Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1991

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

													2 3				4			8
													2 3				3				3
																	3				3
													1				0			0
																	0			0
	Х=с1X1+ с2X2 + с3X3 = с1												0	+ с2			1		+ с1	3	,
																	1			3
													0				1			0
																	1			0
													0				0			1
																	0			1
или через неизвестные:
				x			2			c	4		c	8	c ,
				1				3		1		3	2	3		3
										x2		c1 ,
								x3			c2		c3 ,							(2.15)
								x3			c2		c3 ,
										x4		c2 ,
										x5		c3.
	Заметим, что выбрав в качестве свободных неизвестных
х1,	х2, х3		мы		получим								новый				набор			базисных
					9				3		t						3		1	T
		1, 0, 0,			9		,		3		,			0,1, 0,			3	,	1
решений X1		1, 0, 0,				4	,			4	,	X 2		0,1, 0,			2	,	2
						4				4							2		2
	0, 0,1,	2,1	T	,	а общее решение в этом случае будет
, X3	0, 0,1,	2,1		,	а общее решение в этом случае будет
иметь вид:
				x1	c1 ,			x2			c2 ,		x3	c3 ,
				x		9		4		c	3	2	c	2c ,			(2.16)
				4				4		1		2	2	3
				x		3		4	c		1	2	c	c .
				5				4		1		2	2	3

Соотношения (2.15) и (2.16) различны, но из каждого из них при соответствующих значениях произвольных постоянных можно получить любое частное решение системы

(2.13).

Упражнения

1. Решить матричные уравнения:

	1 2				3 5 ;б)				3 4			2		8
а)	1 2		.X		3 5 ;б)			X	3 4			1 1 ;
	3	4			5	9			1	1		0		1
												0		1
в)	2 2			X		1 2 ;г)			3 1			X	5 6		14	16	;
	3	1				2	0		5		2		7	8	9	10
	1	2		3			1	3		0
д) 3 2				4 X 10 2 7 ;е)
	2		1	0			10	7		8
	5		3	1			8	3		0
X	1		3		2		5	9		0 .
		5	2	1			2	15		0
		2.	Матричным способом решить системы уравнений:
	2x1		x2		x3		4,		x1		x2	x3		2,
а)		x1	2x2		2x3		14,	в)	2x1		x2		x3	3,
	4x1		2x2		x3		7;		x1		x2	x3		6.
		3.	Решить системы уравнений по правилу Крамера:
		2x1		x3	1,			2x1		2x2		x3		4,
а)	2x1		4x2		x3		1, б) 3x1			x2		3x3		7,
		x1	8x2		3x3		2;	x1		x2	2x3		3;
	4x1		4x2		5x3		5x4	0,		2x1		3x2		11x3	5x4	2,
		2x1		3x3		x4	10,				x1	x2		5x3	2x4	1,
в)		x1	x2		5x3		10,		г) 2x1			x2		3x3	2x4	3,
			3x2		2x3		1;			x1		x2		3x3	4x4	3.

4. Исследовать совместность систем уравнений:

	3x1	4x2	7,	x1	x2	x3	2x4	1,
а) 5x1		3x2	8,	б) 6x1	6x2	10x3	8x4	5,
	x1	x2	2;	5x1	5x2	8x3	7x4	3;
	2x1 3x3 x4			10,
в)	x1	x2	5x3	10,
в)	4x1	4x2	5x3	5x4 0,
		3x2	2x3	1.

5. Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

	x1	x2	2x3	3x4	1,		x1	x2	x3	x4	2,
а)	3x1	x2	x3	2x4	4,	б)	x1	2x2	3x3	4x4	0,
а)	2x1	3x2	x3	x4	6,	б)	x1	x2	x3	x4	0,
	x1	2x2	3x3	x4	4;		2x1	3x2	2x3	3x4	3;

3x3

4x4

5x1

3x2

5x3

6x4

3x1

4x2

14x3

9x4

6x1

2x2

3x3

4x4

в)

2x2

6x3

3x4

г)

3x1

3x3

14x4

2x1

3x3

2x4

3x1

2x3

7x1

5x2

2x3

4x4

3x1

2x2

2x4

2x1

3x2

д)

е)

2x1

2x4

3x1

2x2

4x3

2x4

4x1

3x2

7x3

2x4

6.Исследовать совместность и найти общее решение в зависимости от значения параметра а:

5x1

3x2

2x3

4x4

a)x1

4x1

2x2

3x3

7x4

а)

