Учебное пособие 1691

y

y = f (x)

M(x0; y0 )

α

х

Рис. 2.3. Касательная и нормаль к кривой

Нормалью к кривой называется прямая, которая перпендикулярна касательной в точке касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент будет равен

Поэтому уравнение нормали примет вид:

2.5. Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное неравномерное движение материальной точ-

ки. Пусть материальная точка М движется по прямой. За время t точка прошла расстояние OM = S (рис. 2.4). Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. путь есть функция от времени

Равенство (2.11) называется законом движения точки.

71

Рис. 2.4. Прямолинейное движение материальной точки

За время t ( t – приращение времени) точка пройдет путь от точки М до точки M1:

MM1 = S(t + t) − S(t) = S ,

где S – приращение пути.

Если бы движение было равномерным, то точка бы двигалась с постоян-

мент времени меняется и в этом случае вводят понятие мгновенной скорости движения или скорости в данный момент, т.е. V =V (t ):

Формула (2.12) справедлива и для равномерного движения.

Итак, механический смысл производной состоит в том, что скорость есть производной пути по времени.

2.6. Производные высших порядков

Производная y′ = f ′(x) функции y = f (x) есть также функция от х и на-

зывается производной первого порядка.

Если функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается y′′ или f ′′(x). Таким образом y′′ =(y′)′.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается y′′′ или f ′′′(x). Сле-

72

y(n) =(y(n−1) )′.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Замечание 2.1. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках. Например, yVI или y(6)

– производные шестого порядка.

2.7. Дифференциал функции

Дифференциалом функции y = f (x) называется произведение производ-

Рассмотрим функцию y = x . Применяя формулу (2.13), найдем ее диффе-

Следовательно, дифференциал независимой переменной и приращение независимой переменной совпадают, поэтому формулу дифференциала (2.13)

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточ-

73

у

max f (x)= f (x0 ) f (x)

y = f (x)

Рис. 2.6. Максимум функции y = f (x)

у

y = f (x)

f (x)

min f (x)= f (x0 )

x0 х х

Рис. 2.7. Минимум функции y = f (x)

у

y = f (x)

Рис. 2.8. Локальный характер экстремумов

77

Рис. 2.11. График функции y = x

Функция y = 3 x2 , график которой изображен на рис. 2.12, в точке O(0;0)

имеет экстремум (минимум), однако в этой точке производная не существует, так как в точке O(0;0) касательная не имеет углового коэффициента.

у

y = f (x)

Ох

Рис. 2.12. График функции y = 3 x2

Точка, в которой производная функции равна нулю, называется стацио-

нарной точкой. Стационарные точки, а также точки, в которых производная не существует или бесконечна, называются критическими.

Точки экстремума следует искать именно среди критических точек.

Теорема 2.3 (достаточное условие существования экстремума). Если функция y = f (x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем кри-

тическую точку x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , и при переходе через нее слева направо производная f ′(x) меняет знак с плюса на минус, то x0

есть точка максимума; если же производная f ′(x) меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.

79

у

max f (x)= f (x0 )

у

min f (x)= f (x0 )

Рис. 2.13. Геометрическая интерпретация теоремы 2.3.

2.9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x), заданной на отрезке [a;b], называются глобальными экстремумами на этом отрезке.

Нахождение глобальных экстремумов проводят по следующей схеме:

1. Находят критические точки функцию, принадлежащие интервалу

(a;b).

2.Вычисляют значение функции на границах отрезка [a;b] и в критиче-

ских точках, принадлежащих интервалу (a;b).

80