Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Математика. учебно-методическое пособие. в 2 ч. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Поскольку x = dх и y = dу, то полный дифференциал можно записать в виде

dy ,

где слагаемые

d x z

dx и

d y z

dy называются частными

дифференциалами по x и y .

4.4. Производная по направлению. Градиент

Для

вычисления

производной

функции

z f (x, y)

точке

M x, y

по

направлению,

задаваемому

вектором

l, m ,

проведем

через

точку

M x, y

прямую

L ,

параллельную

вектору

l . Совершим переход по

прямой

во вторую точку

x x, y y ,

отстоящую

от точки

M x, y

на

расстоянии

x 2

y 2 ,

запишем

соответствующее приращение функции z f (x, y) :

z f x x, y y f x, y .

	Производная функции	z f (x, y)			в точке M		по

направлению вектора l определяется как					прeдел отношения
z	при стрeмлении точки M1	к точке M :
l
	lim		z	z .
	l 0		l	l
	При условии дифференцируемости функции					z f (x, y)
ее полное приращение при перемещении					вдоль	прямой	L
записывается в виде
		40

(x, y) x

(x, y) y 1 x 1 y ,

где 1 x 1 y

— бесконечно малая величина более высокого

порядка малости

по сравнению

с x и

y . Учитывая,

что

x l

cos l,

y l

cos l ,

где

l 2 m2

cos , cos — косинусы направляющих углов, имеем

x, y l cos

x, y l cos x y

x, y

cos

x, y cos

1 x 1 y .

Производная

функции

z f (x, y)

по

направлению

lim

вектора l в

соответствии

определением

l 0

вычисляется по формуле

Пример z 6xy 8y 2

z	z cos	z cos .
l	x	y
4.4. Вычислить		производную	функции

по направлению вектора l 9, 12			в точке

M 1, 2 .

Решение. Найдем косинусы направляющих углов, перейдя

от вектора l 9, 12 к соответствующему орту:

		9		12	3		4
l		9		12	3		4
	cos , cos		,			,		.
	cos , cos		,			,		.
l		92 ( 12)2		92 122	5		5

		41

M x, y

Вычислим частные производные функции в точке M 1, 2 :

(x, y) 6y ,	z	(1, 2) 12,	z	(x, y) 6x 16y,	z	(1, 2) 6 32 26 .
	x		y		y

Производная по направлению вектора l в точке M равна

z	z		z		3		4	68
		cos		cos = 12		26			.
l	x		y
					5		5	5

При изучении поведения функции двух переменных самостоятельный интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направлeние задается вeктором, называемым градиентом.

Градиент функции z f (x, y) в точке определяется как вектор

	z		z		z		z
grad z i		(x, y) j		(x, y)		(x, y),		(x, y) .
grad z i	x	(x, y) j	y	(x, y)	x	(x, y),	y	(x, y) .
	x		y		x		y

Модуль градиента характеризует скорость наискорейшего возрастания скалярной функции z f (x, y) в точке.

Пример 4.5. Найти градиент функции z x 2 y 2 4xy в точке М1 (3,1).

Решение:

grad u (2x 4y)i (2y 4x) j , grad u M1 2i 10 j .

4.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Для дифференцируемой					функции				z f (x, y) частные
производные	z f		(x, y)	и		z	f		(x, y) могут быть

	x	x				y		y

рассмотрены как новые функции двух переменных х и у. Если они тоже дифференцируемы, то их можно снова дифференцировать по этим переменным.

Частные производные второго порядка образуются, как частные производные от частных производных первого порядка, и обозначаются:

2 z

x 2

f xx (x, y) ;

x y

f xy (x, y) ;

2 z

y x

f yx (x, y) ;

y 2

f yy (x, y) .

Частные

производные

(x, y)

называются

f yx

, f xy

смешанными.

Пример 4.6. Найти чаcтные производные второго порядка

функции z 7x3 sin y e xy 25x2 y .

Решение:

21x2

ye xy 50xy ,

2 z

42x y 2e xy 50y ,

x 2

cos y xe xy 25x2 ,

2 z

sin y x 2e xy ,

y 2

2 z

xyexy 50x ,

2 z

xyexy 50x .

y x

x y

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны при условии, что они нeпрерывны:

2 z 2 z .x y y x

По аналогии с частными производными второго порядка частные производные третьего порядка образуются, как частные производные от частных производных второго порядка:

3 z

2 z

3 z

2 z

;

y x

и т. д.

Полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка функции z f (x, y) называется полным

дифференциалом второго порядка и обозначается d 2 z d dz :

2

d z d z x dx z y dy z x dx z y dy x							dx z x dx z y dy y dy =
= [ f		(x, y)dx + f		(x, y)dy]dx +[ f		(x, y)dx +		f	(x, y)dy]dy =
	xx		yx		xy			yy
		= f	(x, y)dx2 +2 f		(x, y)dxdy		+ f (x, y)dy 2 .
		xx		xy			yy

4.6. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие

Для функции двух переменных z f (x, y) точка M 0 (x0 , y0 ) определяется как точка максимума, если найдется такая окрестность около этой точки, что для всех внутренних

точек M (x, y) этой	окрестности	выполняется		неравенство
f (x, y) < f (x0 , y0 ) . Точка M 0 (x0 , y0 )			называется точкой
минимума функции	z f (x, y) ,	если	внутри	некоторой
	44

окрестности около точки M 0 будет выполняться неравенство

f (x, y) f (x0 , y0 ) .