б)

(1 a)x2

8x1

6x2

5x4

a)x3

7x1

3x2

7x3

17x4

7.Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:

	3x1	2x2		x3	0,	x1	2x2		4x3 3x4		0,
						3x1		5x2	6x3	4x4	0,
а) 2x1		5x2		3x3	0, б)
						4x1		5x2	2x3	3x4	0,
	3x1	4x2		2x3	0;
						3x1	8x2		24x3	19x4	0;

	x1	x2		3x3	0,		x1	x2	3x3	4x4	0,
в)	x1	x2	x3	2x4	0,	2x1		3x2	11x3	5x4	0,
	3x1	3x2		9x3	0,	г)	x1	x2	5x3	2x4	0,

	x1 2x2		5x3 x4 0;			2x1		x2	3x3	2x4	0.

8.Найти значения параметра к, при которых система имеет нетривиальные решения и найти эти решения:

	k 2 x 3x 2x 0,					2x x 3x			0,
	1	2	3			1	2	3
a)	kx1	x2	x3	0,	б) 4x1		x2	7x3	0,
	8x1	x2	4x3	0;		x1	kx2	2x3	0.
						Ответы
		1 1			6	26		3 4	12 ; г)	1	2
	1. а)	1 1		; б)	0	1 ; в)		3 4	12 ; г)	1	2	;
		2	3		1	4		14	3 2	3	4

6	4	5	1	2	3
д) 2	1	2	; е) 4	5	6 .
3	3	3	7	8	9

2.	a) x1	2, x2	3, x3	5; б) x1		1 x2		3 x3	2.
3.	а) x 1, x		0, x 1; б) x		5	3,	x 0, x		2	;
	1	2	3	1		3,	2	3	3
	1	2	3	1			2	3
	в) x1	1, x2	1, x3	2, x4		2;
	г) x1	2, x2	0, x3	1, x4		1.

4.а) совместна; б) несовместна; в)совместна.

5.а) (-1,-1,0,1) T ; б)несовместна;

в)	( 2, 0,1,	1)T ; г) (C ,3C 13,			7,0)T ;
		1		1
д) несовместна; е) (C			1	2C 1,C	1	2C	3,C ,C )T .
			1	2	1	2	1	2
6. а)	если а	0, то система несовместна, если а=0, то

Х=

Х= (1

3	5		13			7	7		19				T
3	5	C	13	C	,	7	7	C	19	C	, C , C		;
2	2	1	2	2		2	2	1	2	2	1	2

б)	если а=-3, то система										несовместна; если а=0, то
C	C ,C ,C )T ; если а(а+3)										0, то Х=				1		1, 1, 1 T .
C	C ,C ,C )T ; если а(а+3)										0, то Х=						1, 1, 1 T .
1	2	1		2									a			3
													a			3
7. а) система имеет только тривиальное решение;
б)	X	c X	1	c X	2	,	X	1		(8,	6,1, 0)T ,	X		2		(	7,5, 0,1)T ;
		1	1	2	2			1						2
в)	X	c X	1	c X	2	,	X		1	(1, 2,1,0)T ,		X	2			(	1,1,0,1)T ;
		1	1	2	2				1				2
г) система имеет только тривиальное решение.
8. а)	k 2, X c X						, X			1	1, 0,	2 T ;
	1				1	1				1

						24					4		T
k		4, X c X ,		X 1,		24		,			4	5	;
	2	1	1	1			5					5
	2	1	1	1
						5			1				T
б) k		1, X c X , X				5	,		1	3	, 1 .
		1	1		1	3				3
		1	1		1

