МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

Н. Н. Некрасова, В. В. Горяйнов, А. С. Чесноков, С. С. Сумера

МАТЕМАТИКА: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Учебное пособие

Воронеж 2019

УДК 512.13(075.8)

ББК 22.141я7 М34

Рецензенты:

кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета

(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, профессор В. А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры высшей математики Воронежского

государственного педагогического университета И. Ю. Покорная

Некрасова, Н. Н.

Математика: уравнения и неравенства: учебное пособие /

М34 Н. Н. Некрасова, В. В. Горяйнов, А. С. Чесноков, С. С. Сумера; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический

университет». – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. – 101 с.

ISBN 978-5-7731-0774-3

Учебное пособие содержит подробное изложение материала по некоторым разделам элементарной математики. Теоретический материал сопровождается подробными решениями примеров и задач. По каждой теме представлено большое количество задач для самостоятельного решения.

Предназначено для вводного адаптационного этапа преподавания математики на русском языке для иностранных граждан института международного образования и сотрудничества.

Ил. 42. Табл. 1. Библиогр.: 13 назв.

УДК 512.13(075.8)

ББК 22.141я7

Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

2

1.4.Рациональные неравенства…………………………………….. 12

1.5.Неравенства, содержащие знак модуля……………………….. 17

1.6.Иррациональные неравенства…………………………………. 23

1.7. Задания для самостоятельной работы………………………… 26

2.СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ……………………………………….. 28

2.1.Линейные системы двух уравнений с двумя

2.2.1.Метод подстановки…………………………………….. 30

2.2.2.Метод алгебраического сложения

(линейного преобразования) ………………………….. 31

2.3.3.Метод разложения на множители……………………... 38

2.3.4.Метод замены переменных…………………………….. 39

4.ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ... 57

4.1.Свойства и графики показательной и логарифмической

функций………………………………………………………… 57

4.2.Определение логарифма и его свойства………………………. 62

4.3.Тождественные преобразования показательных и

логарифмических выражений…………………………………. 64

4.4. Показательные уравнения и неравенства………………........... 66

4.5.Логарифмические уравнения и неравенства………………….. 72

4.6.Системы показательных и логарифмических уравнений……. 78

3

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие по математике предназначено для иностранных граждан, готовящихся к поступлению в высшие учебные заведения России. Пособие содержит краткое изложение курса математики по следующим темам:

алгебраические неравенства, системы уравнений и неравенств, показательные и логарифмические уравнения (неравенства). Настоящее пособие является продолжением учебного пособия Н.Н. Некрасовой, В.В. Горяйнова и В.А. Поповой «Математика: вводный курс» (издательство ВГТУ, 2017).

При составлении пособия авторы стремились учесть неоднородность математической и языковой подготовки, полученной иностранными гражданами на родине. В основу структуры пособия положен принцип компактности, доступности и наглядности изучаемого материала.

Изложение материала ориентировано на овладение иностранными учащимися необходимой элементарной математической терминологией, а также успешного усвоения последующих разделов курса математики на русском языке.

В данном учебном пособии при раскрытии содержания вводимых понятий и терминов широко используется международный символический язык математики: обозначения, рисунки, таблицы и т.д. Посредством знакомой учащимся математической символики создается смысловая опора, облегчающая понимание и усвоение материала.

Работа с пособием рассчитана на второй семестр. Однако авторы предусмотрели возможность его использования уже в конце начального этапа обучения. Пособие содержит теоретический материал и примеры с ответами, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Предлагаемое учебное пособие поможет иностранным учащимся в подготовке к сдаче экзамена по математике первого сертификационного уровня.

Все приведенные в пособии иллюстрации выполнены авторами.

Авторы выражают благодарность кандидату физ.-мат. наук, доценту А.Б. Кущеву, внимательно прочитавшему рукопись. Его ценные замечания и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.

4

1.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

1.1.Основные понятия и определения

Выражение вида

где R(x) и Q(x) – многочлены относительно неизвестной x , называется

алгебраическим неравенством с одним неизвестным.

Поскольку областью определения многочленов R(x) и Q(x) состоит из множества действительных чисел, то задачу о решении неравенства (1.1)

можно сформулировать так: найти все числовые значения буквы x , каждое из которых обращает (1.1) в верное числовое неравенство. Каждое такое числовое

значения называется решением неравенства (1.1) . Решить неравенство (1.1)

значит найти множество всех его решений. В случае, если множество всех решений неравенства (1.1) есть пустое множество, то говорят, что (1.1) не

имеет решений.

