Учебное пособие 1719
.pdf
В. В. Горбунов, О. А. Соколова
Учебно-методическое пособие
Вдвух частях
ЧАСТЬ 2
divFdV FndS
V S
Воронеж 2019
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
В. В. Горбунов, О. А. Соколова
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
Вдвух частях
ЧАСТЬ 2
Воронеж 2019
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.1я7 Г676
Рецензенты:
кафедра естественно-научных и гуманитарных дисциплин Международного института компьютерных технологий
(зав. кафедрой д-р техн. наук, профессор Б. А. Шиянов); д-р техн. наук, профессор А. А. Хвостов
Горбунов, В. В.
Математика: учебно-методическое пособие: в 2 ч. / Г676 В. В. Горбунов, О. А. Соколова; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». – Воронеж:
Изд-во ВГТУ, 2019. – Ч. 2. – 118 с.
ISBN 978-5-7731-0810-8
ISBN 978-5-7731-0812-2 (ч. 2)
Учебно-методическое пособие содержит теоретический материал, необходимый для решения контрольных заданий и методику решения контрольных заданий, которые также представлены в пособии в виде контрольной работы № 2.
Издание предназначено для студентов первого курса направления 38.03.03 «Управление персоналом» (профиль «Управление персоналом организации») заочной формы обучения.
Ил. 7. Библиогр.: 6 назв.
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.1я7
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0812-2 (ч. 2) © Горбунов В. В., Соколова О. А., 2019
ISBN 978-5-7731-0810-8 © ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019
ВВЕДЕНИЕ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельное освоение учебного материала по рекомендованным учебникам и выполнение контрольной работы. Подробное собеседование по выполненной контрольной работе предшествует сдаче зачета и экзамена в соответствии с учебным планом.
Для улучшения самостоятельной работы студентов заочной формы обучения нами составлено данное учебнометодическое пособие, включающее основной теоретический материал по курсу «Математика» второго семестра направления 38.03.03 «Управление персоналом» (профиль «Управление персоналом организации»). В пособии приводится методика решения задач по данному курсу, представленных в контрольной работе № 2, а также сама контрольная работа, персональный вариант которой должен выполнить студент.
Контрольная работа считается зачтенной, если предложенные задачи решены правильно, подтверждено умение решать подобные задачи, продемонстрировано знание основных формул и определений.
Вопросы, возникающие в процессе изучения материала или решения задач, студенты могут задать преподавателю на плановой консультации.
Все приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.
3
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1. Первообразная. Неопределенный интеграл
Интегральное |
исчисление |
занимается |
нахождением |
||
функции F x |
по |
известной |
производной |
этой |
функции |
f x F x . Согласно определению функция |
F x называется |
||||
первообразной функции f x , если выполняется |
равенство |
||||
F x f x . Для |
функции f x |
можно указать множество |
|||
первообразных, отличающихся друг от друга на произвольную постоянную С.
Указанное множество первообразных F x C называется
неопределенным интегралом |
функции f x |
и обозначается |
символом f x dx . Здесь f x |
— подынтегральная функция, |
|
f x dx — подынтегральное |
выражение, x |
— переменная |
интегрирования.
Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой, а процедура наxождения неопределенного
интеграла |
f x dx F x C |
называется |
интегрированием |
функции |
f x . Неопределенному интегралу графически соот- |
||
ветствует множество кривых |
y F x C , |
каждая из которых |
|
называется интегральной кривой.
Отметим основные свойства неопределенного интеграла: 1. Производная неопределенного интеграла тождественно
равна f x — подынтегральной функции:
f x dx f x .
2. Дифференциал неопределенного интеграла соответствует подынтегральному выражению:
d f x dx f x dx .
4
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции F x плюс произвольная постоянная:
dF x F x C .
4.Постоянный множитель подынтегральной функции может быть вынесен за знак неопределенного интеграла:
kf x dx k f x dx .
5.Неопределенный интеграл суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:
f x g x dx f x dx g x dx .
6. Свойство инвариантности формул интегрирования. Формула для неопределенного интеграла не меняется в зависимости от того, что используется в качестве переменной интегрирования — независимая переменная или любая ее
непрерывно-дифференцируемая функция, т. е. изf x dx F x C следует f u du F u C , где u — некоторая функция x c непрерывной производной.
1.2. Таблица неопределенных интегралов
xa 1
1.x a dx a 1 c a 1 .
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2. |
xdx |
|
|
|
c . |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
2 |
|
x |
||||
3.xdx2 1x c .
4.dxx ln x c x 0 .
5. a x dx |
a x |
c a 0; a 1 . |
|
ln a |
|||
|
|
||
|
|
5 |
6.e x dx e x c .
7.sin xdx cos x c .
8.cos xdx sin x c .