		6	4	5					1		2		3
	д) 2 1 2 ; е) 4 5 6 .
		3	3	3					7		8		9
	4. a) x1			2, x2					3, x3					5; б) x1		1 x2						3 x3				2.
	5. а) x 1, x							0, x 1; б) x								5		x 0, x								2		;
			1			2					3				1	3,			2					3			3
			1			2					3				1				2					3
в) x1	1, x2			1, x3		2, x4					2; г) x1				2, x2		0, x3					1, x4				1.
	8. а) совместна; б) несовместна; в) совместна.
	9. а)		1,			1,		0,			1 T ; б)			несовместна;
	в)		2,	0,		1,		1			T ; г)		C ,		3C	13,				7, 0 T ;
														1	1
	д) несовместна; е)										C 2C				1,	C	2C					3,		C ,		C	T .
											1			2		1			2					1		2
	10. а) если а						0, то система несовместна,															если а=0,					то
	3		5			13					7			7		19										T
Х=	3		5	C		13		C		,	7			7	C	19	C		, C , C							;
	2		2	1		2			2		2			2	1	2		2				1			2
б) если			а=-3,			то		система						несовместна;								если а=0,					то
Х= (1	C		C ,C ,C )T				,	если а(а+3)							0, то Х=					1			1,	1,		1 T .
Х= (1	C		C ,C ,C )T				,	если а(а+3)							0, то Х=								1,	1,		1 T .
	1		2	1		2												a				3
																		a				3
	11. а) система имеет только тривиальное решение;
	б)	X		c X	1	c X			2	,	X	1		(8,	6,1,0)T ,			X			2	(		7,5,0,1)T ;
				1	1		2		2			1									2
	в)	X		c X	1	c X			2	,	X		1	(1,2,1,0)T ,				X		2		(		1,1,0,1)T ;
				1	1		2		2				1							2

г) система имеет только тривиальное решение.

9. а) k 2, X c X				, X		1		1, 0,		2 T ;
	1	1	1			1
										24		4	T
k		4, X c X , X 1,								24	,	4	;
	2		1		1		1			5		5
	2		1		1		1
								5		1		T
б) k		1, X c X , X						5	,	1		, 1 .
		1	1				1	3		3
		1	1				1

3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Будем рассматривать множества элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям (аксиомам). Такие множества называются "пространствами", а их элементы - "точками" или "векторами" этого пространства.

Заметим, что во многих абстрактных пространствах "векторы" ничего общего не имеют с обычными векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами абстрактных пространств могут быть функции, матрицы, некоторые системы чисел и т.д., а в частном случае - обычные векторы. Сами абстрактные пространства отличаются друг от друга лишь числом и характером вводимых в них операций и аксиомами, определяющими эти операции.

3.1. Линейное пространство Аксиомы линейного пространства

Линейным пространством называется множество L

элементов

любой

природы,

которые

будем

называть

векторами и обозначать x, y, z, ... , если:

1)указан

закон, согласно

которому

любым

двум

из

множества

L ставится

соответствие

векторам x

третий

вектор

этого

множества,

называемый

суммой

и обозначаемый

векторов x и y

= x + y ;

2)указан закон,

согласно которому каждому числу

(вещественному или комплексному) и любому вектору

называемый произведением

ставится в соответствие вектор z

вектора

и обозначаемый

;

x на число

z =

3)введенные операции сложения векторов и умножения

вектора на число удовлетворяют следующим 8 аксиомам:

для любых

1) x + y = y + x

x, y

2) ( x

+ y )+ z

= x

+( y

+ z ) для любых

x, y, z

3) существует элемент O

L (нулевой вектор) такой,

что x

+ O =

x для любого

4)для каждого

L существует такой вектор

что

называется

противоположным

+ y

= O , вектор

вектору x

и обозначается - x ;

5) 1

x =

x для любого

(

для

любого

L и

любых

) x

чисел

;

(

L и любых

) x

для любого x

чисел

;

для любых

из L и

и y

любого числа .

Пространство

L называется вещественным, если

в L

операция умножения векторов на число определена только для вещественных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Из аксиом линейного пространства следует:

1.В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2.В линейном пространстве каждый вектор имеет

единственный противоположный вектор.

3.	Для	любого элемента				L имеет место
3.	Для	любого элемента			x	L имеет место

равенство 0 x		0 .
Для любого вектора				L противоположный вектор
Для любого вектора			x	L противоположный вектор
	=(-1)
равен - x	=(-1)	x .

Существование противоположного вектора определяет возможность введения для векторов линейного пространства операции вычитания, как операции обратной операции

сложения.
Назовем разностью векторов					и		вектор		который
Назовем разностью векторов				x	и	y	вектор	z	который

обозначим z	= x	- y	, удовлетворяющий равенству z					+ y	= x .

3.2. Примеры линейных пространств

Приведем примеры конкретных линейных пространств. 1.Множество вещественных чисел с обычными

операциями сложения и вычитания составляет действительное линейное пространство. Аксиомы 1-8 выполняются в этом случае в силу свойств действий, установленных в арифметике.

Аналогично множество комплексных чисел составляет линейное пространство.