Два алгебраических неравенства R(x) >Q(x) и T (x) < S(x) называются

равносильными, если любое решение первого неравенства является решением второго, и, наоборот, любое решение второго неравенства является решением первого. В силу этого определения любые два неравенства, не имеющие решений, равносильны. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Равносильный переход принято обозначать двойной стрелкой . Запись

R(x) >Q(x) T (x) < S(x)

обозначает, что неравенства R(x) >Q(x) и T (x) < S(x) равносильны.

Приведем некоторые утверждения, при помощи которых совершаются равносильные переходы:

1. Неравенства R(x) > Q(x) и R(x) −Q(x) > 0 равносильны.

2. Неравенства R(x) >Q(x) и R(x) + a >Q(x) + a равносильны для любого

действительного числа а .

3. Для любого числа а > 0 неравенства R(x) >Q(x) и aR(x) > aQ(x) ‒ равносильны, для числа а < 0 неравенства R(x) >Q(x) и aR(x) < aQ(x) будут

равносильными.

4. Пусть известно, что для любого действительного числа x справедливо неравенство R(x) =T (x) , тогда равносильны неравенства R(x) >Q(x) и

T (x) >Q(x) .

5

1.2. Линейные неравенства

Линейным неравенством называется неравенство вида

Ответ: x (−∞; 2,5].

Пример. Решить неравенство 2x +3 >1−4x .

Решение. ОДЗ: x R. Перенесем в левую часть неравенства неизвестные, а в правую часть − числа, изменив их знаки на противоположные:

2x + 4x >1−3 или 6x > −2.

Разделим обе части полученного неравенства на 6, при этом знак неравенства не изменится:

6

x > −62 или x > −13 .

Ответ: x −1;+∞ .3

отмечают их на числовой оси либо закрашенным, когда неравенство нестрогое, (т.е. корни удовлетворяют данному неравенству), либо светлыми кружками, когда неравенство строгое (корни не удовлетворяют ему);

+ +

x1 x2 х

Рис. 1.1. Геометрическая иллюстрация решения неравенства (1.3) при a > 0

7

Применяя тождественное преобразование «выделение полного квадрата», получим

Если D < 0 , то при любом числовом значении неизвестного x = x0 в левой

числовое неравенство (см. рис. 1.2).

y

Рис. 1.2. График квадратичной функции (a > 0, D < 0)

Следовательно, неравенство (1.5) справедливо при любом x . Другими словами, множество всех решений неравенства (1.5) в этом случае есть

множество всех действительных чисел.

Если D = 0 , то очевидно, что неравенство (1.5) превращается в верное числовое неравенство для любого числа x , кроме x0 = −2ba . Следовательно,

8

множество всех решений неравенства (1.5) в этом случае есть множество

2. Пусть a < 0. Тогда неравенство (1.4) равносильно неравенству

Если D < 0 , то очевидно, что для любого числа x это неравенство превращается в неверное числовое неравенство, т.е. неравенство (1.7) не имеет

решений (см. рис. 1.3).

y

Рис. 1.3. График квадратичной функции (a <0, D <0)

Если D = 0 , то очевидно, что неравенство (1.7) не имеет решений. Если D > 0 , то (1.7) равносильно неравенству

метод интервалов, получим, что множество всех решений неравенства (1.8) есть интервал (x1; x2 ) .

9

Аналогично проводится решение неравенства ax2 +bx + c < 0 (a ≠ 0).

Приведенные выше рассуждения можно отобразить в таблице.

Отметим, что запоминать эту таблицу не надо, для решения конкретного квадратного неравенства лучше каждый раз решать соответствующее квадратное уравнение, затем применить либо метод интервалов, либо графический метод для данного квадратичного трехчлена.

расположены в порядке возрастания: x1 < x2 .

Решение неравенств второй степени

10

f (x) = (x −3)(x + 2) .

Значит исходное неравенство равносильно неравенству

(x −3)(x + 2) < 0 .

Определим знак последнего неравенства в каждом интервале (рис. 1.4),

Рис. 1.4. Иллюстрация знаков, соответствующих данному неравенству

получим, что множество всех решений исходного неравенства есть интервал

(−2;3) .

Ответ: x (−2;3).

Пример. Решить неравенство −x2 − 2x +3 > 0 .

Решение. ОДЗ: x R. Применим графический метод. Решив уравнение

−x2 − 2x +3 = 0,

получим

x1 = −3, x2 =1.

