Спецглавы математики и их приложения к задачам электромеханики и теории управления. Катрахова А.А., Купцов В.С

рактеристика будет отделять область, где решение осталось неизменным, от той области, где оно изменилось. Т. е. за всякую характеристическую линию решения уравнения продолжаются неоднозначно.

A M B

Q1 Q

P

Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Римана

Предположение, что прямые, параллельные осям, т. е. характеристики, пересекают линию l не более чем в одной точке, будет существенным.

Если не выполнено условие задачи Коши, то она неразрешима.

Пусть кривая l имеет вид, указанный на рис. 3.3. Методом Римана можно вычислить значение функции u(х,у) в точке М (пользуясь криволинейным треугольником PQM, или криволинейным треугольником Q1PM). Полученные две формулы имеют в точке М разные значения для u, т. е. задача Коши будет неразрешимой.

Примеры на приложение метода Римана Пример 1. Найти решение уравнения

уравнение к каноническому виду:

100

Рис. 3.4. Иллюстрация к примеру 1

Прямая у=1 в новых переменных имеет вид равнобочной гиперболы 1 (рис. 3.4).

101

Найдем функцию Римана v( , ; 0; ). Эта функция удовлетворяет сопряженному уравнению

и условиям на характеристиках:

Встарых переменным x и y решение задачи Коши:

xx

удовлетворяющее условиям

102

Приведем уравнение к каноническому виду, для чего со-

ставим уравнение характеристик:

xdy2 dx2 0.

Это уравнение имеет два различных интеграла:

Необходимо ввести новые переменные и по форму-

лам y x, y x(x 0). Присоединим к этим равен- 2 2

ствам еще одну зависимость w u , тогда наше уравне-

ние преобразуется к следующему каноническому виду:

B

Рис. 3.5. Кривая AB как биссектриса .

За кривую АВ (рис. 3.5) в методе Римана берем биссектрису . Для решения поставленной задачи найдем част-

103

условиям на характеристиках:

v( 0, ; 0, 0 ) 1 (на MP);

v( , 0; 0, 0 ) 1 (на MQ).

Решение уравнения ищем в виде v G( ), где

( 0)( 0 ). ( 0 0)( )

Для G( ) получим следующее уравнение:

(1 )G ( ) (1 2 )G ( ) 1G( ) 0. 4

Это уравнение - частный случай гипергеометрического уравнения Гаусса

(1 )y (1 ) y y 0

при 1 , 1. 2

Уравнение Гаусса имеет частное решение в виде гипергеометрического ряда

Следовательно, функция

v G ( 0)( 0) будет искомой функцией Римана.

( 0 0)( )

Возьмем формулу Римана, и в ней пусть a b 0, f 0.

Тогда

104