C (

x )= A

(

x )+ B (

x )=

A x +

B x = ( A x + B x )=

C x .

Сложение линейных операторов обладает следующими свойствами:

1.A B B A.

2.( A B) C A (B C).

3.A	0	A для любого A .

Выясним теперь, что происходит с матрицами линейных операторов при сложении операторов. Пусть в некотором базисе {ei} пространства Ln линейному оператору

A соответствует матрица A=(aij), а линейному оператору B -

матрица B=(bij). Тогда, если Х - столбец из координат вектора

x , то АХ представляет собой столбец из координат вектора
~						~
Ax	, а ВХ - столбец из координат вектора Bx . Отсюда следует,
что	вектору					отвечает сумма столбцов
что	вектору	(A	B)x	Ax	By	отвечает сумма столбцов

АХ+ВХ=(А+В)Х, т.е. при сложении линейных операторов их матрицы складываются.

3. Умножение оператора на число.				называется
Произведением	оператора		A на число	называется


оператор B , что обозначается B =			A , если для любого		x L
справедливо равенство
справедливо равенство	B x =	( A x ).

Оператор B является линейным, так как :

B(x y)

B( x)

A(x

A( x)


y)		(Ax	Ay)		Ax			Ay,
(						(
(	Ax)			(Ax)		(	Ax)		Bx.

Докажите самостоятельно, что если оператору A соответствует матрица A=(aij), то оператору A соответствует матрица A=( aij) , т.е. при умножении линейного оператора на число соответствующая ему матрица также умножается на это число.

Для умножения линейного оператора на число справедливы следующие тождества:

1.1· A = A ;

2.0 A = 0 ;

3.(-1) A =- A .

4.( A )=() A .

5. (	+	) A =	A +	A .

6.	( A + B )=		A +	B .

Аналогичные тождества справедливы и для умножения матрицы на число.

4.Умножение линейных операторов.

Произведением линейных операторов A и B

называется оператор			C , что обозначается		C = A B			,	если для

	L n справедливо равенство:
любого x	L n справедливо равенство:

			C x	= A ( B x ),
т.е. сначала вектор			преобразуется в вектор						, а затем
т.е. сначала вектор		x	преобразуется в вектор			y	= B x		, а затем

- в вектор z	= A y .

Таким образом, перемножение операторов состоит в

последовательном их применении одного за другим. Оператор

C линейный, так как:

C(x y)

A(Bx)

C( x) A(B(


A(B(x y))			A(Bx By)

A(By)		Cx	Cy,

x))	A(	Bx)		A(Bx)	Cx.

Найдем выражение матрицы С линейного оператора C = A B через матрицы A=(aij) и B=(bij) линейных операторов

A и

B .

Имеем:

Cek

A(Bek )

A(b1k e1

b2k e2

bnk en )

b1k Ae1

b2k Ae2

bnk Aen

b1k (a11e1

a21e2

an1en )

b2k (a12e1

a22e2

... annen )

bnk (a1ne1

a2ne2 annen )

(a11b1k

a12b2k

a1nbnk )e1

(a21b1k a22b2k

a2nbnk )e2

(an1b1k

an2b2k annbnk )en .

Если

обозначим

Cek

c1k e1

c2k e2 ...

cnk en ,

то

cik

ai1b1k

ai 2b2k

...

ainbnk , где i,k=1,2,...,n.

Мы заметим, что для того чтобы получить элемент

матрицы C, стоящий на пересечении еѐ i-й строки и

k-го

столбца, надо каждый элемент i-й строки матрицы А умножить на соответствующий элемент k-го столбца матрицы В и все полученные произведения сложить, то есть матрица С получается как произведение матриц А и В.

Мы показали, что при перемножении линейных операторов соответствующие им матрицы перемножаются.

Рассмотрим свойства умножения линейных операторов: 1. Если A , B , C - линейные операторы, то:

	( A B ) C = A ( B		C ).


Действительно, для любого вектора x				Ln	имеем:

[( A B ) C ] x		=( A B )( C x )=	A	( B	( C x )) и

				((
[ A (	B C )] x		= A	((	B C ) x )= A ( B				( C x )).
Таким образом, умножение линейных операторов (а,
следовательно, и матриц) ассоциативно.
Произведение ( A B ) C = A ( B								C ) обозначается обычно

просто A B C - без скобок.

2. Для любого линейного оператора A :

			A E = E			A = A

Матрица	Е	тождественного					оператора			E называется

единичной матрицей. Для любой матрицы А (того же порядка, что и Е):

АЕ=ЕА=А.

