Учебное пособие 1920

и удовлетворяет граничному условию

u( , ) R u*( ).

Частные решения нашего уравнения будут вида u(ρ,θ)=X(ρ)Y(θ),

ограниченные при ρ=0, θ=0, θ=π, находятся из уравнений:

2 X ( ) 2 X ( ) X( ) 0

Y ( ) ctg Y ( ) Y( ) 0.

Первое уравнение с помощью замены переменной cosθ=t приводится к уравнению Лежандра

частные решения уравнения, ограниченные при ρ=0, θ=0, θ=π,

имеют вид un( , ) nPn(cos ), n=1,2,3,…. Решение задачи Дирихле в этом случае находится в виде ряда

u( , ) An nPn(cos ).

n 0

Коэффициенты этого ряда находятся так, чтобы выполнялось граничное условие. Полагая в равенстве ρ=R, получим

80

1.21. Задача Дирихле одномерного и двумерного случаев

А. Найти стационарное распределение температуры U(x) в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня имеем

u x 0 0, u x l 1.

,

0 С10 С2, 1 C1l C2 С2 0,C1 ( 1 0)/l.

Решение u(x) ( 1 0)x/l 0 - стационарное распре-

деление температуры в данном стержне носит линейный характер.

Б. Будем решать задачу Дирихле для уравнения Лапласа, преобразованного заменой x=rcos , y=rsin в уравнение Лапласа в полярных координатах (r, ) точки (x,y):

r2 2u r u 2u 0.r2 r 2

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе 0 полярной системы координат, на окружности которого задана непрерыв-

рять в круге уравнению Лапласа.

Согласно методу Фурье частное решение нашего уравне-

ния ищется в виде произведения u( , ) R Ф( )R(r)..

Подставим это выражение в наше уравнение, получим r2R (r)Ф( ) rR (r)Ф( ) R(r)Ф ( ) 0,

(r2R (r) rR (r))Ф( ) R(r)Ф ( ).

81

Так как левая часть этого равенства не зависит от r, а правая от , то обе они не зависят ни от r, ни от , то есть равны постоянному числу. Тождество возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения будет постоянной. Обозначим эту величину через . Приравнивая каждую часть полученного равенства к постоянной , получаем обыкновенные дифференциальные линейные однородные уравнения:

Ф ( ) Ф( ) 0, r2R (r) rR (r) R(r) 0.

Параметр λ=const. Отсюда, если λ=0, то уравнения принимают вид r2R (r) rR (r) 0, Ф ( ) 0.

Их решения: Ф( )=A0+B0 ; R(r)=C0+D0lnr, A0, B0, C0, D0 –

постоянные.

Если же λ>0, то будет решение вида

Ф( )=A cos k +B sin k .

Решение уравнения Эйлера будем искать в виде R(r)=rm.

Подставляя его в соответствующее уравнение, получим r2m(m-1)rm-1+rmrm-1-k2rm=0. Или (m2-k)rm =0, т. е. m1,2=± .

Итак, имеется два линейно независимых частных решения R1=rk и R2=r-k; их линейная комбинация с константами

даст общее решение уравнения:

R(r)=C rk + D r –k, C,D=const.

Подставим общие решения Ф( ) и R(r) в соответствующие формулы.

Получим функции u0(r, )=(A0+B0 )(C0+D0lnr) при k=0, uk(r, )=(A0+B0 )(C0+D0lnr), которые будут частными решениями уравнения. Получено множество частных решений уравнения Лапласа:

u0(r, )=a0/2, uk(r, )=(ak cos k +bk sin k )rk, k=1,2,3, …, непрерывных в круге.

Решение задачи Дирихле можно искать в виде функции

82

u(r, ) a0 /2 rn(an cos(n ) bn sin(n )).

n 1

Подберем произвольные постоянные a0, an, bn так, чтобы выполнились граничные условия.

При r=R имеем u( , ) R f ( ), то есть

f ( ) a0 /2 Rn(an cos(n ) bn sin(n )).

n 1

Для выполнения равенства нужно, чтобы функция f( ) разлагалась в ряд Фурье на интервале (-π,π) и чтобы anRn и bnRn были ее коэффициентами Фурье, то есть вычислялись по формулам

Таким образом, получим формулурешения задачи Дирихле

Используя формулу Эйлера cos(at)=(exp(iat)+exp(-iat))/2 и формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:

83

Отсюда имеем решение задачи Дирихле для круга радиу-

са R:

где интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.

Вывод: Решение задачи Дирихле для круга находят в виде ряда, где коэффициенты вычисляются по формулам, либо через интеграл Пуассона находится решение данной задачи.

2. КЛАССИФИКАЦИЯУРАВНЕНИЙВТОРОГОПОРЯДКА

2.1. Типы уравнений второго порядка

Рассмотрим уравнение второго порядка

Коэффициенты aij - заданные функции в области D пространства (x1, ...xn),, причем аij=аji. Функции и независимые переменные будут вещественными.

