Учебное пособие 1920

Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений уравнения, удовлетворяющих граничному условию

где Ak ,Bk подбираются таким образом, чтобы выполнялись начальные условия. Имеем

или если в интегралах сделать замену переменной R r, то

50

1.11. Решение задачи о продольных колебаниях стержня методом Фурье

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда один его конец х=0 закреплен, а другой х=l свободен. Было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения

Согласно методу Фурье частные решения уравнения будем искать в виде u(х,t)=X(x)T(t).

Подставив u(х,t) в основное уравнение, получим

T''(t) X''(x) 2, a2T(t) X(x)

откуда найдём два уравнения

Чтобы функция Х(х), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям, очевидно, нужно потребовать выполнения условий Х(0) = 0, Х(l) = 0. Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах для уравнения

51

Интегрируя уравнение, получим

X(x) C1 cos x C2 sin x.

Имеем С1 =0, C2 sin l 0.

Считая С2≠0 (в противном случае имели бы Х(х)≡0), на-

ходим cos x = 0, откуда l (2k 1) (k — целое число). 2

Таким образом, нетривиальные решения задачи возмож-

ны лишь при значениях λk= (2k 1) . Собственным числам 2k

2l

соответствуют собственные функции

Xk(x)=sin (2k 1) x (k=0,1,2,…), 2l

определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (отрицательные целые значения k новых собственных функций не дадут). При λ=λk общее решение основного уравнения имеет вид

Предполагая, что ряды сходятся равномерно, можно определить коэффициенты ak и bk, умножив обе части равенств

52

С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу о продольных колебаниях стержня. Напомним, что поставленная там задача приводится к решению основного уравнения при граничных и начальных условиях

Применяя формулы, полученные выше, найдем, что

( 1)k 8lr

ak (2k 1)2 2 , bk=0, откуда вытекает, что относительное

перемещение сечения стержня с абсциссой х выражается рядом

Пример 1. Решить неоднородное уравнение гиперболического типа

53

Задача описывает вынужденные колебания однородной струны, закрепленной на концах, под действием внешней возмущающей силы f(x,t)=2t . Применяя метод Фурье разделения переменных, полагаем u(x,t)=X(x)T(t) для решения соответ-

условиях. Подставив в это уравнение, получаем равен-

ство T''(t) X''(x) , возможное лишь в случае, если обе части

T(t) X(x)

его не зависят ни от x, ни от t, т. е. представляет собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через с:

T''(t) X''(x) с.

T(t) X(x)

Используем краевые условия u(0,t)=X(0)T(t)=0, следова-

Таким образом, приходим к задаче Штурма-Лиувилля: найти такие значения параметра с, при которых существуют нетривиальные (т. е. отличные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям:

вым условиям, с =0, с =0 и решением задачи (*) становится X(x) 0 - эти случаи не интересны. При с>0, с=-λ : общее решение вида: X(x)=c1 cosλx + c2 sinλx, X(x)=-c1 λsinλx+c2λcosλ,

54

ответствующие им собственные функции Xk(x)=iπλkx, k=0,1,2,…, определяемые с точностью до постоянного множителя, который мы полагаем равным единице. Следовательно, лишь при с=-λ2к, к=0,1,2,…, имеем нетривиальные решения задачи (*).

Теперь решение задачи ищем в виде Фурье:

55

1.12. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня

A. Пусть в стержне бесконечной длины ( x ) задано начальное распределение температур. Требуется найти температуру u(t, x) в любой точке x ( , ) в любой момент времени t 0. Это означает, что требуется найти решение

дифференциального уравнения

Применяя преобразование Фурье к левой и правой части основного уравнения и начального условия, приходим к следующей задаче. Найти решение дифференциального уравнения

U(t, ) a2 2U(t, ),

t

удовлетворяющее начальному условию U(t, ) t 0 ( ).

56

Решение этой задачи имеет вид U(t, ) ( )e a2 2t. Искомая функция u(t, x) находится с помощью обратного преобразования Фурье:

57

22

e a t sin (x z)d 0.

Следовательно