Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1719

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

3.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков прямыми x a и x b , сверху — линией y 2 x , а снизу — линией y 1 x , вычисляют по формуле

S 2 x 1 x dx.

Пример 3.1. Вычислить площадь фигуры, ограничeнной линиями y x2 3x 4, y x 1 (рис. 2).

Решение:

y	y x 1

				-1	0		5		х
									х
					y x2		3x 4
					Рис. 2
		Для нахождения концов отрезка интегрирования
приравняем				y x2	3x 4	и	y x 1.				Из	полученного
уравнения				x2 4x 5 0 находим a x							1	и b x		5 .
								1				2
Тогда
S x 1 x2 3x 4 dx x2						4x 5 dx		x			2x2
S x 1 x2 3x 4 dx x2						4x 5 dx		x			2x2	5x	5
	5				5					3
													1
	1				1			3					1
	1				1
	125			1
			50	25	2 5	42 78 36 .
			50	25	2 5	42 78 36 .
	3			3
						30

3.2. Вычисление длины дуги

Рассмотрим кривую AB графика функции y f x на отрезке a,b . Под длиной дуги AB будем подразумевать

предел длины вписанной в эту дугу ломаной линии. Разобьем
отрезок a,b на n частей точками xi						i 0,1,..., n . Рассмотрим
i ый	участок	разбиения			(рис. 3) между точками
Mi 1 xi 1, f xi 1 и M i xi , f xi .
			y f x				M i

			L				yi
	M i 1				i

		xi	xi		xi 1
			Рис. 3
Длина хорды M i 1M i			по теореме Пифагора равна

		Li		xi 2 yi 2				.
С	использованием		теоремы о			конечном приращении
yi f ci xi , где		ci является некоторой внутренней точкой

отрезка xi 1 , xi , имеем

Li xi 2 f ci xi 2 1 f ci 2 xi .

Длина дуги AB , согласно определению, равна

		n		n
		n		n	1 f ci 2 xi ,
L	lim	Li	lim		1 f ci 2 xi ,
	n	i 1	n	i 1
		i 1		i 1
	max Li 0		max Li 0

что и будет соответствовать определенному интегралу

L 1 f x 2 dx .

Пример 3.2. Вычислить длину дуги, описываемой

уравнением y 2 e												x
													,		ln 4 x ln 9 .
												4	,		ln 4 x ln 9 .
																														x

Решение. Найдем производную:																									y			e 4			. Имеем
Решение. Найдем производную:																									y			4			. Имеем
																												4

																			x
																			2						x 2 ln 16(t 2							1)
																	e		2			1 t,

																		16
																		16
																dx						4t		dt,


																				(t 2 1)
																x		ln 4, t								33	,
																x		ln 4, t									,
										x						1					1				32
										x															32
			ln9
			ln9					e	2																49
	L					1					dx					x2 ln 9, t2
	L					1		16			dx					x2 ln 9, t2									48
			ln4					16																	48
			ln4

49														49														49				49

48				t											48 t 2				1 1									48				48			dt
4		t					dt		4														dt		4 dt 4
4		t					dt		4														dt		4 dt 4
			t	2	1													t	2 1															t 2		1
33			t	2	1									33				t	2 1										33				33	t 2		1
32														32														32				32

	49			49
									49	33			49				33
	48 2 ln		48
4t						4					2 ln				ln
4t						4					2 ln				ln
	33				33			48		32			48			32
	33				33			48		32			48			32
	32		32
							49 32												98
	49	33										49		33
	49	33										49		33
4						ln				4						ln				.
4						ln				4						ln				.
	48	32						48 33				48		32				99
	48	32						48 33				48		32				99

3.3. Вычисление объема тела

При известной зависимости площади попeречного сечения тела S S x плоскостью, перпендикулярной оси Ox , вычисление объема тела определяется формулой

V S(x)dx ,

где a и b — абсциссы крайних точек тела при проецировании его на ось Ox .

Для тел вращения, образующихся при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Ox , известна зависимость

площади поперечного сечения	S(x) y 2 f (x) 2 от
координаты x, если известна кривая	y f x , ограничивающая

сверху криволинейную трапецию. Вычисление объема тела вращения (рис. 4) производится по формуле

V f (x) 2 dx .

y f x

Рис. 4

Пример 3.3. Найти объем тела вращения вокруг оси Ox


фигуры, ограниченной линиями y x 2		1 ,			x 1 ,			y 0 .
Решение. Объем тела вращения равен
1	1			5		x	3		1	28
1	1			5			3
V x 2	1 2 dx x 4 2x 2 1 dx		x		2			x			.
V x 2	1 2 dx x 4 2x 2 1 dx				2			x			.
0	0	5			3				0	15
0	0

4.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1.Понятие функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(x,y) двух переменных задана, если каждой паре значений независимых пeременных x , y из области

определения D по некоторому правилу ставится в соответствие значение переменной z из множества значений Z. Функция двух переменных геометрически интерпретируется как поверхность в трехмерном пространстве над областью D плоскости xОy, аппликата каждой точки которой вычисляется по закону z f (x, y) .

окрестностью	точки	M 0 (x0 , y0 )	называется
множество внутренних	точек круга радиуса		с центром

в точке M 0 (x0 , y0 ) . Множество точек окрестности M (x, y)

удовлетворяет неравенству

(x x0 )2 ( y y0 )2

Число А называется пределом функции двух переменных

f(х,у)

при

x x0 ,

y y0 , если

для

любого

сколь угодно

малого положитeльного

найдется такое

> 0, что для всех

точeк

окрестности

точки

M 0 (x0 , y0 )

выполняется

неравенство

f x, y A

< , что записывается как

lim

f (x, y) A.

x x0

y y0

Остаются в

силе

все

теоремы

пределе функции

и правила вычисления.