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Отметим, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.

Теорема (Необходимое условие экстремума). Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) и имеет в этой точке экстремум, то

zxz

(x0 , y0 ) 0,

(x0 , y0 ) 0.

Экстремум следует искать либо в стационарных точках, которые образуются, если все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных первого порядка не существует. Такие точки называются критическими. В общем случае наличие или отсутствие экстремума в критической точке определяется с помощью достаточного признака экстремума.

4.7. Достаточный признак экстремума

Введем обозначения для формулирования признака существования экстремума:

	, y0 ) A ,		, y0 ) B ,		, y0 ) C ,
f xx (x0		f xy (x0		f yy (x0

Теорема. Если для дважды дифференцируемой функции z f (x, y) точка является стационарной точкой:

достаточного

AC B2 .

непрерывно

M 0 (x0 , y0 )

zxzy

то:

(x0 , y0 ) 0,

1. Если число > 0, то в точке M 0 (x0 , y0 ) функция f(х,у) испытывает экстремум: максимум, если А < 0 и минимум, если

А> 0.

2.Если число < 0, то в точке M 0 (x0 , y0 ) экстремума

нет.

3. Если число = 0, то признак не работает.

Пример

4.7.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z 8x3 y 3 4xy .

Решение.

Имеем

24x 2

4 y ,

3y 2

Найдем

точки возможного экстремума из решения системы

24x 2 4 y 0,

3y 2 4x 0.

Это точки M1(0,0)

M 2 (

) .

Находим

частные производные второго порядка иссле-

дуемой функции:

48x, C

6 y,

4 .

A f xx

f yy

B f xy

В точке M1 (0,0) имеем

AC B 2

16 <

т. е. нет

экстремума

данной

точке.

точке

M 2 (

)

имеем

AC B 2

64 16 > 0.

Поскольку

A 16 > 0,

то

точке

имеется минимум.

4.8. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Для функции z f (x, y) , непрерывной в замкнутой

области D , найдется точка этой области, в которой функция достигает своего наибольшего значения M, а также точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения m:

m f (x, y) M.

Точки, в которых функция принимает свои наибольшее

и наименьшее	значения в	области D ,	могут	быть либо
внутренними, либо граничными.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции z f (x, y) в области D требуется:
1) найти	внутренние	критические	точки	функции

zf (x, y) ;

2)найти граничные точки отрезков или дуг граничного контура области D , а также критические точки, находящиеся внутри отрезков или дуг, составляющих границу области D ;

3)после нахождения значений функции во всех выше найденных точках выбрать наибольшее и наименьшее значения функции.

Пример 4.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2 3y 2 6x 3y 1 в замкнутой области D . Область D ограничена линиями x y 2, x 0 , y 0 .

Решение. Найдем внутренние стационарные точки области, для чего приравняем нулю частные производные

z 6x 6 0,x

z 6 y 3 0.y

Имеем критическую точку M1(1, 12 ).

При исследовании границы области D , представляющей собой треугольник АОВ (рис. 5), сперва исследуется отрезок

ОА, на котором имеем x 0	и	z 3y2			3y 1. Приравняв
производную функции z 3y 2	3y 1		нулю, имеем 6y 3 0 ,
			1
что дает нам еще одну точку	M 2	0,		. Учитываем границы
что дает нам еще одну точку	M 2	0,		. Учитываем границы
			2
отрезка ОА точки O 0,0 и	A 0,2			как	«подозрительные»,

где функция тоже может принять наибольшее и наименьшее значения.

На

отрезке

имеем

y 0 ,

z 3x 2 6x 1,

6x 6 0 ,

что

дает

стационарную

точку

1,0 .

Добавляем точку B 2,0 как границу отрезка OB .

Исследуем

сторону

AB ,

на которой

y 2 x ,

z 3x2 3 2 x 2 6x 3 2 x 1= 6x 2 15x 7 . Найдем

про-

изводную

12x 15 = 0, после чего добавим последнюю

«подозрительную» точку M 4

(

) .

x+y=2

		B
O	2	x

Рис. 5

Вычислим значения функции в найденных точках:

z A z 0,2 3 4 3 2 1 7 , z B z 2,0 3 4 6 2 1 1 ,

z O z 0,0 3x2				3y 2 6x 3y 1 1,
		1			3		3		11
z M1	z 1,		3			6		1		,
		2			4		2		4


				1					3		3			1
z M 2 z		0,										1			,
z M 2 z		0,							4		2	1		4	,
				2					4		2			4
z M 3 z 1,0 3 6 1 2 ,
		5			3					25			9				5		3			38
z M 4 z			,				3				3					6		3		1			.
z M 4 z		4	,				3				3					6	4	3	4	1		16	.
		4			4				16				16				4		4			16
В	точке	A					функция					z f (x, y)						имеет			наибольшее
значение	zнаиб 7 , а в точке											M1		функция имеет наименьшее
значение zнаим						11		.
значение zнаим					4			.
					4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика