Учебное пособие 1920

Лемма. Если функция (x) нечетная, то решение

в силу нечетности подынтегральной функции. Если функция (x) четная, то

теплопроводности полубесконечного стержня, построим продолжение функции (x) на всю числовую ось Ох нечетным или четным образом, то есть построим функции:

1( х) 1(х), 2( х) 2(х).

Решение задачи теплопроводности для бесконечного

60

удовлетворяет при х 0 основному дифференциальному уравнению, начальному условию u(t,x) t 0 (x) и гранично-

му условию u(t,x) х 0 0, то есть функция u1(t,x), рассматри-

только при х 0, является решением основного дифференциального уравнения и удовлетворяет начальному

61

1.13.Решение задачи теплопроводности

вконечном стержне

Пусть в стержне длины l задано начальное распределение температур. Требуется найти температуру точек стержня при t>0. Рассмотрим случай, когда на концах поддерживается нулевая температура, т. е. рассмотрим следующую задачу. Найти функцию u(t,x), удовлетворяющую при 0<x<l, t>0 дифференциальному уравнению

u(t,0)=u(t,l)=0.

Найдем сначала ненулевые решения u(t,x) нашего уравнения, удовлетворяющие только граничному условию. Эти решения будем искать в виде u(t,x)=T(t)X(x), где X(0)=X(l)=0. Дифференцируя функцию по переменным t и x дважды, и подставляя результаты дифференцирования в основное уравнение, и поделив его на T(t)X(x), получим

T'(t) X''(x) . a2T(t) X(x)

Отсюда следует, что

T'(t) a2T(t) 0; X (x) X (x) 0; X(0) X(l) 0.

Тогда из уравнения для T(t) получим

62

Решение поставленной задачи будем искать в виде ряда

коэффициенты Ak которого подбираются таким образом, что-

бы выполнялось начальное условие. При t=0, получим

Рассмотрим теперь случай, когда на концах отрезка [0,1] поддерживается постоянная температура и . В этом случае требуется найти решение основного уравнения, удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям u(t,0) =u0, u(t,l)=u1.

Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены неизвестной функции

решением. Функция v(x) удовлетворяет условию

Тогда

63

где Ak вычисляется по вышеприведенным формулам. Аналогично решаются задачи теплопроводности конечного стержня при граничных условиях других типов.

1.14.Решение задачи теплопроводности

воднородном шаре

Пусть в шаре x2 +y2≤ задано начальное распределение температур, и пусть в точках сферы x2 +y2 =R2 поддерживается нулевая температура. Мы рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальная температура зависит лишь от расстояния точки от центра шара и не зависит от угловых координат этой точки. Поэтому и при t>0 температура в точках шара зависит лишь от расстояния этой точки от центра шара. По этой причине задачу целесообразно решать в сферической системе координат ρ, θ, φ. Как известно, оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид

Рассматриваемая задача заключается в следующем. Найти функцию u(t,ρ), удовлетворяющую при t>0

0 ≤ < уравнению

начальному условию u(t, )t 0 g( ) и граничным условиям

u(t,0)≠ ∞ , ( , ) = 0. Первое условие говорит о том, что температура в центре шара не может быть бесконечной. Для решения этой задачи введем вспомогательную функцию

64

Подставляя результаты дифференцирования в основное уравнение, приходим после сокращения на 1/ρ к следующей задаче.

Найти функцию v(t,ρ), удовлетворяющую при t>0, 0<ρ<R дифференциальному уравнению

где Ak вычисляется по формуле, приведенной выше.

65

1.15. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа

Рассмотрим задачу об определении установившейся температуры в однородном твердом теле. Ранее было установлено, что распространение тепла в изотропном однородном теле (при отсутствии источников тепла) имеет вид

Пусть температура в каждой точке (х,у,z) тела установилась (она не меняется с течением времени). Тогда производная по времени равна нулю, и уравнение будет иметь следующий вид:

Для определения u(х,y,z) не надо задавать начальное распределение температуры (начальное условие), а достаточно задать одно граничное условие, не зависящее от времени.

Задача определения решения уравнения Лапласа по его значениям на границе нашей области называется задачей Дирихле, а задача определения решения уравнения Лапласа,

удовлетворяющего граничному условию du S 0, называется dn

задачей Неймана.

Потенциальное движение несжимаемой жидкости

Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкости и движение жидкости невихревое (потенциальное), т. е. вектор v=grad . Плотность ρ постоянна, и из уравнения неразрывности имеем div =0.

2 2 2

Так как div(grad ) 0 или x2 y2 z2 0,

т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

66

1.16. Общий вид уравнения эллиптического типа

Уравнение

где aij ,bi ,c , f - функции, заданные в области V, являются в этой области эллиптическим типом, если квадратичная форма

n

a q q, 1ˆ

сохраняет в области V знак и не равна нулю.

Число n будет называться числом измерений области V. Будем рассматривать трехмерные области (n=3), но ре-

зультаты применимы для плоских (n=2) и для многомерных (n>3) областей.

Предполагается, что функции aij ,bi ,c , f непрерывны и функции aij , а также функции

n ai

ei bi 1 x

будут иметь непрерывные первые производные. Тогда наше уравнение можно преобразовать к виду

Выражение, стоящее в левой части вышеприведенного уравнения, обозначим через u.

Основное уравнение будет записано в виде u f .

Основные граничные задачи

1. Первая граничная задача (задача Дирихле): u f , ко-

67

коэффициент не равен нулю на поверхности FV;

a d - это дифференцирование по направлению нор- dv

мали к FV.

3. Смешанная (третья) граничная задача: u f , когда

где коэффициент , не обращается на всей поверхности FV в нуль тождественно, но равен нулю на части FV.

Эти граничные задачи будем называть внутренними или внешними, если они ставятся внутри или вне конечной замкнутой поверхности FV.

Сопряженные граничные задачи

Рассмотрим граничное условие задачи Неймана:

Его можно привести к виду

где g и - известные функции.

Запишем его в виде

Pu , когда x FV.

Граничное условие

где дифференциальное выражение Q определено вторым из равенств, a - некоторая функция, которая определена на FV, назовем сопряженным граничному условию.

Назовем далее сопряженными граничные задачи:

68

Если функции f и тождественно равны нулю, то задачу будем называть однородной. Сопряженная задача называет-

этому уравнению по координатам х или и зависит от коор-

динат другой точки, как от параметров. В выражениях L

или xL индексы ξ, x – это переменные, по которым произво-

дится дифференцирование. Выражения u и xu понимают

как xu(x) и u( ).

Рассмотрим задачу Дирихле: Найти решение уравнения

xu f , когда x V FV ; u(x) , когда x FV , где f и - непрерывные функции.

Пусть решение u(х) этой задачи и функция Леви L( ,x)

дифференциального выражения xu непрерывны в замкнутой

области V вместе со своими первыми производными. Применим к функции u(х) формулу Грина — Стокса и получим

69