2. Рассмотрим множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов определим по правилу "параллелограмма"


, а умножение	на вещественное число		соответствует
умножению длины этого вектора на \|		\|, направление при		>0
остается неизменным, а при		<0 -	меняется	на
противоположное.
Нетрудно	проверить (предлагается		сделать	это

самостоятельно) справедливость аксиом 1-8.

Таким образом, множество всех геометрических векторов в пространстве представляет собой линейное пространство, которое будем обозначать символом R3.

Аналогичные множества векторов на плоскости и прямой также являются линейными пространствами, будем обозначать их соответственно символами R2 и R1.

3.Множество всех положительных вещественных чисел.

Определим сумму двух элементов x			и y этого множества x
+ y = xy как	произведение	вещественных чисел x и y.
Произведение	элемента x	на	вещественное число

определим как возведение положительного вещественного

числа x в степень	т.е.	x = x . Нулевым элементом этого
множества будет являться вещественное число				1, а
противоположным	для	данного элемента	x	будет
вещественное число 1/x.
Легко убедиться в справедливости аксиом 1-8.

4.Важный пример линейного пространства дает множество Rn элементами которого служат упорядоченные

совокупности	n произвольных	вещественных	чисел

x ={x1,x2,..,xn},	числа x1,x2,..,xn	называют координатами
элемента x , а	элементы этого	пространства называют

арифметическими векторами.

В анализе множество Rn называют n-мерным координатным пространством или пространством арифметических векторов вещественным или комплексным. Всюду в дальнейшем рассматривается вещественное пространство арифметических векторов.

Операции сложения элементов множества Rn и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами:

1)x y ={x1,x2,..,xn}+{y1,y2,..,yn}=

		{x1+y1,x2+y2,..,xn+yn};
				x2,..,	xn}.
	2)	x = {x1,x2,..,xn}={ x1,		x2,..,	xn}.
Нулевым	элементом		рассматриваемого	множества		является

элемент	O ={0,0,..,0},		а противоположным		для	элемента

x ={x1,x2,..,xn} является элемент {-x1,-x2,..,-xn}.

Проверку аксиом 1-8 предлагается читателю провести самостоятельно.

5.Пространство всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на [a,b] обозначают символом C[a,b]. Операции сложения таких функций и умножения их на вещественные числа определим обычными правилами математического анализа.

Как известно из математического анализа, сумма двух функций, непрерывных на отрезке a t b, и результат умножения такой функции на число снова представляют собой функции непрерывные на отрезке a t b.

Роль нулевого вектора в пространстве C[a,b] играет функция, тождественно равная нулю на отрезке a t b, а противоположным вектором является функция (-1) x(t).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.57 Mб8Учебное пособие 1987.pdf
#
30.04.20223.59 Mб1Учебное пособие 1988.pdf
#
30.04.20223.6 Mб6Учебное пособие 1989.pdf
#
30.04.2022325.34 Кб2Учебное пособие 199.pdf
#
30.04.20223.6 Mб2Учебное пособие 1990.pdf
#
30.04.20223.61 Mб1Учебное пособие 1991.pdf
#
30.04.20223.61 Mб3Учебное пособие 1992.pdf
#
30.04.20223.63 Mб1Учебное пособие 1993.pdf
#
30.04.20223.66 Mб5Учебное пособие 1994.pdf
#
30.04.20223.67 Mб7Учебное пособие 1995.pdf
#
30.04.20223.67 Mб3Учебное пособие 1996.pdf

	x1	x2	2x3	3x4	1,		x1	x2	x3	x4	2,
а)	3x1	x2	x3	2x4	4,	б)	x1	2x2	3x3	4x4	0,
а)	2x1	3x2	x3	x4	6,	б)	x1	x2	x3	x4	0,
	x1	2x2	3x3	x4	4;		2x1	3x2	2x3	3x4	3;

	x1	x2	2x3	3x4	1,		x1	x2	x3	x4	2,
а)	3x1	x2	x3	2x4	4,	б)	x1	2x2	3x3	4x4	0,
а)	2x1	3x2	x3	x4	6,	б)	x1	x2	x3	x4	0,
	x1	2x2	3x3	x4	4;		2x1	3x2	2x3	3x4	3;

	x1	x2	2x3	3x4	1,		x1	x2	x3	x4	2,
а)	3x1	x2	x3	2x4	4,	б)	x1	2x2	3x3	4x4	0,
а)	2x1	3x2	x3	x4	6,	б)	x1	x2	x3	x4	0,
	x1	2x2	3x3	x4	4;		2x1	3x2	2x3	3x4	3;