Учебное пособие 1920

Необходимый порядок n старшей производной в критерии Q определяется числом 2n свободных коэффициентов с1,..., с2n в общем виде искомой экстремали (t), которые требуется найти для обеспечения граничных условий задачи, вытекающих из её физического содержания:

T

x(t)dt S , можно не учитывать также и условие х(0)=0, по-

0

скольку x(t) в явном виде в (2.18) не входит и в момент времени t=0 полностью определяется условием x(0) 0. В результате получаем систему из 8 граничных условий:

140

Рис. 2.8. Полная имитационная модель объекта

Для выполнения (2.22) потребуется значение n=4.

141

400 F, Н200

0

20

х, м

10

0 0.2

, рад

0

Рис. 2.9. Движение объекта при тривиальном управлении F

Формируем критерий:

Система уравнений (2.22), (2.23) представляет собою формальную постановку решаемой вариационной задачи.

Обозначим подынтегральную функцию из (2.23) через Ф(t, ) и составим уравнение Эйлера:

После подстановки (2.23) в (2.24) придём к дифференциальному уравнению

Характеристическое уравнение для (2.25) p8-p6+p4-p2+1=0

имеет корни p1,2= 1 1i; p3,4=- 1 1i; p5,6= 2 2i; p7,8=- 2 2i:

142

1/s 1/s Alfa 5 9.81

Рис. 2.10. Имитационная модель линеаризованной системы

Соответствующее полученным корням решение дифференциального уравнения (2.25) является искомой экстремалью:

(t) e 1t (c1 cos( 1t) c2 sin( 1t))

e 2t (c5 cos( 2t) c6 sin( 2t))

e 2t (c7 cos( 2t) c8 sin( 2t)).

Подставляя (2.26) в выражения (2.22) для граничных условий, а также учитывая соотношение

x(t) ( L g)dt,

получим систему из 8 уравнений с 8 неизвестными и далее ис-

комые коэффициенты: с1=0,202; с2=-0,000723; с3=-1,24; с4=- 7,42; с5=0,0724; с6=0,014; с7=0,961; с8=19,4.

143

(t) e 1 t c1 cos 1 t c2 sin 1 t e 1 t c3 cos 1 t c4 sin 1 t

e 2 t c5 cos 2 t c6 sin 2 t e 2 t c7 cos 2 t c8 sin 2 t

Рис. 2.11. Программа вычисления параметров экстремали (t) в пакете MathCAD

Последовательность вычислений коэффициентов с1,..., с8 в пакете MathCAD представлена на рис. 2.11, обозначения на котором очевидны из текста программы.

144

145

x(t)

6

Рис. 2.14. Абсолютные премещения тележки х(t) и груза х2(t) по горизонтали

Рис. 2.12-2.14 показывают, что движение тележки и груза приобрёло монотонный характер: в начале перемещения (t<2,1 с) груз отстаёт от тележки, а затем при подходе к координате х=10 м опережает её и в точке х=10, х2=10 система завершает движение (рис. 2.15).

Используемый для решения задачи критерий (2.21) имеет много модификаций, отличающихся весовыми коэффициентами его слагаемых, с помощью которых можно влиять на те или иные характеристики движения. В частности, показанные на рис. 2.12 и 2.13 графики вторых производных указывают на большие значения этих величин в момент трогания:

(0) 3,9 рад/с2 , x(0) 15,9 м/с2 . С целью уменьшения этих значений можно повысить весомость старших производных в критерии (2.23), исключив, например, слагаемое 2:

146

t=0

t=1 с

t=2,1 с

t=3,5 с

t=5 с

Рис. 2.15. Пошаговая иллюстрация движения “тележка-груз” при оптимальном управлении

Характеристический полином p8-p6+p4-p2=0

имеет корни:

p1,2=0; p3,4= ; p5,6= 1 1i; p7,8=- 1 1i: =1;

Общий вид искомой экстремали:

147

Найденные значения коэффициентов: с1=-3,11; с2=2,83;

с3=-0,0714; с4=-4,95; с5=0,126; с6=-0,289; с7=8,00; с8=-2,73.

Характер движения системы по экстремали (2.29) практически совпадает с функцией (2.26), однако максимальные

(рис. 2.12, 2.13).

Следует заметить, что при решении данной задачи также можно воспользоваться критерием минимума энергии, требуемой на перемещение груза (аналогичный критерий использован в задаче 1). Эта возможность вытекает из того обстоятельства, что любые раскачивания груза являются проявлением запасённой в системе избыточной энергии, которая не расходуется на перемещение груза. Таким образом, на практике выбор критерия оптимальности вариационной задачи является, как правило, многоальтернативным. Для проверки найденного оптимального закона управления (2.29) использовалась полная имитационная модель объекта (рис. 2.8), к которой добавлены наблюдатель координат [ (t) (t)]Т и модальный регулятор

R=[r1 r2]=[50 2,8].

Общая структура системы оптимального управления представлена на рис. 2.16, а результаты моделирования на рис. 2.17. Полученные графики зависимостей x(t) и (t) показывают, что цель управления достигнута.

При этом следует подчеркнуть, что при решении вариационной задачи применялась линеаризованная модель объекта (2.18), но при проверке результата решения (2.29) использовалась полная система нелинейных дифференциальных уравне-

ний (2.16), (2.17).

148

Объект "тележка-груз”

Рис. 2.16. Структурная схема системы оптимального управления с наблюдателем координат (t), (t)

имодальным регулятором в пакете MatLab

Взавершение раздела 2.1 отметим, что решения (2.26), (2.29) искались в классе непрерывных функций, результаты могут быть получены и при разрывном управлении, пример которого представлен на рис. 2.18.

На этом рисунке управляющее воздействие F представляет собою разрывную кусочно-постоянную функцию, ограниченную по модулю.

149