Графиком функции

y = −x2 − 2x +3

является парабола, ветви которой направлены вдоль отрицательных значений оси OY (т.е. вниз). При x (−3;1) график функции лежит выше оси абсцисс

(см. рис. 1.5).

y

Рис. 1.5. График функции y = −x2 − 2x +3

11

Следовательно, решением исходного неравенства будет множество значений x , заключённое в интервале между корнями уравнения.

Ответ: x (−3;1).

1.4. Рациональные неравенства

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов

f (x) = Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn (x) и Qm (x) − многочлены соответственно степеней n или m, т.е.

Соответственно рациональными неравенствами называются неравенства, содержащее рациональные функции. Такими будут неравенства вида:

Неравенства часто решаются методом интервалов. Этот метод основан на одном важном свойстве рациональной функции: в интервале между двумя соседними нулями рациональная функция сохраняет знак. Если рассматривается дробно-рациональная функция, то те значения переменной x, при котором функция обращается в нуль, будем называть нулями функции (точки числителя), а точки, при которых знаменатель дроби обращается в нуль − точками разрыва функции.

На числовой оси отмечают все нули и точки разрыва функции f (x) (если

они есть). При этом числовая ось разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет постоянный знак. Чтобы установить этот знак, достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и определить знак функции в этой точке. Что касается самих точек, то в случае строгого неравенства точки обозначают светлыми кружками. Это означает, что сами точки не входят во множество решений данного неравенства. В случае нестрогого неравенства точки нулей функции наносят на числовую прямую закрашенными кружками, а это означает, что сами точки также входят во множество решений данного неравенства. Понятно, что во всех случаях точки разрыва функции обозначают светлыми кружками.

Следует отметить, что наибольшие трудности в методе интервалов возникают при определении знаков на соответствующих промежутках.

Сформулируем правило расстановки знаков, которое поможет нам

12

определять знаки в каждом из промежутков. Рассмотрим рациональное неравенство вида:

где k1, k2 ,..., kn−1, kn − фиксированные натуральные числа, α1, α2 ,...,αn−1, αn − фиксированные действительные числа, среди которых нет равных, и такие, что

α1 <α2 <... <αn−1 <αn .

Неравенство (1.9) решается обобщённым методом интервалов. Рассмотрим многочлен

числовое значение любого сомножителя в произведении (1.10) положительно, поэтому числовое значение P(x0 ) многочлена P(x) также положительно.

Для любого числа x1 , взятого из интервала (an−1,an ), соответствующее

числовое значение любого сомножителя, кроме последнего, положительно; соответствующее числовое значение последнего сомножителя положительно, если kn − четное число, и отрицательно, если kn − нечетное число. Поэтому

число P(x1) − положительно, если kn − четное число, и P(x1) − отрицательно, если kn − нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен P(x) при переходе через точку an меняет знак, если kn − нечетное число, и не меняет знака, если kn − четное число.

Аналогично показывается, что если известен знак многочлена P(x) на интервале (ai ;ai+1) , то на интервале (ai−1,ai ) знак определяется по правилу: многочлен P(x) при переходе через точку ai меняет знак, если ki − нечетное число, и не меняет знака, если ki − четное число. На этом рассуждении и

основан обобщенный метод интервалов.

На числовую ось наносятся числа α1, α2 ,..., αn−1, αn . Над лучом справа от наибольшего из этих чисел, т.е. справа от an , ставят знак плюс, над следующим за ним справа налево интервалом ставят знак плюс, если kn − четное число, и знак минус, если kn − нечетное число. Н ад следующим за ним справа налево интервалом ставят знак, пользуясь правилом: многочлен P(x) при переходе через точку an−1 меняет знак, если kn−1 − нечетное число, затем рассматривается

следующий за ним справа налево интервал. В нем ставят знак, пользуясь тем же правилом, таким образом, рассматриваются все промежутки.

Решением неравенства (1.9) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс.

13

Найдем нули функции, для чего решим уравнение

f (x) = 0

или

(x +1)(x + 6)(x − 4) = 0 ,

откуда

x1 = −1, x2 = −6, x3 = 4.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как мы решаем строгое неравенство, то все точки отмечаем светлыми кружками. На полученных промежутках каждый из множителей (x +1), (x +6) и (x − 4) сохраняет знак, и,

следовательно, сохраняет знак все выражение.

Для определения знаков в промежутках достаточно знать какой знак имеет функция в одном из промежутков, и, используя свойство чередования знаков, определим их во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка (4;+∞) , так как в нём значение

Определим теперь, используя свойство определения знаков на числовой прямой, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков (рис . 1.6).

