Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1991

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

								0		1		1	.
	e		=(-1,1); e								,
	e		=(-1,1); e								,
		2					2			2		2
										2		2
3. Строим новую систему координат, взяв в качестве
	0			0	. В новой системе координат уравнение
нового базиса e		,e			. В новой системе координат уравнение
1			2
кривой примет вид:
						1	x 2		1	x 2	a .
							x 2			x 2	a .
					2		1		2	2

Если a>0, то получим равностороннюю гиперболу:

x 2		x 2
1	2		1.

( 2a )2		( 2a )2

Если a<0, то получим равностороннюю гиперболу, сопряженную к рассмотренной выше:

	x	2		x	2
2			1			1.

(		2a )2	(		2a )2
(		2a )2	(		2a )2

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой:

5 x12 +4x1x2+8 x22 -32x1-56x2+80=0.

Решение.

1.Записываем симметрическую матрицу, порожденную квадратичной формой 5 x12 +4x1x2+8 x22 :

A5 2 .

2 8

2.Находим собственные значения и собственные векторы этой матрицы:

	5	2	0;	2-13 +36=0, 1=4, 2=9,
	2	8


Предположим, e1		=(l1,m1), e2		=(l2,m2), следовательно,

(5 4)l1 2m1 0 , 2l1 4m1 0 .

131

Пусть l1=2, тогда m1=-1,	т.е.		=(2,-1).
		e1

Аналогично,			=(1,2).		Таким		образом,			новый базис
Аналогично,		e2	=(1,2).		Таким		образом,			новый базис
определяется	ортами			0	2		1		0	1		2	и,
				e		,		,e			,
				e		,		,e			,
				1	5		5	2		5		5
					5		5			5		5
								2		1


следовательно,	матрица			перехода T				5		5 .		Отсюда
								1		2

								5		5

следует, что поворот системы координат выполняется на угол

=arctg(-2).
	3. Группа старших в уравнении (квадратичная форма)
5 x2	+4x1x2+8 x2		в		новом									базисе		будет иметь
1	2
канонический вид 4x 2				9x 2 .
			1	2
	Преобразуем члены содержащие x1															и x2		в первой
степени, используя формулу X=TX', т.е.:
			x	2		x			1			x
			x			x						x
			1	5			1		5				2		,
				1					2						,
			x	1				x	2					x
			x					x						x
			2	5			1		5				2
поэтому
-32x1-56x2=		64x1	32x2				56x1				112x2					8x1		144x2	.

				5													5
				5													5
	Таким образом, в новой системе координат уравнение
кривой принимает вид:
	4x 2		9x 2	8			x			144				x	80	0
	4x 2		9x 2				x							x	80	0
	1		2	5			1		5				2
	4. Выделяя полный квадрат по x1														и x2 , получаем:

132

							1		2						8			2
				4		x1	1					9 x2			8			36 .


							5								5
							5								5
Обозначим				x		1		x" ;			x		8				x"	и выполним


				1		5			1		2		5		2
						5							5
																			0		0	) в
параллельный перенос координатных осей базиса ( e																				,e		) в
																		1		2
точку		1	,	8	.	Во вновь						полученной						системе координат
					.	Во вновь						полученной						системе координат
		5		5
		5		5
x" , x"		уравнение кривой представлено в виде:
1	2
										x" 2			x" 2
										1			2		1.
									9				4		1.
									9				4
Это каноническое уравнение эллипса с полуосями a=3,b=2.
							x2
														x2		x2

x"1

x'1

7.5. Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка

Общее уравнение поверхностей второго порядка содержит:

1)квадраты всех текущих координат;

2)все попарные произведения текущих координат;

133

3)первые степени всех координат;

4)свободный член.

Если в общем уравнении отсутствуют попарные произведения текущих координат, то выделяя полные квадраты и введя замены, что соответствует параллельному переносу системы координат, получаем канонические уравнения поверхностей второго порядка. Поэтому особо рассмотрим случай, когда уравнение поверхностей содержит попарные произведения текущих координат.

Уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

3	3	3
	aij xi x j	2 a j x j a 0 ;
i 1	j 1	j 1

или

a11 x12 +2a12x1x2+a22 x22 +2a13x1x3+a33 x32 +2a23x2x3+

+2a1x1+2a2x2+2a3x3+a=0.

Группа членов второй степени относительно x1,x2,x3, т.е.:

L(x1,x2,x3)=a11 x12 +2a12x1x2+a22 x22 +2a13x1x3+a33 x32 +2a23x23

является квадратичной формой трѐх переменных.