Пример 4.1. Найти

lim

x 0 x2 y2 y 0

M (x, y)

Решение:

lim		xy	lim	xkx	k
					1 k 2 .
x 0 x	2	y 2	x 0 x 2 k 2 x 2
y 0
Для различных k получаем различные значения предела,
а предел не должен		зависеть от		направления приближения

к точке О (0,0), что и означает, что в этой точке функция не имеет предела.

Бесконечно малой при x x0 ,	y y0 называется
функция f (x, y) , если

lim f (x, y) 0.

x x0 y y0

Непрерывной в точке M 0 (x0 , y0 ) называется функция f (x, y) , если

lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .

x x0 y y0

Непрерывной в области называется функция f (x, y) , если выполняется условие непрерывности в каждой точке области.

Точка называется точкой разрыва функции f (x, y) , если нарушается хотя бы одно из условий

непрерывности	в точке, т. е. либо функция не	определена
в самой точке,	либо не существует предел lim	f (M ) , либо
	M M 0

предел существует, но не равен значению функции в данной точке.

Все свойства, установленные для непрерывных функций одной переменной, остаются в силе для непрерывных функций нескольких переменных.

4.2. Частные производные и частные дифференциалы первого порядка

Для функции	f (x, y) ,	определенной и непрерывной
в точке M 0 (x0 , y0 )	и ее окрестности, зафиксируем переменную
y y0 , а переменная х пусть испытает			приращение х, что
соответствует перемещению		из точки	M 0 (x0 , y0 ) в точку
M1(x0 x, y0 ) . Разность

x z f x0 x, y0 f x0 , y0

называется частным приращением функции z по переменной х.

Частной производной						z

						x
в точке M 0 (x0 , y0 )		называется
х 0:
z	lim	x z	=		lim
x		x
	x 0			x 0

функции z по переменной х

предел отношения	x z	при
	x

f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) .

При перемещении из точки M 0 (x0 , y0 ) в точку M 2 (x0 , y0 y) выделим частное приращение функции z по переменной y

y z f x0 , y0 y f x0 , y0 .

По аналогии

определим

частную производную

функции z по переменной

y в точке

M 0 (x0 , y0 )

как предел

отношения

y z

при

y 0:

lim

y z

lim

f (x

, y

y) f (x

, y

)

y 0

Частная производная					z			описывает	мгновенную


					x		z x
					x
скорость	изменения	функции					f (x, y) в точке		M 0 (x0 , y0 )
в направлении оси		Ох,		а		частная производная				z	z y
в направлении оси		Ох,		а		частная производная					z y
										y
описывает	мгновенную		скорость					изменения	функции z
в направлении оси Оу.

При вычислении частных производных остаются в силе правила дифференцирования и таблица производных, при этом другие аргументы считаются зафиксированными.

Пример

4.2.

Найти

частные

производные

функции

z x5 9x 2 y y5 .

Решение:

5x 4 18xy .

Аргумент

y здесь

полагается константой.

9x 2

5y 4 . Здесь при нахождении

переменная x считается константой.

Пример

4.3.

Найти

частные

производные

функции

z ln(x 2 y y3

7x3 ) .

Решение. Используя правило дифференцирования

сложной функции, имеем

2xy 21x 2

x 2 3y 2

x 2 y y 3 7x3

4.3. Полное приращение функции и полный дифференциал

При	переходе из	точки	M 0 (x0 , y0 )	в точку
M (x0 x, y0 y) непрерывная функция z f (x, y)				получает
полное приращение z f x0		x, y0	y f x0 , y0 . Функция
z f (x, y)	называется дифференцируемой в точке M 0 (x0 , y0 ) ,

если полное приращение функции, соответствующее переходу от точки M 0 (x0 , y0 ) к точке M (x0 x, y0 y) , представимо в виде z A x B y x y , где коэффициенты А и В


определяются только		самой точкой			M 0 (x0 , y0 ) ,	а сумма
x y	есть бесконечно малая более высокого					порядка
малости по отношению к x			и y .
Линейная по x и			y	часть	полного приращения
функции	f (x, y) называется полным дифференциалом dz
функции в точке M 0 (x0 , y0 ) :
		dz A x B y .
Теорема (Необходимое условие дифференцируемости).
Если	функция	z f (x, y)		дифференцируема		в точке

M 0 (x0 , y0 ) , то эта функция имeeт в этой точке частные

производные	z	(x0 , y0 ) A и		z	(x0 , y0 ) B .
				y
	x
Теорема (Достаточное условие дифференцируемости).
Если функция			z f (x, y)		имeeт непрерывные частные
производные в точке M 0 (x0 , y0 )					и ее окрестности, то функция
диффeренцируема в точке					M 0 (x0 , y0 ) , а ее полный
диффeренциал равен
		dz	z x0 , y0		x	z	x0 , y0 y .

			x			y
			39

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.86 Mб7Учебное пособие 1714.pdf
#
30.04.20221.86 Mб1Учебное пособие 1715.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1716.pdf
#
30.04.20221.86 Mб16Учебное пособие 1717.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1718.pdf
#
30.04.20221.86 Mб6Учебное пособие 1719.pdf
#
30.04.2022311.67 Кб2Учебное пособие 172.pdf
#
30.04.20221.87 Mб3Учебное пособие 1720.pdf
#
30.04.20221.87 Mб4Учебное пособие 1721.pdf
#
30.04.20221.88 Mб7Учебное пособие 1722.pdf
#
30.04.20221.88 Mб4Учебное пособие 1723.pdf