9. |
|
|
dx |
tgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
|
|
|
dx |
|
ctgx c . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin x c . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
c . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||
|
|
|
a2 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
|
|
|
dx |
|
arctgx c . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
c . |
|
|||||||||||
|
a2 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
x2 a2 |
c . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x2 a2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
||||||||||||||
16. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
c . |
|
|||||||||||
|
x2 a2 |
|
|
|
x a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
||||||||||||||||
17.tgxdx ln cos x c .
18.ctgxdx ln sin x c .
Каждая формула проверяется непосредственным дифференцированием.
Если неопределенный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла удается привести к набору нескольких табличных интегралов, то это называется непосред-
ственным интегрированием.
6
|
x7 |
|
|
|
|
Примeр 1.1. Выполнить интегрирование |
x |
x 9 |
dx . |
||
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Решение:
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 9 |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
dx x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
||
|
|
x6 dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
x 2 dx 9 |
|
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
x7 2 
x3 9 ln x C .
7 3
1.3.Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенных интегралах часто
используется при интегрировании. |
|
||
Теорема. |
Пусть функция |
t x непрeрывна |
и диф- |
ференцируема, |
а функция |
g x непрeрывна и |
имеет |
первообразную G t , т. е. G t g t или g t dt G t C , тогда
g x x dx G x C .
Пример 1.2. Проинтегрировать esin3x cos3x dx . |
|
|
|||||||||
Решение. Введем новую переменную |
интегрирования: |
||||||||||
t sin 3x и |
dt 3cos3x dx . Проведем |
замену переменной |
|||||||||
интегрирования в неопределенном интеграле: |
|
|
|
||||||||
|
sin3x |
|
t sin 3x |
|
t dt |
|
et |
|
esin3x |
||
|
|
|
|
|
|||||||
e |
|
cos3x dx |
dt 3cos3xdx |
e |
|
|
|
|
C |
|
C . |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Еще один вариант замены переменной t определяется соотношением x = ψ(t) Тогда dx t dt и
f x dx f t t dt .
7
Пример 1.3. Проинтегрировать |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x 1 4 |
|||||||||||
Решение. |
Введем новую |
|
|
перeменную интегрирования: |
||||||||||||||||||||||||||||||
e2x 1 t |
или x |
1 ln t |
|
. Проведем замену переменной: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
(ln t 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
d (t 2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e2x 1 4 |
dx |
dt |
|
|
|
2 |
t(t 4) |
2 |
(t 2)2 4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
ln |
|
(t 2) 2 |
|
C |
1 |
ln |
|
|
|
t |
|
C |
1 |
ln |
|
|
e2x 1 |
|
C . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
(t 2) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x 1 4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
t |
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Инвариантность формул таблицы интегралов позволяет замену переменной производить методом введения новой функции под знак дифференциала. При таком варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.
Пример 1.4. Найти 
sin x cos xdx .
Решение:
|
|
cos xdx sin x |
1 |
d sin x |
sin x 3/ 2 |
C . |
|||
|
sin x |
||||||||
2 |
|||||||||
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
1.4. Правило интегрирования по частям
Интегрирование по частям полезно, если интегрируется произведение функций, принадлежащих различным классам.
Для функций u u x и v v x , имеющих непрерывные производные, справедливы тождества
d uv vdu udv и udv d uv vdu .
8
Интегрирование последнего и дает формулу интегрирования по частям:
udv uv vdu .
Пример 1.5. Проинтегрировать (5x 2) cos7x dx .
Решение:
|
|
|
|
|
|
u 5x 2; |
du 5dx |
|
(5x 2) sin 7x |
|
sin 7x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(5x 2) cos7xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 7x |
|
5 |
dx |
||||||||||||||||||
dv cos7x dx ; |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(5x 2) sin 7x |
|
5 |
sin 7x |
d (3x) |
(5x 2) sin 7x |
|
5 cos7x |
|
C . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 1.6. Проинтегрировать (6x 2)7 ln(6x 2)dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ln(6x 2); |
du |
|
6dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(6x 2)7 ln(6x 2)dx |
6x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv (6x 2)7 dx; |
v |
(6x 2)8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 8 |
|
|
|
|
|
|
||
|
(6x 2)8 |
ln(6x 2) 6 |
(6x 2)8 |
dx |
|
(6x 2)8 |
ln(6x 2) |
|
(6x 2)7 |
dx |
|||||||||||||||||||||
|
48(6x 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||
|
(6x 2)8 |
|
|
(6x 2)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ln(6x 2) |
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
48 |
|
|
384 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.5. Дробно-рациональные функции. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь)
R x |
P x |
|
a |
0 |
a |
x a |
2 |
x2 |
... a |
n |
xn |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Qm x |
b |
|
b x b x2 |
... b |
|
xm |
||||||
|
|
0 |
1 |
2 |
|
m |
|
|
||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|