Учебное пособие 1920

u(x) LP u Q L dS Lf uN LdV .

Если существует фундаментальное решение однородной задачи:

N G( ,x) 0, когда V-FV-x;

сопряженной задаче Дирихле, если это решение непрерывно в области V вместе со своими первыми производными, то

L( ,x) G( ,x) .

Формула для u(x) имеет вид

Фундаментальное решение однородной задачи называют функцией Грина задачи Дирихле. Также вводится функция Грина для задачи Неймана.

Рассмотрим задачу: найти решение уравнения xu f ,

Пусть u(х) - решение этой задачи, непрерывное в замкнутой области V со своими производными первого порядка.

По формуле Грина–Стокса:

u(x) L uQ L dS Lf N LdV ,

FV V

где G( , x) - фундаментальное решение однородной задачи:

сопряженной исходной задаче. Это решение вместе со своими первыми производными должно быть непрерывно в области V.

Пусть L( ,x) = G( ,x), тогда

70

Фундаментальным решением нашей задачи будет функция Грина. Вводятся также вторая функция Грина и характеристическая функция Неймана.

Рассмотрим две взаимно сопряженные граничные задачи,

~

и пусть их функции Грина G( , x) и G( ,x)существуют. По определению:

Первое граничное условие ставится для задач Дирихле, второе - для задач Неймана. Если функции G( , x) и

~

G( ,x)имеют производные первого порядка по координатам точки , непрерывные в области V-х, то зафиксировав две

FV1(x ,p) FV1(x ,p)

Перейдем к пределу при p 0. При этом справедливы формулы:

~

Можно получить формулу G(x ,x ) G(x ,x ), связывающую функции Грина для сопряженных граничных задач.

71

Если дифференциальное выражение u самосопряженное, то

~

G( ,x) G( ,x) и G(x , x ) G(x ,x ).

Если для самосопряженной граничной задачи, поставленной в области, существует функция Грина G( ,x), непре-

рывная в области вместе со своими первыми производными, то эта функция будет симметричной относительно и х.

1.18. Условия разрешимости граничных задач

вместе со своими первыми производными, - какое-либо ре-

72

и коэффициент с непрерывны и удовлетворяют условию Гёльдера в области V, а f - непрерывен в области V и также удовлетворяет условию Гёльдера в области V - FV.

При этих условиях и условии с 0 задача Дирихле

u f , когда x V FV ; u , когда x FV ,

имеет единственное решение, если функция непрерывна на границе FV.

Задача Дирихле и сопряженная ей задача будут:

ний, отличных от тождественного нуля, и тогда задача Дирихле имеет единственное решение;

либо эти задачи имеют по одинаковому числу m линейно независимых решений u1,u2,...,um и 1, 2,..., m, и тогда

задача Дирихле разрешима при выполнении соответствующих интегральных соотношений для каждого из решений1, 2,..., m. Если последнее условие выполнено, то задача Дирихле имеет бесчисленное множество решений, и если u-

m

одно из них, то все остальные определены в виде u c u ,

1

где c - постоянные. Решение u задачи Дирихле, ортогональ-

ное ко всем решениям u1, u2,...,um однородной задачи и един-

ственно.

73

1.19. Понятие гармонической функции

Функция называется гармонической в области V, если эта функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно во всех внутренних точках области V и является решением в этой области уравнения Лапласа U(x,y,z)=0. Аналогичное понятие гармонической функции u(x,y) вводится для плоской области D. Примером такой функции в пространстве будет функция

координат. Оператор Лапласа и уравнение Лапласа в сферической системе координат для этой функции имеют вид

то, функция 1/ρ является гармонической функцией во всем пространстве, кроме начала координат. Точно также функция

1.20. Задачи Дирихле для круга и шара

А. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье

В полярной системе координат задача формулируется так: найти функцию u(r, ), удовлетворяющую при r<R дифференциальному уравнению

74

и граничному условию

u(r, ) r R u*( ).

Найдем частные решения уравнения в виде u(r, )=X(r)Y( ), где X(r), Y( ) - ненулевые функции, удовлетворяющие условиям: X(0) ограничено и Y( +2π)= Y( ).

Дифференцируя функцию u(r, )=X(r)Y( ), по r и и подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение, получим

шений уравнения: un r, ) rn(An cos(n ) Bn sin(n ), n 0,1,...

75

Эти решения удобнее записать в виде

u0 r, A0 . 2

Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

u*( ) A0 /2 Rn (An cos(n ) Bn sin(n )),

n 1

Отсюда следует, что A0, Rn, RnAn, RnBn являются коэффициентами Фурье для функции u*( ) на отрезке [0,2π].

Поэтому

76

Обозначим θ- =ω и найдем сумму ряда, стоящего в квадратных скобках формулы.

Имеем

=-1+1/(1- (r/R)exp(i ω))+ 1/(1- (r/R)exp(-i ω))= =(R2-r2)/( R2+r2-2Rrcosω),

где ω=θ- .

Таким образом, решение нашей задачи имеет вид

77

Получили другим способом решение задачи Дирихле для круга в виде интеграла Пуассона.

Б. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)

Пусть требуется найти функцию u(x,y,z), гармоничную в шаре x2 +y2+ ≤ и принимающую заданные значения в точках сферы.

В сферической системе координат задача заключается в следующем. Требуется найти функцию u(ρ,θ, ), удовлетворяющую при ρ<R уравнению

и граничному условию

u( , , ) R u*( , ).

Решение этой задачи методом Фурье заключается в следующем: сначала ищутся частные решения основного уравне-

периодична по переменной с периодом 2π.

Функции Y(θ, ) являются собственными функциями, отвечающими собственным значениям λ=n(n+1) этими функциями являются сферические функции

Yn ( , ) (Amn cos(m ) Bmn sin(m ))Pn(m) (cos ),

m 0

(n=0,1,2,…).

Функции X(ρ) являются решениями уравнения

2 X ( ) 2 X ( ) n(т 1)X( ) 0

ограниченными в точке ρ=0. Частные решения этого уравнения будем искать в виде X(ρ)=ρ . Для определения k получаем уравнение k2+k-n(n+1)=0, которое имеет решения k1=n и

78

k2=-n-1. Следовательно, это уравнение имеет два линейно независимых решения ρ и 1/ρ . Второе решение не ограничено при ρ→ 0, , но ограничено при ρ>R, поэтому оно используется для решения внешней задачи Дирихле для шара. Для решения внутренней задачи Дирихле выбираем X(ρ)=ρ Таким образом, мы получили беcконечно много частных решений уравнения

un( , , ) n(Amn cos(m ) Bmn sin(m ))Pn(m) (cos ),

m 0

(n=0,1,2,…).

Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

u( , , ) n(Amn cos(m ) Bmn sin(m ))Pn(m)(cos ).

n 1 m 0

Коэффициенты этого ряда определяются так, чтобы выполнялось граничное условие. Полагая в решении ρ=R, получим

u*( , ) Rn(Amn cos(m ) Bmn sin(m ))Pn(m)(cos ).

Рассмотрим случай, когда решение задачи Дирихле для шара не зависит от , то есть решение имеет осевую симметрию. В этом случае функция u(ρ,θ) является решением уравнения

79