Учебное пособие 1719

Пример 6.3. В группе из 10 студентов учатся Иван и Петя. Какова вероятность того, что при случайном выборе двух дежурных Иван и Петя окажутся дежурными?

Решение. Случайное событие A — выбор Ивана и Пети в качестве дежурных. Полное число элементарных исходов

элементов, отличающиеся только порядком их расположения. Перестановка является соединением, вовлекающим все элементы множества. Число всех возможных перестановок Рп равно Pn 1 2 3 ... n n! . Заметим, что 0! 1 , 1! 1 , 2! 2 ,

3! 6 и т. д.

Пример 6.4. В эстафете четыре по сто метров участвуют Иван, Петя, Олег и Николай. Какова вероятность того, что они выступят именно в такой последовательности, если выбор производится случайным образом?

Решение. Случайное событие A — появление спортсменов в упомянутой последовательности. Полное число элементарных исходов n 4! 24 . Число благоприятствующих событию A элементарных исходов m 1. Искомая вероятность

P( A) mn 241 .

6.4. Относительная частота появления случайного события. Статистическая вероятность

Относительная частота события определяется как отношение числа испытаний, в которых событие появилось,

70

к общему числу произведенных испытаний и вычисляется по формуле

W ( A) mn ,

где т — число испытаний с произошедшим событием A; п — общее число испытаний.

Пример 6.5. По цели выпущены 10 стрел, причем 7 из них попали в цель. Относительная частота поражения цели

W (А) =7/10.

Опытным путем установленная относительная частота может быть принята за приближенное значение вероятности, причем с увеличением числа испытаний относительная частота случайного события точнее будет характеризовать его вероятность.

Согласно статистическому определению вероятность случайного события равна пределу относительной частоты при n, стремящемся к бесконечности:

P( A) lim (Wn ) .

n

6.5. Теорема сложения вероятностей случайных событий

Суммой А+В двух событий А и В называют событие,

состоящее в том, что появилось только событие А, или появилось только событие В, или события А и В появились одновременно. Говорят, что сумме случайных событий А+В соответствует появление хотя бы одного из событий А или В.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

71

Пример 6.6. Вероятность оказаться нетрудоспособным для первого пилота p1 0,3 , для второго пилота — p2 0,2 .

Найти вероятность отмены рейса по причине неготовности экипажа.

Решение. Событие A — нетрудоспособность первого пилота: P(A) 0,3 . Событие — нетрудоспособность второго

пилота: P(B) 0,2 . Искомая вероятность равна

P(A B) P(A) P(B) P(A) P(B) = 0,6 + 0,9 – 0,6·0,9 = 0,96.

Следствие. Для несовместных событий А и В справедливо равенство

P(A B) P(A) P(B) .

Пример 6.7. В сумке имеется 21 шар: 6 красных, 7 синих и 8 белых. Наудачу из сумки извлекается один шар. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Событие A — появление красного шара.

Вероятность события А P( A) 216 . Событие В — появление

синего шара. Вероятность события В P(B) 217 . Учитывая, что

по условию задачи требуется найти P( A B) и события А и В несовместны, имеем

противоположным событием является событие ( A B C ... D) , то вероятность P(A B C ... D) удобнее вычислять через вероятность противоположного события

Если события A, B, C, ..., D независимы и известны их вероятности P( A) qa , P(B) qb и т. д., то

P(A B C ... D) 1 qa qb ... qd .

Пример 6.8. Вероятности попадания в полуфинал для трех спортсменов-россиян таковы: p1 0,4 , p2 0,5 , p3 0,6 .

Найти вероятность того, что хотя бы один россиянин попадет в полуфинал соревнований.

Решение. События А1 (попадание первого россиянина в полуфинал), А2 (попадание второго россиянина в полуфинал), А3 (попадание третьего россиянина в полуфинал) являются

P(A1 A2 A3 ) 1 0,6 0,5 0,4 1 0,12 0,88.

6.6. Произведение событий. Теорема умножения вероятностей

Произведением нескольких событий называют событие,

при котором одновременно появятся эти несколько событий. Если вероятность появления случайного события не

зависит от появления других событий, то вероятность такого случайного события называют безусловной. Если же вероятность появления случайного события зависит от появления другого события, то вероятность такого случайного

73

события называют условной. Условная вероятность события В,

вычисленная при условии, что событие А уже наступило, обозначается как PA (B) .

Теорема. Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

P(AB) P(A) PA (B) .

Вероятность совместного появления трех событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий:

P(ABC) P(A) PA (B) PAB (C) .

Пример 6.9. В спортивной сумке находятся 5 игранных (потертых), 4 новых и 3 испорченных теннисных шара. Каждое испытание состоит в извлечении из сумки без возвращения одного шара. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены три новых шара.

Решение. Безусловная вероятность появления нового шара в первом испытании равна

P( A) 124 .

Условная вероятность появления нового шара во втором испытании при условии, что в первом испытании появился новый шар, равна

PA (B) 113 .

Условная вероятность появления нового шара в третьем испытании при условии, что в первом и втором испытаниях появился новый шар, равна

PAB (C) 102 .

74

Искомая вероятность равна

P( ABC) P( A) PA (B) PAB (C) 124 113 102 551 .

Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет дело с безусловными вероятностями

P(AB) P(A) P(B) ,

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 6.10. В первой вазе 5 красных и 3 белых розы. Во второй вазе 7 красных и 2 белых розы. Из каждой вазы случайно извлекают по одной розе. Какова вероятность того, что две извлеченные розы будут белыми?

Решение. Вероятность того, что из первой вазы вынута белая роза (событие А), равна

P( A) 83 .

Вероятность того, что из второй вазы вынута белая роза (событие B), равна

6.7. Формула полной вероятности

Если событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , ..., Bn , причем

75

по каждой гипотезе, то может быть сформулирована теорема о полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А, происходящего с одной из гипотез B1, В2, ..., Вп, равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) P(B1)PB1 A P(B2)PB2 A ... P(Bn )PBn A .

Формулу называют формулой полной вероятности.

Пример 6.11. В первой вазе 5 красных и 3 белых розы. Во второй вазе 7 красных и 2 белых розы. Из первой вазы во вторую случайно переложена роза. После этого из второй вазы случайно извлечена одна роза. Какова вероятность того, что извлеченная из второй вазы роза окажется белой?

Решение. Событие А состоит в том, что извлеченная из второй вазы роза — белая. Можно рассматривать две гипотезы: гипотеза В1 — из первой вазы во вторую переложена белая роза, гипотеза В2 — из первой вазы во вторую переложена

красная роза. Тогда P B1 83 , P B2 85 . Условные вероятности

Вероятность извлечения из второй вазы белой розы (полная вероятность) равна

P( A) P(B1)PB1 A P(B2 )PB2 A 83 103 85 102 1980 .

76

6.8. Формулы Байеса

Если в результате испытания появилось событие А, то можно искать условные вероятности гипотез при условии, что событие А произошло: PA B1 , PA B2 , …, PA Bn .

Для i-ой гипотезы, по теореме умножения, имеем

P( ABi ) P( A) PA (Bi ) P(Bi ) PBi ( A) .

Отсюда получается формула Байеса

PA Bi = P Bi PBi A ,

P A

где Р(А) — полная вероятность события А. Формулы Байеса переоценивает вероятности гипотез после того, как появилось событие А.

Пример 6.12. Сигнал может быть принят и обработан одним из двух приборов. Вероятность попадания сигнала к первому прибору равна 0,6, а ко второму — 0,4. Первый прибор правильно обрабатывает поступивший сигнал с вероятностью 0,94, а второй — с вероятностью 0,98. Сигнал был принят и правильно обработан. Найти вероятность того, что этот сигнал обрабатывался первым прибором.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что сигнал был принят и правильно обработан. Можно выдвинуть две гипотезы: сигнал принят первым прибором (гипотеза В1), сигнал принят вторым прибором (гипотеза В2).

Вероятность того, что обработанный сигнал был принят первым прибором, определяется по формуле Байеса:

По условию Р(В1) = 0,6, Р(В2) = 0. Условная вероятность того, что сигнал правильно обработан первым прибором, равна PB1 A 0,94 . Условная вероятность (второй гипотезы) того, что

6.9. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Схема испытаний Бернулли реализуется, если при n

испытаниях событие А каждый раз может происходить с одной

Pn k Cnk pk qn k .

Пример 6.13. Вероятность того, что семечка сохранила всхожесть, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что из 6 посаженных семечек прорастут 4 семечки.

Решение. В каждом из шести испытаний событие (прорастание семечки) происходит с постоянной вероятностью

6.10. Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли при больших значениях п требует выполнения действий над громадными числами. Существует несколько приближенных формул для вычисления искомой вероятности. Локальная теорема Лапласа дает возможность приближенного вычисления вероятности появления события А ровно k раз в п испытаниях Бернулли, если число испытаний п достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p

появления события А в каждом испытании постоянна (0 < p < 1), то вероятность Pn k того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции

требуется найти значение функции при отрицательном значении аргумента, то пользуются свойством четности функции x , т. е. x x .

Формула Лапласа тем точнее, чем больше число испытаний п.

Пример 6.14. При проведении 400 испытаний событие А может появиться в каждом из них с постоянной вероятностью p 0,2 . Найти вероятность того, что событие А наступит ровно

80 раз.

Решение. Воспользуемся формулой Лапласа, учитывая,

что n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8:

79