Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие 1920

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
2.9 Mб
Скачать
☆

T

 

 

 

 

 

t1

 

c

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)dt

 

 

m

max

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

c

m

t

2

 

 

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

max

 

 

2

 

 

M

c

 

 

 

 

(2.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Imax t

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

t c1

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

t2 t1

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

c

m

I

max

 

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

c2 dt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему уравнений (2.50), (2.52), найдём t1 и t2

для

заданных

 

параметров

 

 

 

привода:

 

 

Мс=300 Н м;

Imax=200

A;

cm=2,5 Н м/A; J=100 кг м2; Т=5 с; =100 рад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i m

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i 1 ( t 1 t 2 )

 

 

 

 

 

c m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i m

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c m

 

 

 

t 2

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i m

 

 

 

2

M

 

 

c 1

c m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i m t 1

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

t 2

t 1

 

 

 

 

 

 

 

t 2 t 1

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

c m

 

 

 

 

t 2

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i m

 

 

 

2

 

M

 

 

 

 

 

 

 

f i 2 ( t 1 t 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i m t

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

c 1

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

t 2

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2 t 1

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c m i m

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i m

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i 3 ( t 1 t 2 )

 

 

 

 

 

 

c m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

c 2

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c m 2 . 5

 

 

 

M

 

3 0 0

 

 

 

 

 

i m 2 0 0

 

J

 

1 0 0

 

 

 

T 5

 

 

 

f i 1 0 0

 

В ы р а ж е н и я д л я f i 1 , f i 2 , f i3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G i v e n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c m i m ( t 1

 

T t 2 )

 

 

 

 

 

M

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f i 1 ( t 1 t 2 )

f i 2 ( t 1

t 2 )

 

 

 

 

f i 3 ( t 1 t 2 )

 

 

 

 

f i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r F i n d ( t 1

t 2 )

 

f l o a t 5

 

 

 

 

 

 

4 .

 

6 . 9 2 8 2 i

4 .

 

6 . 9 2 8 2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 . 9 2 8 2 i

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .

6 . 9 2 8 2 i

 

 

 

 

 

Рис. 2.20. Программа в пакете MathCAD для решения системы уравнений (2.50), (2.52)

Вычисления в пакете MathCAD (рис. 2.20) дают не имеющие физического смысла комплексные значения t1 и t2. Решение задачи с заданными параметрами не существует. Действительно, введение ограничения на значения тока |i(t)| Imax значительно снижает производительность электро-

160

привода, и повернуть вал двигателя на угол =100 рад за время Т=5 с с данным ограничением невозможно.

Для проверки этого предположения на рис. 2.21 показано изменение угла поворота (t) при постоянном токе i(t)=Imax. Видим, что при Imax=200 А угол (t) достигает заданное значение =100 рад только через 10 с, т. е. имеющее физический смысл решение вида (2.48) (рис. 2.19) можно получить только при T>10 c.

300

 

 

i, A

i(t)

200

 

 

, рад

 

(t)

100

 

 

 

0

5

10 t, c 15

0

Рис. 2.21. Изменение угла поворота (t) при постоянном максимальном токе i(t)=Imax

Пример такого решения задачи показан на рис. 2.22: t1=7,33 c; t2=11,07 c, – а также на рис. 2.23а,б.

Рис. 2.22. Фрагмент программы для решения системы уравнений (2.50), (2.52) при Т=11,5 с

161

При увеличении Т свыше 11,5 с граница экстремали i(t)=-Imax исчезает, и вид оптимального управления будет соответствовать рис. 2.24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

, c-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)

i, A

 

 

 

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

200

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2 4 6 8 10 12 14t, c

0 2 4 6 8 10 12 14t, c

 

Рис. 2.23. Оптимальное движение привода при Т=11,5 с

 

 

 

 

i, A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Imax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

t, c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-IТ

-IТ

-Imax

 

Рис. 2.24. Структура экстремали i(t) с одним участком, лежащим на границе допустимой области

Для экстремали вида, представленного на рис. 2.24, име-

ем

 

 

 

,

0 t t1;

 

 

 

Imax

 

 

i(t)

I

T

 

Imax IT

(T t),

t t T;

(2.53)

 

 

 

 

T t1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

T t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где IT – значение тока при t=T имеем i(T)=IT.

162

Для определения в (2.53) неизвестных величин t1 и IT снова воспользуемся условиями

T T

(t)dt 0 и (t)dt .