Если теперь перейти к новому базису, взяв в качестве него орты собственных векторов матрицы

a11 a12 a13

A a21 a22 a23 , a31 a32 a33

где a12=a21, a13=a31, a23=a32, то квадратичная форма в новом базисе примет следующий канонический вид:

L( x1 , x2	, x3	)= 1 x 2	+	2 x 2	+	3 x 2
		1		2		3

( 1, 2, 3 - собственные значения матрицы A), а переменные x1,x2,x3 связаны с переменными x1 , x2 , x3 формулами:

xi=ti1 x1 +ti2 x2 +ti3 x3 ,

где tij - элементы матрицы перехода от старого базиса к новому. Таким образом, переход от старого базиса к новому

134

(базис из ортов собственных векторов матрицы A) позволяет избавиться от попарных произведений текущих координат. От членов же первого порядка можно избавиться параллельным переносом системы координат. В результате мы получим каноническое уравнение поверхностей второго порядка в виде:

1 x1 2 + 2 x2 2 + 3 x3 2 =c.

Будем считать c>0.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

2 x12 + x22 -4x1x2-4x2x3=16.

Решение.

1. Выписываем симметрическую матрицу квадратичной формы:

2 2 0 A 2 1 2

02 0

2.Составляем характеристическое уравнение :

		2		2	0
		2	1		2	0
		0		2
и решаем его 3-3 2-6 +8=0:				1=4,	2=1,	3=-2.
3.	В базисе из ортов собственных					векторов матрицы A

уравнение поверхности будет иметь следующий канонический вид:

4 x1 2 + x2 2 -2 x3 2 =16;

или

x 2		x 2		x 2
1		2		3	1.
4	16		8		1.
4	16		8

135

Данная поверхность является однополосным гиперболоидом с

полуосями 2,4,2 2 .

В рассмотренном примере уравнение не содержало первых степеней текущих координат, поэтому не требовалось делать параллельного переноса системы координат.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

	2 x 2	+ x2 -4x1x3-4x2x3+4x1+2x2-4x3=16.
	1	2
Решение.		Воспользуемся					результатами предыдущего

примера.	Найдем			собственные				векторы e1	, e2	, e3	,
соответствующие собственным числам 1,								2, 3:
					=(2,-2,1),
			e1		=(2,-2,1),
					=(2,1,-2),
			e2		=(2,1,-2),
					=(1,2,2).
				e3	=(1,2,2).

Тогда новый базис из ортов e1						, e2	, e3 принимает вид:
		e 0	=(2/3,-2/3,1/3),
		1
		0	=(2/3,1/3,-2/3),
		e	=(2/3,1/3,-2/3),
		2
			0	=(1/3,2/3,2/3).
		e		=(1/3,2/3,2/3).
		3

Следовательно, матрица перехода к новому базису:

	2 / 3		2 / 3	1/ 3
T	2	/ 3	1/ 3	2 / 3 .
	1/	3	2 / 3	2 / 3

Тогда X=TX',т.е.

136

x	2			x		2			x		1		x

1	3				1	3				2	3			3
x		2			x		1			x		2		x .

1	3				1	3				2	3			3
x	1		x			2		x			2		x

3	3				1	3				2	3			3

Подставив выражение старых координат через новые в группу членов первой степени, получим:

4x1+2x2-4x3=6 x2 .

Следовательно, уравнение данной поверхности в базисе

0	0		0	будет записано так:
e	, e	, e		будет записано так:
1	2	3
					4 x 2		+ x 2		-2 x				2 +6 x				2		=16.
					1		2					3					2
Выделяя полный квадрат по x2 , имеем:
					4 x 2 +[ x 2 +6 x							2	+9]-2 x						2 =25,
					1		2					2					3
откуда окончательно получим:
						x 2		(x	3)2							x	2
						1		2								3			1
					25 4				25					25 2					1
					25 4				25					25 2
		Данная			поверхность									является						однополостным
гиперболоидом с полуосями										5	, 5 ,				5			и центром, смещенным
									2
														2
														2

в точку (0,-3,0).

Упражнения.

1. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, заданную в евклидовом пространстве E3,

к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

а) L(x1,x2,x3)=6x12+5x22+7x32-4x1x2+4x1x3;

б) L(x1,x2,x3)=x12+x22+5x32-6x1x2+6x1x3-6x2x3;

в) L(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3;

137

г) L(x1,x2,x3)=17x12+14x22+14x32-4x1x2-4x1x3-8x2x3.

2. При каких значениях параметра квадратичная форма будет положительно определенной.

а) L(x1,x2)= x12+2bx1x2+cx224x1x2;

б) L(x1,x2,x3)=5x12+x22+ x32+4x1x2-2x1x3-2x2x3.

3. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить эту кривую.

а)	9x12-4x1x2+6x22+16x1-8x2-2=0;
б)	x12-2x1x2+x22-10x1-6x2+25=0;
в)	5x12+12x1x2-22x1-12x2-19=0;
г)	4x12-4x1x2+x22-6x1+3x2-4=0;
д)	2x12+4x1x2+5x22-6x1-8x2-1=0;
е)	x12-4x1x2+4x22-4x1-3x2-7=0.