неравенства представляет собой объединение указанных промежутков.

Ответ: x (−∞;−6) (−1;4).

Пример. Решить неравенство x3 ≥ 9x .

Решение. ОДЗ: x R. Запишем неравенство в виде x3 −9x ≥ 0 .

Разложим кубический многочлен на множители и вынесем общий множитель за скобки:

14

неравенство методом интервалов, получим решение, соответствующее кривой знаков на рис. 1.17.

+ +

Рис. 1.7. Геометрическая иллюстрация решения неравенства x3 ≥ 9x

Ответ: x [−3;0] [3;+∞) .

Пример. Решить неравенство 2x2 −52x − 2 ≤1. 3x − x −7

Решение. ОДЗ: 3x − x2 −7 ≠ 0. Перенесём единицу из правой части в левую и упростим полученное выражение:

Рис. 1.8. Геометрическая иллюстрация решения неравенства 3x2 −8x +5 ≥ 0

15

Решение. ОДЗ: (4 − x2 )x ≠ 0. Запишем неравенство в виде

(6x −5)(2 + x2 ) ≤ 0. −(x2 −4)x

Умножим обе части полученного неравенства на (-1), при этом знак неравенства изменится на противоположный

(6x −x25)(2 +xx2 ) ≥ 0. ( − 4)

функция не существует. Выпишем решение неравенства, используя метод интервалов, геометрическая иллюстрация которого приведена на рис. 1.19.

Рис. 1.9. Геометрическая иллюстрация решения исходного неравенства

16

кружками, а точки разрыва – светлыми. Будем определять знак функции в каждом интервале, пользуясь обобщенным методом интервалов. При переходе через x2 = −1 и функция знак не меняет, так как множители, откуда

найдены эти корни стоят в чётной степени.

Ответ: x [−3;0) U(0;2] U(4;6].

1.5. Неравенства, содержащие знак модуля

Неравенства вида

| f (x) |≤ g(x)

равносильно двойному неравенству

f (x) ≥ −g(x).

Заметим, что в системе должны выполняться оба неравенства, что соответствует союзу «и».

Неравенства вида

| f (x) |≥ g(x)

равносильно объединению неравенств

Объединение неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств, что соответствует союзу «или».

Пример. Решить неравенство x − 2 < 3.

Решение. ОДЗ: x R. Решим это неравенство тремя способами.

17

Способ 1

Известно что a 2 = a2 . Учитывая, что обе части данного неравенства

неотрицательны при всех x , то возведение в квадрат обеих частей не меняет знака неравенства, поэтому получим равносильное неравенство вида

(x −2)2 <32 ,

или

x2 − 4x −5 < 0.

Найдем корни x1 = −1 и x2 = 5, а затем определим решение неравенства методом интервалов, которое проиллюстрировано на рис. 1.11.

+ +

−1 5 х

Рис. 1.11. Графическая иллюстрация решения неравенства

Следовательно, −1< х <5 .

Ответ: х (−1; 5).

Способ 2

Следовательно, данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

x −2 ≥ 0,x −2 < 3;x −2 < 0,2 − x < 3.

Решая первую систему, получим

x ≥ 2,x <5;

откуда 2 ≤ x <5.

18

Решая вторую систему, получим

x < 2,x > −1;

т.е. −1< x ≤ 2.

Объединяя найденные решения двух систем, находим решение исходного неравенства: −1< х <5 (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Графическая иллюстрация решения данного примера

Ответ: −1< х <5 .

Способ 3

Заметим, что геометрически x − 2 можно рассматривать как расстояние на числовой прямой между точками x и 2 (см. рис. 1.13).

Рис. 1.13. Геометрическое представление x −2 < 3

Следовательно, нужно найти все такие точки x , которые находятся от точки с координатой 2 меньше, чем на 3 единицы. Из рис. 1.13 очевидно, что искомое решение есть интервал (−1; 5).

Ответ: −1< х <5 .

Замечание. Из приведённых способов решения в общем случае наиболее предпочтительным является первый (хотя второй способ является наиболее универсальным, но с технической точки зрения он относительно сложен) в данном примере для линейной функции проще всего геометрический способ.

Пример. Решить неравенство 4x −3 ≤ 2x +3 .

Решение. ОДЗ: x R. Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем обеих частей неравенства в квадрат. Получим

(4x −3)2 ≤ (2x +3)2 ,

или после преобразований

12x2 −36x ≤ 0,

19