00

Сучётом соотношения

 

cm

 

Mc

 

(t) (t)dt

 

i(t)

 

dt

(2.54)

J

 

 

 

 

J

 

получаем

T

 

 

cmImax

 

 

 

 

cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Imax

IT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

I

 

 

 

 

T

 

(T t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

1

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

T2 t2

 

M

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

T

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (2.53) и (2.54) получаем выражение для (t):

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

max

 

 

 

 

 

t,

0 t t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

t

2

 

M

 

 

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

 

 

 

max

T

 

 

 

 

 

c

 

 

 

(t)

 

 

 

 

I

T

t

 

 

 

 

 

 

Tt

 

 

 

 

 

 

t c, t

t T;(2.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

T t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где постоянная интегрирования с определяется из условия сопряжения участка экстремали (2.53) в точке t1:

c

m

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

 

I

max

I

T

 

 

 

 

 

t2

 

 

M

c

 

 

 

 

 

I

max

 

 

 

t

 

 

 

 

I

t

 

 

 

 

 

Tt

 

 

1

 

 

t

c,

 

 

 

J

 

 

 

J

 

 

T t

 

 

2

J

 

J

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

T 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

I

max

I

T

 

 

 

 

 

t2

 

 

M

c

 

с

 

 

 

I

 

 

 

 

 

t

 

 

I

t

 

 

 

 

 

 

Tt

 

 

1

 

 

 

t .

 

 

 

 

 

 

J

 

J

 

T t

 

 

 

2

 

J

 

 

 

 

J

max

 

 

 

 

 

1

 

 

 

T

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь интегрируем (t) по участкам [0;t1], [t1;T]:

163

T

t1

c

m

 

 

 

M

c

 

 

 

 

(t)dt

 

 

 

I

 

 

 

 

 

tdt

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

max

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T c

 

 

 

 

 

I

max

I

T

 

 

m

ITt

 

 

 

 

J

 

 

 

T t

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.57)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

Mc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tt

 

 

 

t c .

 

 

2

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Совместное решение (2.55) и (2.57) (программа в пакете

MathCAD на рис. 2.25) для Т=12 с даёт t1=6,5 c и IT= 149,09 А.

Расчётные графики движения привода, построенные по аналитическим выражениям для тока (2.53), частоты вращения (2.56) и угла поворота привода, представлены на рис. 2.26а,б.

Решение проверено на имитационной модели (рис. 2.1). Управляющее воздействие ток двигателя i(t) (2.53).

 

 

 

t1

 

cm im

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1(t1 iT)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cm im

 

M

 

cm

 

 

 

im iT

 

 

 

 

 

t1

2

M

c

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

iT t1

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

J

 

J

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

J

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

im iT

 

 

 

 

t

2

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(t1 iT)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

J

iT t

 

 

 

 

2

 

t c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cm 2.5

M 300

 

im 200

J 100

 

 

T 12

 

 

 

fi 100

1(

Выражения для ф1, ф2

Given

cm im t1

cm

 

 

 

im iT

 

im iT T

2

 

t1

2

 

M T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iT

 

 

T (T t1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

2

 

 

 

J

J

 

 

 

 

 

T t1

 

 

 

 

J

1(t1 iT) 2(t1 iT)

 

 

fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r Find (t1

iT)

float 5

 

6.5000

12.000

 

.20000e21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.15068e22

200.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

149.09

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.25. Программа в пакете MathCAD для решения системы уравнений (2.55), (2.57)

164

Результаты проверки показаны на рис. 2.27а,б и полностью подтверждают расчётные графики рис. 2.26.

200

 

150

б)

21

 

а)

,

, c

-1

i,A

рад

(t)

 

0

i(t)

100

(t)

14

 

 

50

7

 

 

 

 

 

200

 

0

 

0

 

 

 

 

 

0 2 4 6 8 10 12 14t, c

0 2 4 6 8 10 12 14 t, c

Рис. 2.26. Оптимальное движение привода по экстремалям (2.53) и (2.56)

200 i, A

100

i(t)

0

-149.09

 

 

-2000

5 6.5

10 12 t, c

Рис. 2.27а. Изменение тока при оптимальном управлении (2.53)

165

10 0

 

 

, рад

 

(t)

7 5

 

 

, с-1

 

 

5 0

 

 

2 5

 

(t)

 

 

00

5

1 0 1 2 t, c

Рис. 2.27б. Изменение частоты вращения (t) и угла поворота (t) привода при оптимальном управлении (2.53)

Поставленная задача оптимального энергосберегающего управления с учётом ограничений по току решена для заданного времени угла поворота платформы Т=12 с. Потери энергии за это время составят

T

 

 

t1

 

 

 

 

 

T

 

 

 

I

 

I

 

 

2

 

P R i2

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

max

T

 

 

 

(t)dt R

 

dt

I

T

 

 

 

 

 

(T t)

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

T t

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

RI2

 

 

(I2

I

max

I

T

I2

 

) (T t )

 

 

 

 

 

t

R

T

 

 

 

max

 

 

 

1

 

19,17

кДж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы сравнить этот результат с эффективностью оптимального управления без ограничений воспользуемся ранее найденным выражением для потерь

P R12J 2 2 T4M 2 cm2 T3

J 100 17,03 кДж.