4. Привести к каноническому виду уравнение поверхности

а) 7x12+6x22+5x32-4x1x2-4x2x3-6x1-24x2+18x3+30=0;

б)2x12-7x22-4x32+4x1x2-16x1x3+20x2x3+60x1-12x2+12x3-90=0;

в)2x12+2x22-5x32+2x1x2-2x1-4x2-4x3+2=0;

г)2x12+2x22+3x32+4x1x2+2x1x3+2x2x3-4x1+6x2-2x3+3=0;

д)4x12+x22+4x32-4x1x2-8x1x3+4x2x3-28x1+2x2+16x3+45=0;

е)2x12+5x22+2x32-2x1x2-4x1x3+2x2x3+2x1-10x2-2x3-1=0.

138

Ответы.

			1		2		1					2
1.	а) T		1		2		2						1 ;L( x , x , x							)=3 x				2 +5 x		2 +9 x			2 ;


			3														1	2	3				1		2			3
			3		1		2					2
					1		2					2
			1				1							1
			1	3			1	6						1	2
			1				1							1											2			2		2
б)T																	,L( x1, x2 , x3 )=3 x1									+6 x2			-2 x3		;
б)T					3			6							2		,L( x1, x2 , x3 )=3 x1									+6 x2			-2 x3		;
					3			6							2
			1				2								0
				3				6							0
				3				6
			1				1							1
			1	3			6							1	2
			1				1							1											2	2			2
в) T																	, L( x1, x2 , x3 )=5 x1									- x2		- x3		;
в) T				3			6								2		, L( x1, x2 , x3 )=5 x1									- x2		- x3		;
				3			6								2
			1				2							0
				3			6							0
				3			6
	1		1		2		2
г)T	1		2		1		2			, L( x , x , x								=9 x 2			+18 x 2 +18 x						2 .
г)T			2		1		2			, L( x , x , x								=9 x 2			+18 x 2 +18 x						2 .
	3														1	2	3			1					2	3
	3		2		2		1
2.а)		При				>0 положительно определена.
б)		При			>2.
							x 2		x 2
3.а)		Эллипс					1							1.
3.а)		Эллипс												1.
							2				2
							2
	4		2	,			1							2	,					2			1		;
0		,				e1					,					e2						,
	5		5
							5							5						5				5
							5							5						5				5
б) Парабола x 2
б) Парабола x 2							4			2x				,
					2							1

139

0 2 , 1						,							1							2						,								1			1				;
								e1									,											e2								,

													2									2												2			2
													2									2												2			2
												x 2							x			2
в) Гипербола													1							2						1 .
в) Гипербола													4							9						1 .
													4							9
0 1, 1													3									2												2					3
						,	e1											,										, e2									,							;

													13									13												13					13
													13									13												13					13

г)				Параллельные прямые x																															5		,
г)				Параллельные прямые x																																	,
																															1				2
																																			2
		3						3			,															2				1			,						1				2			,		или в старых
0					,									e1															,					e2								,
		5						10
																										5				5										5				5
																										5				5										5				5
переменных: 2x1-x2+1=0, 2x1-x2-4=0;
										x 2				x	2
д) Эллипс										1				2						1,
д) Эллипс								35 6					3536							1,
								35 6					3536
	7		1										2									1												1			2
0		,				,		e1								,												, e2							,					;
	6		3
													5										5											5			5
													5										5											5			5
е) Парабола x 2															1					x		,
е) Парабола x 2																				x		,
								2							5					1
0 3 , 2						,									2											1				,					1								2		;
									e1												,											e2						,

															5												5								5								5
															5												5								5								5
															x 2									x		2				x	2
4. а)				Эллипсоид											1											2				3				1,	0		1, 2 ,								1			,
4. а)				Эллипсоид											2										1					2 3				1,	0		1, 2 ,								1			,
															2										1					2 3
		1				2		2												2					1					2							2						2		1
e1				,			,				,		e2										,				,						, e3						,					,					;
e1		3		,		3	,	3			,		e2							3			,		3		,			3			, e3				3		,				3	,	3				;
		3				3		3												3					3					3							3						3		3
																																															x	2		x	2
б)		Гиперболический																									параболоид																				1			2				2x3 ,
б)		Гиперболический																									параболоид																		2				1					2x3 ,
																																													2				1
0 1, 2 , 3															2							1				2								1			2						2						2			2		1
										, e1										,					,					, e2					,					,					, e3						,		,		;
										, e1					3					,		3			,	3				, e2				3	,		3			,			3		, e3				3		,	3	,	3	;
															3							3				3								3			3						3						3			3		3

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.57 Mб8Учебное пособие 1987.pdf
#
30.04.20223.59 Mб1Учебное пособие 1988.pdf
#
30.04.20223.6 Mб6Учебное пособие 1989.pdf
#
30.04.2022325.34 Кб2Учебное пособие 199.pdf
#
30.04.20223.6 Mб2Учебное пособие 1990.pdf
#
30.04.20223.61 Mб1Учебное пособие 1991.pdf
#
30.04.20223.61 Mб3Учебное пособие 1992.pdf
#
30.04.20223.63 Mб1Учебное пособие 1993.pdf
#
30.04.20223.66 Mб5Учебное пособие 1994.pdf
#
30.04.20223.67 Mб7Учебное пособие 1995.pdf
#
30.04.20223.67 Mб3Учебное пособие 1996.pdf