3. Умножение и сложение линейных операторов связаны дистрибутивными законами:

( A + B ) C

= A C

+ B

и C

( A + B )= C

+ C

так как для любого вектора x

Ln :

(( A + B ) C ) x =( A

+ B )( C x )= A

( C x )+ B

( C x )=

=( A C ) x

+( B

C ) x =( A C + B C ) x

( C

( A + B )) x = C (( A

+ B ) x )= C (

A x + B x )=

= C

( A x )+ C

( B x )=( C

A ) x +( C

B ) x

=( C

A + C

B ) x .

Аналогичные тождества справедливы и для матриц.

Заметим, что в общем случае A B

B A , т.е. умножение

линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно.

4. Степень оператора.

операторов

вместо

Если

произведении

подставить

оператор A ,

то

оператор

A A

называется

, т.е.

=AA.

квадратом оператора A и обозначается A

Точно

также

Продолжая

этот

процесс,

= A A .

получаем, что n-я степень оператора

A ,

которая обозначается

, определяется равенством:

n 1

Кроме

того, по определению полагаем

= E

тождественный оператор.

5. Обратный оператор.

обратным по

отношению

Оператор

называется

оператору A ,

если

A B = B

A = E . В этом случае будем писать

-1

. Из определения следует,

B = A

если y

= A x , то

= A

y .

Нетрудно убедиться, что из линейности оператора

A следует

линейность оператора

-1

A в конечномерном

В силу эквивалентности оператора

пространстве матрице А заключаем, что если

-1

, то B=A

-1

= A

и обратный оператор

-1

существует тогда и только тогда,

когда detA

4.4. Изменение матрицы линейного оператора

при переходе к новому базису

В общем случае матрица оператора зависит от

выбранного базиса.

задан линейный оператор

Пусть в пространстве Ln

такой, что

y = A x .

Пусть

заданы

два

базиса:

B: e1, e2 ,..., en

B': e1 ,e2 ,...en .

- матрица

оператора A

базисе

B, а

Пусть

матрица оператора A в базисе B'.

Изменение координат вектора при переходе от одного

базиса к другому осуществляется по формулам X=TX', Y=TY',

где T - матрица перехода от базиса B к базису B’. Так как

-1

ATX'. Сравнивая последнее

= A x , то TY'=ATX' или Y'=T

равенство с равенством Y'=A'X', заключаем, что A'=T-1AT. Мы

получили, что матрица A'

оператора A в базисе B'

связана с

матрицей А того же оператора

базисе

соотношением

A'=T-1AT или A=TA'T-1. Матрицы А и T-1AT описывают

действие одного и того же оператора A в разных базисах. Такие квадратные матрицы A и A'=T-1AT (где Т - невырожденная матрица) называются подобными. Одним из важных свойств подобных матриц является равенство их определителей.

Действительно, |A'|=|T-1AT|. Но определитель произведения матриц равен произведению их определителей,

т.е. |A'|=|T-1| |A| |T|, и так как |T-1|= | T1 | , то отсюда следует,

что |A'|=|A|.

Так как матрицы одного и того же линейного оператора в различных базисах являются подобными, то из равенства определителей подобных матриц следует справедливость следующего утверждения:

Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Примеры.

		1.		В	базисе				оператор					имеет
		1.		В	базисе		e1	, e2	оператор				A	имеет
матрицу A				6	2 .	Написать			матрицу		этого		оператора в
				6	1

базисе e1			e1	2e2	, e2	2e1	3e2 .
	Решение. Матрица перехода к новому базису имеет вид
T	1	2	, а обратная к ней матрица:							T 1		3	2 .
	2	3										2	1
Следовательно, A					T 1 AT			3	2	6	2	1	2	2	0 .
							2		1	6	1	2	3	0	3
		2.	Пусть							=(x2+x3,2x1+x3,3x1-x2+x3).
		2.	Пусть		x =(x1,x2,x3),				A x	=(x2+x3,2x1+x3,3x1-x2+x3).

Проверить, что оператор A - линейный и найти его матрицу в каноническом базисе R3

Решение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.57 Mб8Учебное пособие 1987.pdf
#
30.04.20223.59 Mб1Учебное пособие 1988.pdf
#
30.04.20223.6 Mб6Учебное пособие 1989.pdf
#
30.04.2022325.34 Кб2Учебное пособие 199.pdf
#
30.04.20223.6 Mб2Учебное пособие 1990.pdf
#
30.04.20223.61 Mб1Учебное пособие 1991.pdf
#
30.04.20223.61 Mб3Учебное пособие 1992.pdf
#
30.04.20223.63 Mб1Учебное пособие 1993.pdf
#
30.04.20223.66 Mб5Учебное пособие 1994.pdf
#
30.04.20223.67 Mб7Учебное пособие 1995.pdf
#
30.04.20223.67 Mб3Учебное пособие 1996.pdf