Учебное пособие 1920

нат будет в одном из его концов; длина провода будет l.

При этом сила тока i и напряжение v в любой точке провода есть функции координаты х и времени t. Ток i и напряжение v описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В этих уравнениях полагается, что емкость, сопротивление, самоиндукция и утечка вдоль провода определены непрерывно и равномерно и постоянные С, R, L и G рассчитаны на единицу длины провода. Пусть часть провода между двумя сечениями х=х1 и х=х2. По законуОма для этой части провода:

В силу произвольности координат х1 и х2 имеем

дv L дi Ri 0.

дx дt

Количество электричества, протекающего по участку

x2 дi

(х1,х2) провода за единицу времени i(x1t) i(x2,t) дx dx,

x1

равно сумме количества электричества, которое нужно для зарядки этого участка провода, и количества электричества, которое теряется в связи с несовершенством изоляции:

110

4.2. Телеграфное уравнение

Рассмотрим уравнение

а также уравнение для силы тока i:

В результате получим, что напряжение v и сила тока i – это решение одного и того же типа. Уравнение называют телеграфным уравнением

4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана

Метод Римана используется для решения телеграфного уравнения с начальными условиями

Приведем телеграфное уравнение к каноническому виду, и используя новые независимые переменные ξ и η:

111

ξb (x αt),η b (x αt). a a

Телеграфное уравнение примет вид

MP и MQ. Решение нашего уравнения имеет вид: v G(( 0)( 0)).

Введем λ= ( 0)( 0) . Функция v=G есть реше-

ние уравнения

G ( ) 1 G ( ) G( ) 0.

Частным решением будет функция Бесселя нулевого порядка:

112

Если v=J0(λ), то получим решение уравнения, которое справедливо на характеристиках ξ=ξ0 , η=η0 значения 1 (здесь

λ=0) и v J0(( 0)( 0)).

Вычислим

113

ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1. Вариация и ее свойства

Решение вариационных задач это исследование функционалов на максимум и минимум. Теория определения максимума и минимума функций нескольких переменных для функционалов аналогична.

Величина z называется функцией х (z=f(x)), если любому х из области определения поставлено в соответствие значение z. Такое же определение имеется для функции нескольких переменных.

Величина v называется функционалом зависящим от у(х), что обозначается так v=v[у(х)], если функции у(х) соответствует значение v.

Приращением x функции f(x) называется разностьx =х – х1. Так как х – независимое переменное, то дифференциал х равен приращению (dx= x).

Вариацией y аргумента у(х) функционала v[y(x)] назы-

вается y=у(х)–у1(х).

Функция f(x) называется непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение f (х).

Функционал v[у(х)] будет непрерывным, если малому изменению y(x) соответствует малое изменение v[у(х)].

Функции у(х) и у1(х) будут близкими, если модуль разности у(х) –у1(х) мал для всех х. Можно считать близкими только те функции, для которых малы модули разностей

y(k) (x) y1(k) (x)..

Поэтому вводятся определения близости кривых у=у(х) и у1=у1(х), так кривые у и у1 имеют близость нулевого порядка, если мал модуль разности у–y1. Кривые у=у(х) и у1=у1(х) имеют

114

Ниже изображены кривые (рис. 1.1), близкие в смысле близости нулевого порядка.

y

B

A

x

Рис. 1.1. Пример кривых с близостью нулевого порядка

y

B

A

x

Рис. 1.2. Пример кривых с близостью первого порядка

На рис. 1.2 кривые имеют близость первого порядка. Функция f(х) непрерывна при х=х0, если для любого >0

можно подобрать δ>0 такое, что

Функционал v[y(x)] непрерывен при у=у0(х) (близость k- го порядка), если для любого >0 можно подобрать δ>0 такое, что

v[y(x)] v[y0(x)] .

115

Функционал v[у(х)] непрерывен при у= у0(х) (близость k- го порядка), если для любого >0 можно подобрать δ>0 такое, что

При этом функция у(х) берется из класса функций, на котором функционал v[у(х)] определен.

Если определено понятие расстояния (у1,у2) между кривыми y1=y1(x) и y2=y2(x) (x0 x x1),то близкие кривые это кривые, расстояние между которыми мало.

(у1 и у2 имеют непрерывные производные до порядка k включительно), то близость кривых будет k-го порядка.

Линейной функцией называется функция l(х): l(kx)=kl(х),

где k - произвольная постоянная и

l(х1 + х2)=l(х1)+l(х2).

Линейным функционалом называется функционал L[y(x)], если L[ky(x)]=kL[y(x)], где k – произвольная постоянная и L[y1(x) + y2(x)= L[y1(x)]+L[y2(x)].

Примером линейного функционала является

x1 x2

L[y(x)] p(x)y q(x)y ]dx.

x0 x1

Приращение функции

f f (x x) f (x)

можно представить в виде

f A(x) x (x, x) x,

где А(х) не зависит от x , (x, x) 0, при x 0.

116

Функция называется дифференцируемой, если существует ее производная. Линейная по отношению к x часть при-

ношению к значению | y |, т. е. L[y(x), y ] называется вариаци-

Для функционалов вида v[y(x)], зависящих от нескольких неизвестных функций или от функций нескольких перемен-

v [y(x) y] v[y(x)] L(y, y) max y.

Производная [y(x) y] по α при α=0 будет

117

а вариация функционала v[y(x)]:

v[y(x) y] .

0

Определение. Функционал v[y(x)] достигает на кривой у=у0(х) максимума, если функционал v[y(x)] на близкой к у=у0(х) кривой не больше v[y0(x)], то

lim [y0 (x)]v[y(x)] 0.

n

Теорема 1. Если функция f(х) (дифференцируемая) имеет максимум или минимум во внутренней точке x=x0, то в этой точке df=0.

Теорема 2. Если функционал v[у(х)] (имеющий вариацию) достигает максимума или минимума при y=y0(x), где у(x) - внутренняя точка функционала, то при y=y0(x), v 0.

Если функционал v[y(x)] достигает на кривой у=у0(х) максимума или минимума, для которых модуль разности у(х)–y0(х) мал, то максимум или минимум называется сильным.

Если же функционал v[y(x)] достигает на кривой у=у0(х) максимума или минимума по отношению к кривым у=у(х), близким к у=у0(х) (близость первого порядка), то максимум или минимум называется слабым.

118

1.2. Уравнение Эйлера

Рассмотрим функционал

x1

[y(x)] F(x, y(x), y/ (x))dx,

x0

вкотором граничные точки допустимых кривых закреплены:

у(х0)=у0 и у(х1)=у1 (рис. 1.3).

y В

А

y1

y0

x

Рис. 1.3. Функционал [y(x)] с закреплёнными концами

Функция F(x,у,у') будет трижды дифференцируема. Необходимым условием экстремума будет равенство ну-

лю вариации функционала.

Пусть экстремум достигается на кривой у=у(х). Возьмем близкую к у=у(х) кривую у= y (х) и рассмотрим

y(x, ) y(x) (y(x) y(x)).

При =0 получим кривую у=у(х), а при =1 имеем у= y (х) (рис. 1.4). Разность y(x) y(x) называется вариацией функции у(х) и обозначается y.

119