Учебное пособие 1719

6.11. Интегральная теорема Лапласа

Интегральная теорема Лапласа позволяет найти

для которой составлены подробные таблицы. Вероятность того, что событие А появится в п нeзависимых испытаниях нe мeнее k1 и не более k 2 раз, приближенно равна

Pn k1, k2 Ф(x2 ) Ф(x1) ,

Для отрицательных значений х пользуются нечетностью функции Лапласа ( Ф(x) Ф(x) ).

6.12. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина в результате испытания принимает случайным образом одно из значений некоторого множества. В зависимости от типа множества значений случайные величины разделяются на дискретные или непрерывные.

Дискретная случайная величина может принимать только изолированные или дискретные значения. Множество возможных значений дискретной случайной величины должно быть счетным (конечным или бесконечным).

Непрерывная случайная величина может принимать все действительные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные вeличины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z , а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, z.

Вероятности дискретных значений случайной величины определяются законом распределения дискретной случайной величины, который может быть задан таблично, аналитически или графически.

81

При табличном варианте задания закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит перечисление всех возможных значений случайной величины, а вторая строка — их вероятности:

Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины равна единице, т. е.

p1 p2 ... pn 1.

При графическом варианте задания закона распределения дискретной случайной величины в прямоугольной системе координат строят точки (xi , pi ) , а затем соединяют их

отрезками прямых. Ломаную линию называют многоугольником распределения.

6.13. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Часто приходится пользоваться числовыми характеристиками случайной величины, которые описывают случайную величину суммарно. Математическое ожидание является простейшей точечной характеристикой.

Математическое ожидание M (X) дискретной случай-ной вeличины X определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений

M ( X ) x1 p1 x2 p2 ...xn pn .

Математическое ожидание не является случайной величиной. Оно приближенно равно среднему значению случайной величины.

82

Пример 6.15. Известен закон распределения дискретной случайной величины X. Найти ее математическое ожидание.

Решение. Согласно определению математического ожидания имеем

M (X ) 3 0,1 5 0,6 10 0,3 6,3 .

Свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной есть сама постоянная.

2.Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания:

M (CX ) C M ( X ) .

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

3. Математическое ожидание произведения двух нeзависимых случайных вeличин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY) M (X ) M (Y ) .

4. Математическое ожидание cуммы двух дискрeтных случайных вeличин равно cумме математических ожиданий этих величин:

M (X Y ) M (X ) M (Y ) .

6.14. Дисперсия дискретной случайной величины

Для описания разброса значений дискретной случайной величины X около математического ожидания M ( X ) рассма-

83

случайной величины

D( X ) M[ X M ( X )]2 .

Теорема. Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной вeличины Х и квадратом ее математического ожидания:

D( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 .

Пример 6.16. Найти дисперсию случайной величины X, если известен ее закон распределения:

Решение. Найдем математическое ожидание М (X):

M (X ) 2 0,1 3 0,6 10 0,3 5 .

Найдем математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины M ( X 2 ) :

M ( X 2 ) 22 0,1 32 0,6 102 0,3 35,8 .

Искомая дисперсия равна

D( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 35,8 52 10,8 .

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(C) 0 .

2. Постоянный множитель при вынесении за знак дисперсии возводится в квадрат:

D(CX ) C 2 D( X ) .

84

3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных вeличин равна сумме дисперсией этих величин:

D( X Y ) D(X ) D(Y ) .

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Х, определяемое как квадратный корень из дисперсии

X D X ,

является часто более предпочтительной характеристикой разброса значений дискретной случайной величины, так как имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

6.15. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Для непрерывных случайных величин используются другие варианты описания, которые позволяют учесть их непрерывность. Так, например, функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F x ,

определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F x P( X < x) .

Свойства функции распределения:

1. Множеством значений функции распределения является отрезок [0,1]:

0F x 1.

2.F(x) является нeубывающeй функцией, т. е.

F x2 F x1 , если x2 x1 .

85

Вероятность того, что случайная вeличина примет значение, принадлeжащее интервалу (a,b), равна приращeнию функции распределения на этом интервале:

P(a X b) F b F a .

Пределы для функции распределения непрерывной случайной величины, принимающей значения на всей числовой оси:

Плотность распределения или плотность вероятности непрерывной случайной величины представляет еще один вариант описания случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х является производной функции распределения F x :

f (x) F x .

Плотность распределения дает возможность вычислить вероятность попадания непрерывной случайной величины в некоторый промежуток.

Теорема. Вероятность принадлeжности значения непрeрывной случайной величины интeрвалу (a,b) равна опредeленному интегралу от плотности распрeделения, взятому в пределах от а до b:

b

P a X b f x dx .

a

Пример 6.17. Плотность распределения f (x) вероятности случайной величины Х равна

Найти вероятность того, что случайное значение величины Х будет принадлежать интервалу (0,5; 0,8).

Решение. Искомая вероятность

x

F (x) f x dx .

Пример 6.18. Найти функцию распрeделения непрерывной случайной величины по данной плотноcти распределения:

Решение. Если x 1 , то f(x) = 0, а функция распределения

x

имеет нулевые значения: F (x) f x dx 0 .

Если 1 x 6 , то f(x) = 1/5, поэтому

87

Собирая результаты, получим кусочно-непрерывное описание функции распределения:

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения являeтся неотрицательной функцией:

fx 0 .

2.Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

f x dx 1.

6.16. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х равно определенному интегралу вида

M (x) xf x dx .

Дисперсия непрерывной случайной величины Х опреде-

ляется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания M (x) :

Пример 6.19. Непрерывная случайная величина Х задана равномерным законом распределения с плотностью

a, x [2,4]

распределения f (x) . Найти значение пара-

0, x [2,4]

метра а, функцию распределения случайной величины F(x), математическое ожидание M ( X ) , дисперсию M ( X ) ,

вероятность попадания случайной величины на промежуток

0 x 3 .

Решение. Для определения параметра а воспользуемся

89