Возьмем определенную точку (x01 ..., x0n) в области D и рассмотрим квадратичную форму

n

aij x01,..., x0n titj .

i, j 1

Уравнение будет эллиптическим в точке (x01,…,x0n), если в этой точке квадратичная форма положительно или отрицательно определенная.

Уравнение будет гиперболическим в точке (x01,…,x0n), если в этой точке квадратичная форма при преобразовании ее к сумме квадратов содержит все коэффициенты (кроме одного) одного знака, а оставшийся коэффициент имеет противоположный знак.

84

Уравнение называется ультрагиперболическим в точке (x01,…,x0 n), если в этой точке квадратичная форма при ее преобразовании к сумме квадратов будет содержать больше одного положительного коэффициента или больше одного отрицательного и все коэффициенты не равны нулю.

Уравнение относится к параболическому типу в точке (x01,…,x0 n), если в этой точке квадратичная форма при ее преобразовании к сумме квадратов будет иметь один коэффициент равный нулю, остальные коэффициенты имеют одинаковый знак.

Уравнение относится к эллиптическому типу, гиперболическому типу и т. д. в области D, если во всех точках области оно будет эллиптическим, гиперболическим и т. д.

Если aij постоянны, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Уравнение Лапласа будет эллиптическим, волновое уравнение – уравнением гиперболическим, уравнение теплопроводности – уравнением параболического типа.

2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть имеется уравнение с постоянными коэффициентами

Введем вместо (x1,…,xn) новые независимые переменные

n

(ξ1,…,ξn) по формуле k ckixi k 1,2,...,n .

i 1

Предполагается, что преобразование неособое, т. е. определитель |cki| отличен от нуля. Тогда можно вычислить производные от старых переменных через новые переменные:

85

В новых координатах уравнение примет вид

n

где akl aijckiclj. l, j 1

Формулы преобразования коэффициентов для вторых производных от функции u при замене независимых переменных совпадают с формулами преобразования коэффициентов

n

квадратичной формы aijtitj , если в нее ввести линейное

k, j 1

n

преобразование ti cki k , i 1,2,...,n , приводящее к виду

k 1

n

akl k l. В линейной алгебре получено, что можно подоб-

k,l 1

рать коэффициенты cik так, что квадратичная форма будет

n

иметь вид k 2k , или akl=0 при k≠l и akk= λk. При этом коэф-

k 1

фициенты λk равны ±1 или нулю. Знак λk определяет тип уравнения. Уравнение в новых координатах имеет вид

Полученное уравнение называется каноническим. Пусть все λk отличны от нуля (уравнение не параболиче-

ское). В этом случае можно путем преобразований освободиться от производных первого порядка, для этого вместо u введем функцию v:

86

Подставим это в основное уравнение, получим уравнение

вида

Уравнения эллиптического типа имеют все λk=l или λk=-1 (можем считать, что все λk=1). Всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами всегда можно привеcти к виду

n 2u

k 1 xk2 c1u f x1,...,xn .

Для гиперболических уравнений имеем (n + 1) независимых переменных, и пусть ξn+1=t. Тогда линейное гиперболическое уравнение с постоянными коэффициентами будет:

Для уравнения с переменными коэффициентами для каждой точки (x01,…,x0n) области D можно ввести преобразование независимых переменных, приводящее наше уравнение к каноническому виду в этой точке.

Для каждой точки (x01,…,x0n) имеется преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; а для других точек преобразование может не иметь канонический вид.

2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

Пусть имеем квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными

87

где коэффициенты A, В, С – функции от х и у, имеют непрерывные производные до второго порядка включительно.

Предполагается, что A, В, С не будут одновременно нулями. Тогда уравнению соответствует квадратичная форма

At12 2Bt1t2 Ct22.

Дифференциальное уравнение будет:

1)гиперболическим, если В2-AС> 0 (квадратичная форма знакопеременная);

2)параболическим, если В2-AС = 0 (квадратичная форма знакопостоянная);

3)эллиптическим, если В2-AС <0 (квадратичная форма знакоопределенная).

Вместо (х,у) рассмотрим новые независимые переменные

вобласти D.

Вновых переменных ξ и η наше уравнение имеет вид

88

Преобразование независимых переменных не меняет типа уравнения. Покажем, что две функции ξ(х, у) и η(х, у) можно выбрать так, чтобы выполнялось одно из условий:

1) A=0, С=0; 2) A=0, В=0; 3) A=С, В=0.

Тогда преобразованное основное уравнение примет наиболее простой вид.

1. В области D уравнение будет гиперболическим, если

В2-AС > 0.

В точке (x0,y0) и ее окрестности можно будет привести уравнение к каноническому виду (для А≠0, или С≠0).

Рассмотрим уравнение

Для интегрирования уравнений составим для них системы обыкновенных дифференциальных уравнений

или

Ady B B2 AC dx 0,Ady B B2 AC dx 0.

Это уравнение можно записать в виде

Ady2 2Bdxdy Cdx2 0.

Коэффициенты этих уравнений имеют непрерывные частные производные до второго порядка. Так как А(x0,y0)≠0, то существуют интегралы φ1 x,y const, φ1 x,y const урав-

нений и левые части имеют непрерывные частные производ-

89