100 T 12

cm 2,5 R 0,06

Таким образом, управление без ограничений по току в энергетическом смысле эффективнее управления с ограничением. Однако ток при этом принимает значения i(0)=286,7 A и i(12)=-46,7 A, т. е. в начале движения превышает допустимое значение Imax=200 A.

166

Задача 4. Рассмотрим теперь пример линейной задачи с ограничением на управление, наиболее полно раскрывающий возможности принципа максимума.

Пусть требуется осуществить поворот платформы экскаватора (см. задачи 1,3) на угол =100 рад за кратчайшее время Т, при этом управляющее воздействие – ток i(t) – ограничен по

модулю i(t)| Imax.

Воспользуемся известным описанием объекта управле-

ния (2.31):

x1 x2;

x cm i Mc .2 J J

Целевой функционал в этой задаче по сравнению с задачами 1,3 изменится:

T

 

Q T 1dt min.

 

(2.58)

 

0

 

 

 

 

 

Включим функционал (2.58) в число фазовых координат

 

 

 

 

 

 

(2.59)

 

x0(t) 1

 

 

 

 

и составим гамильтониан

 

 

 

 

 

2

0 1 1x2 2

cm

i

Mc

 

 

 

 

 

max. (2.60)

 

 

H ixi

J

J

i 0

 

 

 

 

Управление i(t) входит в гамильтониан Н линейно, и максимум Н достигается при максимальном значении слагае-

мого 2

c

m

i

M

c

 

, из чего немедленно вытекает структура

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

J

 

 

 

 

оптимального управления:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t) Imax sign 2

(2.61)

Для определения 2 составим уравнения взаимосвязи гамильтониана Н и функций i(t):

d i H . dt xi

167

Для H вида (2.60) последнее соотношение образует систему трёх дифференциальных уравнений:

d 0 H 0; dt x0

d 1

 

 

 

H

 

0;

(2.62)

dt

 

 

 

 

 

x1

 

d 2

 

 

 

H

.

 

 

 

 

 

dt

 

 

1

 

 

 

 

x2

 

Решение системы уравнений (2.62):

0 const с0;1 const с1;

2 1dt с2 c1t,

иискомая экстремаль опишется выражением:

i(t) Imax sign(с2

с1t),

(2.63)

имеющим в силу линейности 2(t) не более двух интервалов постоянства i(t)=Imax или i(t)=-Imax с точкой перехода (переключения) со значения Imax на значение (-Imax) в некоторый момент t1. Определим момент t1 переключения.

Поскольку

 

 

I

 

 

,

0 t t ;

 

 

 

max

 

 

 

1

 

 

i(t) Imax,

t1 t T;

 

 

 

 

T t,

 

 

 

0,

 

 

 

 

cm

 

 

 

Mc

 

 

i(t)

и (t) (t) (t)dt

J

dt,

 

 

 

 

 

 

J

 

то величина скорости ω(t) получит вид:

168

 

c

m

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

max

 

 

 

t,

0 t t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

J

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

m

 

 

 

 

M

c

 

 

 

 

(t)

 

 

 

 

I

max

 

 

 

 

t c ,

t t T;

(2.64)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

J

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

T t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие сопряжения участков ω(t) в точке переключения

t1

c

m

 

 

 

M

c

 

 

 

 

c

m

 

 

 

M

c

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

t

 

 

 

I

 

 

 

t

c

(2.65)

 

 

 

J

 

 

 

 

J

 

 

J

max

 

 

 

1

 

 

J

max

 

 

 

1

3

 

даёт значение с3:

c3 2cmImax t1.

J

Требуемый угол поворота платформы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

c

m

 

 

 

 

 

 

 

 

M

c

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)dt

 

 

I

max

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

(2.66)

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

T2 t

2

 

 

 

2c

 

 

I

 

t

 

 

m

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

Imax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

max 1

(T t1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

J

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны

 

 

 

 

maxT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.67)

 

 

 

 

c

 

I

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

max

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

m

I

max

 

 

 

M

c

t T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

.

 

 

(2.68)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При заданных параметрах cm=2,5 Н м/А, Imax=200 A,

J=100 кг м2, Мс=300 Н м система уравнений (2.66), (2.68) по-

зволит определить две содержащиеся в них неизвестные вели-

169

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности