Учебное пособие 1691
.pdf
|
|
x′y′′2 |
− x′′2 y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
K = |
|
t t |
t |
t |
|
|
|
. |
(5.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
||||
|
(xt′)2 +(yt′)2 2 |
|
|
Если линия задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ), то
K = |
|
ρ2 + 2(ρϕ′ )2 − ρρϕ′′2 |
|
|
. |
(5.6) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
+(ρϕ′ |
)2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Радиус и центр кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой
Величина R, обратная кривизне K линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке
|
|
|
3 |
|
|
|
||
R = |
1 |
= |
1+(y′)2 2 |
|
. |
(5.7) |
||
K |
|
y′′ |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что для окружности радиус кривизны совпадает с ее радиусом. Проведем в точке М нормаль к кривой y = f (x), направленную в сторону
вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок MO , равный радиусу R кривизны кривой y = f (x) в точке М (рис. 5.5).
Точка О называется центром кривизны данной кривой в точке М, а круг радиуса R с центром в точке О, проходящий через точку М, называется кругом кривизны данной кривой в точке М.
Совокупность всех центров кривизны точек данной линии образует новую линию, называемую эволютой данной линии.
По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой (в переводе с лат. «развертка»).
151
M (x; y)
R = K1
y = f (x) |
O |
Рис. 5.5. Радиус, центр и круг кривизны линии в точке М графика функции y = f (x)
152
6.ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
6.1.Расчетно-графическая работа 1 «аналитическая геометрия»
ВРГР 1 входят три задачи с общими для всех 30 вариантов условиями, но разными исходными данными.
Задача 1. Для треугольника АВС определить:
●уравнения сторон АВ, АС, ВС;
●углы в треугольнике;
● периметр АВС;
●уравнение и длину высоты АН, опущенной из вершины А;
●площадь треугольника.
Варианты:
1. |
А(4;–3), |
В(2;4), |
С(–1;2); |
2. |
А(–3;–2), |
В(5;1), |
С(1;– 4); |
3. |
А(1;5), |
В(–3;2), |
С(1;3); |
4. |
А(–3;–2), |
В(–1;4), |
С(4;2); |
5. |
А(–5;1), |
В(–1;2), |
С(–3;–2); |
6. |
А(1;– 4), |
В(5;–1), |
С(–2;3); |
7. |
А(1;–2), |
В(4;1), |
С(0;4); |
8. |
А(–1;– 4), |
В(4;1), |
С(–1;2); |
9. |
А(–3;2), |
В(2;3), |
С(–1;– 4); |
10. |
А(–1;3), |
В(4;1), |
С(0;–3); |
11. |
А(4;0), |
В(–1;–3), |
С(–2;– 6); |
12. |
А(– 4;0), |
В(2;3), |
С(1;–2); |
13. |
А(–3;1), |
В(2;2), |
С(0;–2); |
14. |
А(4;2), |
В(–2;3), |
С(1;–2); |
15. |
А(5;1), |
В(1;6), |
С(–2;0); |
16. |
А(– 6;2), |
В(2;3), |
С(1;– 4); |
17. |
А(–3;– 4), |
В(–1;3), |
С(4;1); |
18. |
А(–1;–3), |
В(– 6;2), |
С(2;3); |
19. |
А(5;3), |
В(– 4;2), |
С(3;– 4); |
20. |
А(4;–3), |
В(–3;– 4), |
С(–1;4); |
21. |
А(– 4;– 4), |
В(3;3), |
С(5;–2); |
22. |
А(– 6;–1), |
В(5;2), |
С(–1;1); |
23. |
А(–1;–5), |
В(1;–3), |
С(–2;6); |
153
24. |
А(– 4;1), |
В(4;–1), |
С(1;–2); |
25. |
А(–1;5), |
В(6;1), |
С(1;–1); |
26. |
А(– 6;–2), |
В(–1;8), |
С(6;1); |
27. |
А(–3;3), |
В(5;6), |
С(1;– 4); |
28. |
А(– 4;4), |
В(–1;–5), |
С(4;–2); |
29. |
А(2;2), |
В(– 4;3), |
С(–1;– 6); |
30. |
А(–3;– 4), |
В(6;1), |
С(2;– 6). |
Задача 2. Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду. Сделать чертеж в системе координат xOy . Определить ко-
|
|
ординаты вершин и фокусов. |
|
|
|
Варианты: |
|
|
|
1. |
3x2 + 4 y2 −12x +16 y = 0 . |
16. |
2x2 − 4 y2 +16x − 25 = 0. |
|
2. |
5x2 −6 y2 + 20x −12 y = 0 . |
17. |
−2x2 + 4 y2 +8x −8y = 0 . |
|
3. |
−8x2 + 2 y2 +16x −10 y = 0 . |
18. |
x2 + 4 y2 −8x +8y + 2 = 0 . |
|
4. 12x2 −8y2 + 24 y −36x = 0 . |
19. |
3x2 + 6x − y2 + 2 y + 4 = 0 . |
||
5. |
4x2 +12 y2 −8x + 24 y = 0 . |
20. |
4x2 − y2 − 4x −6 y = 6 . |
|
6. |
−x2 + 4 y2 + 4x −16 y =8. |
21. |
y2 −6x2 +18x + 2 y = 0 . |
|
7. |
x2 +8y2 −12x −16 y + 2 = 0. |
22. |
x2 − y2 + 4x −6 y = 0 . |
|
8. |
2x2 −8y2 −6x +16 y = 0 . |
23. |
4x2 + y2 +12x − 4 y = 0 . |
|
9. |
−8x2 +6 y2 −16x +12 y = 0 . |
24. |
x2 + 4 y2 −6x + 4 y = 0 . |
|
10. |
6x2 −8y2 − 24x +16 y = 0 . |
25. |
6x2 −8y2 +12x + 24 y = 6 . |
|
11. |
2x2 −6 y2 −12x −12 y + 4 = 0 . |
26. |
−4x2 −8y2 +8x −16 y = 0 . |
|
12. |
−3x2 −6 y2 +12x + 24 y = 0 . |
27. |
2x2 −4 y2 −6x +8y =5 . |
|
13. |
4x2 + 6 y2 +8x − 24 y = 0 . |
28. |
−x2 + 4 y2 − 2x +16 y = 4 . |
|
14. |
3x2 − y2 −12x + 2 y = 0 . |
29. |
−4x2 − y2 +8x − 2 y = 0 . |
|
15. |
x2 +3y2 −6x +12 y =1. |
30. |
2x2 −6 y2 +6x −12 y = 6 . |
Задача 3. Для пирамиды ABCD определить:
●уравнения граней;
●угол между гранями ABC и ABD;
●объем.
Варианты:
1. |
A (4,2,5), |
B (0,7,2), |
C (0,2,7), |
D (1,5,0); |
154
2. |
A (4,4,10), |
B (4,10,2), |
C (2,8,4), |
D (9,6,4); |
3. |
A (4,6,5), |
B (6,9,4), |
C (2,10,10), |
D (7,5,9); |
4. |
A (3,5,4), |
B (8,7,4), |
C (5,10,4), |
D (4,7,8); |
5. |
A (10,6,6), |
B (–2,8,2), |
C (6,8,9;), |
D (7,10,3); |
6. |
A (1,8,2), |
B (5,2,6), |
C (5,7,4), |
D (4,10,9); |
7. |
A (6,6,5), |
B (4,9,5), |
C (4,6,11), |
D (6,9,4); |
8. |
A (7,2,2), |
B (5,7,7), |
C (5,6,8), |
D (8,10,7); |
9. |
A (8,6,4), |
B (10,5,5), |
C (5,3,1), |
D (2,3,7); |
10. |
A (7,7,3), |
B (6,5,8), |
C (3,5,8), |
D (8,4,1); |
11. |
A (3,5,4), |
B (5,8,3;), |
C (1,9,9), |
D (6,4,8); |
12. |
A (9,5,5), |
B (–3,7,1), |
C (5,7,8), |
D (6,9,2); |
13. |
A (0,7,1), |
B (4,1,5), |
C (4,6,3), |
D (3,9,8); |
14. |
A (6,1,1), |
B (4,6,6), |
C (4,2,0), |
D (1,2,6); |
15. |
A (2,4,3), |
B (4,7,2), |
C (0,8,8), |
D (5,6,11); |
16. |
A (8,4,4), |
B (– 4,6,0), |
C (4,6,7), |
D (5,8,1); |
17. |
A (–1,6,0), |
B (3,0,4), |
C (3,5,2), |
D (0,1,5); |
18. |
A (5,0,1), |
B (3,5,5), |
C (3,1,–1), |
D (2,8,7); |
19. |
A (1,–1,2), |
B (–3,4,–1), |
C (–3,–1,4), |
D (–2,2,3); |
20. |
A (1,3,2), |
B (3,6,1), |
C (–1,7,7), |
D (4,2,6); |
21. |
A (–2,5,–1), |
B (2,4,4), |
C (2,4,1), |
D (1,7,6); |
22. |
A (4,–1,1), |
B (2,1,3), |
C (2,4,1), |
D (4,7,0); |
23. |
A (0,2,1), |
B (2,5,0), |
C (–2,6,6), |
D (3,1,5); |
24. |
A (6,2,2), |
B (– 6,4,2), |
C (2,4,5), |
D (3,6,–1); |
25. |
A (–3,4,–2), |
B (1,–2,2), |
C (1,3,0), |
D (0,6,5); |
26. |
A (1,4,7), |
B (–2,4,1), |
C (– 4,0,2), |
D (8,–1,5); |
27. |
A (1,5,0), |
B (0,2,7), |
C (0,7,2), |
D (4,2,5); |
28. |
A (9,6,4), |
B (2,8,4), |
C (4,10,2), |
D (3,4,10); |
29. |
A (7,5,9), |
B (2,7,10), |
C (6,9,4), |
D (4,6,5); |
30. |
A (4,7,8), |
B (5,10,4), |
C (8,7,4), |
D (3,5,4); |
6.2. Расчетно-графическая работа 2 «дифференциальное исчисление»
РГР 2 включает три задачи с общими для всех 30 вариантов условиями, но разными исходными данными.
155
Задача 1. Продифференцировать функции.
Варианты:
1. |
|
x3 −63 |
x2 + 7 |
|
|||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
3x |
−1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y =(ln 2x +1)e−x , |
|
|||||||
в) |
y = |
1 tg2 3x , |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = 4 − 4 x2 − 4x , |
|
|||||||
д) |
y = arcsin 2 . |
|
|
|
|
|
|||
3. а) |
|
x |
|
|
|
|
|
||
y = |
3 −3x + x3 |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
2x − |
x |
|
|
|
|
|
|
б) |
y =(4 −3ln x)e−2x , |
||||||||
в) |
y = 2cos2 ( |
6x + 2), |
|||||||
г) |
y = 63 (2x −3)2 , |
|
|
|
|||||
д) |
y = arcsin (x +1). |
|
|||||||
5. |
|
(2x −1)2 |
|
|
|
|
|
||
а) |
y = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
x3 −3 |
x |
|
|
|
|
|
|||
б) |
y =(ln 7x +1)e3x , |
|
|||||||
в) |
y = 4sin (x2 + 2), |
|
|||||||
г) |
y = 3 x2 − x +1 , |
|
|
|
|||||
д) |
y = arccos x2 . |
|
|
|
|
|
|||
7. |
y = |
x4 −4 |
x +1 |
, |
|
|
|||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
||
(3x −1)2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
y =(2 −log3 x)e−4x , |
||||||||
в) |
y = 2cos3 (2x +3), |
||||||||
г) |
y = 63 x3 −3x +3 , |
2. |
y = |
124 x3 |
− x2 − 4 |
, |
||||||||||
а) |
|
|
x2 |
+ 2x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
y =(e2x − 2)ln3x , |
|
||||||||||||
в) |
y = 4sin (3x −1), |
|
|
|
||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 +1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
д) |
y = |
|
1 arctg |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. а) |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
3x2 + 63 x , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x2 −5 |
|
|
|
||||||||
б) |
y =(2x + e−x )ln (x −3), |
|||||||||||||
в) |
y =3ctg2 (x +3), |
|
|
|
||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+ 4x |
|
|
|
|||||||||
д) |
y = arctg(3x − 2). |
|
|
|||||||||||
6. |
y = |
84 |
x − x3 + x |
, |
|
|
||||||||
а) |
|
2x3 |
−7 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y =(ex+1 − 4)log2 3x , |
|||||||||||||
в) |
y =5sin ( |
|
x −1), |
|
|
|||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 1−3x4 |
|
|
|
||||||||
д) |
y = arctg4x2 . |
|
|
|
||||||||||
8. |
y = |
|
6 −63 |
x2 + x2 |
, |
|
||||||||
а) |
|
(2x |
−1)2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y =(3 −ex2 )ln5x , |
|
|
|||||||||||
в) |
y = 3tg(x3 −3x), |
|
|
|||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3x2 + 6x |
|
|
|
156
д) |
y = 2arcsin |
x |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin x −84 x3 |
|
|
|
|||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
x |
− |
2x3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y =(ln x −3)e2x+4 , |
|
||||||||||||
в) |
y = |
|
1 sin (x3 +3), |
|
||||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
y = |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1− 4x3 |
|
|
|
||||||||
д) |
y = arctg (−x2 ). |
|
|
|
||||||||||
11. |
|
|
2x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
y = |
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|||||
|
x + |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 x |
|
|
|
||||||||
б) |
y = ln (2x2 −1)e2x2 , |
|||||||||||||
в) |
y =3ctg(3 x −1), |
|
||||||||||||
г) |
y = 3 (2x2 −5)2 , |
|
||||||||||||
д) |
y = 12 arcsin (1− x2 ). |
|||||||||||||
13. |
y = |
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
, |
||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2(2 |
+ |
3 x − x3 ) |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
б) |
y = (1+ e−x )ln (x3 ), |
|||||||||||||
в) |
y = |
|
sin 2x , |
|
|
|
||||||||
г) |
y = 7 14x − 2x7 , |
|
|
|
||||||||||
д) |
y = arctgex . |
|
|
|
||||||||||
15. |
y = |
105 |
x2 −3x3 |
, |
|
|
||||||||
а) |
|
2x −33 x4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y = e4−x (ln 2x +5), |
д) |
y = arccos(2x −1). |
|
|||||||||||
10. |
|
5 − 44 |
x3 +3x2 |
|
|||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
2x − x3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y =(esin x − 2)ln x , |
|
|||||||||||
в) |
y = cos2 (4x + 2), |
|
|||||||||||
г) |
y = 205 x4 +3x2 −7 , |
||||||||||||
д) |
y = arctg 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −33 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
y = |
|
|
, |
|
|
|
||||||
|
|
1− x5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y =(2 −e−3x )ln x2 , |
|
|||||||||||
в) |
y = 14 sin (1− 2x2 ), |
|
|||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 6 −3x + x3 |
|
||||||||||
д) |
y = |
1 arcsin 4x2 . |
|
||||||||||
14. |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6x |
2 |
− x |
5 |
+3 , |
|
|
|||||||
а) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
63 x2 − x |
|
|
|
|
|||||||
б) |
y =(1−ln (x3 ))e−2x+4 , |
||||||||||||
в) |
y = |
1 cos(4x − x2 ), |
|||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
3 3x2 |
−6x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
y = arcsin |
(1−3x). |
|
||||||||||
16. |
y = 2x |
2 |
− |
3x |
5 |
+7 , |
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
84 x5 − 2x |
|
||||||||||
б) |
y =(ex2 + x3 )ln (1− 2x), |
157
в) |
y = |
|
1 cos3 |
(x −3), |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
y = 6 (x2 −6x +1)3 , |
||||||||||
д) |
y = arcsin (1− 2x). |
||||||||||
17. |
y = |
|
4x2 −55 x7 |
, |
|
||||||
а) |
|
1−63 x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
y = ln (1− 2x2 )e4−3x , |
||||||||||
в) |
y = 4cos6 (2x − 4), |
||||||||||
г) |
y = |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1−e2x |
|
|
|
|||||
д) |
y = arccos |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
19. |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||
|
123 x4 − 2x |
4 |
|
||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
3x +155 x |
|
|
||||||||
б) |
y =(ln x −3x)e3x , |
||||||||||
в) |
y = cos(tg3x), |
|
|
|
|||||||
г) |
y = 3 sin2 x + 4 , |
||||||||||
д) |
y = arccos x3 , |
|
|
|
|||||||
21. |
|
|
x4 − 205 x4 |
|
|
|
|||||
а) |
y = |
|
|
|
|
, |
|||||
|
4 x + x2 |
|
|||||||||
б) |
y =(e−3x + x3 )ln 3 x , |
||||||||||
в) |
y = sin (2ex ), |
|
|
|
|||||||
г) |
y = |
|
4 x + x2 , |
||||||||
д) |
y = arctg6x3 . |
|
|
|
|||||||
23. |
|
|
3 5x4 − x4 |
|
|
|
|||||
а) |
y = |
|
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
|||||||
4 + 63 2x |
|
|
|
в) |
y = 4tg3x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
(1+ 2x −3x3 ) |
|
|
||||||||
д) |
y = arctg(2 −3x). |
|
|
||||||||||
18. |
y = |
|
6x −10 |
|
x |
|
, |
|
|
||||
а) |
|
|
|
|
|||||||||
|
(2x −3)4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
y =(4x −e−8x )ln (5x −1), |
||||||||||||
в) |
y = ln (cos2x), |
|
|
||||||||||
г) |
y = |
1 4 |
(x3 −3x)3 , |
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
y = arctg |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
4x − x |
7 |
+1 |
, |
|
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|||||||||
|
93 x − x3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
y = e1−x2 ln (2x + x2 ), |
||||||||||||
в) |
y = ln (tg2x), |
|
|
|
|||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
1− |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
y = arcsin (1+ x3 ). |
|
|
||||||||||
22. |
y = |
1 −63 x2 + |
6x |
, |
|||||||||
а) |
|
|
x3 − |
|
3x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
y =(e x + x )ln x , |
||||||||||||
в) |
y = lg(1 −cos2x), |
|
|
||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x +5x |
|
|
|
||||||||
д) |
y = arcsin (2x +1). |
|
|
||||||||||
24. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = |
|
4x2 −63 x |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
7x3 +3x7 |
|
|
|
158
б) |
y = ln x3 (x2 −e−x ), |
||||||||||||
в) |
y = cos(ln (−3x)), |
||||||||||||
г) |
y = 6 − 3 4x2 , |
|
|||||||||||
д) |
y = arcsin |
|
1 |
|
|
. |
|
||||||
x |
+ |
1 |
|
||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
6x |
2 |
− 2x |
6 |
|
, |
|
||||||
а) |
|
|
|
|
|
||||||||
23 x +3 |
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
y =(2x2 −e4x )ln (1 − 4x), |
||||||||||||
в) |
y = tg(ln x), |
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
y = 3 e3x + x3 , |
|
|
||||||||||
д) |
y = arctg |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
16 + x4 |
+ |
3 x |
, |
|||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
123 x5 −10x7 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
б) |
y = ex2 +2 ln 5x , |
|
|
||||||||||
в) |
y = cos(e3x ), |
|
|
|
|
||||||||
г) |
y = 3 ex3 − x3 , |
|
|
||||||||||
д) |
y = arctg5 |
|
x . |
|
|
||||||||
29. |
|
6x2 −93 x7 |
|
|
|||||||||
а) |
y = |
|
|
||||||||||
5x −55 x , |
|
||||||||||||
б) |
y = ln (4x3 )(4 −e−4x ), |
||||||||||||
в) |
y = tg 2 (4 −5x), |
|
|||||||||||
г) |
y = |
1+ |
1 |
− x , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
д) |
y = arcsin 4 |
x . |
|
б) |
y = ln (1− x3 )(ex − x3 ), |
|||||||||||||||
в) |
y = cos(2sin x), |
|
||||||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 6 − |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = arccos3x2 . |
|
||||||||||||||
26. |
15 |
|
|
|
10 |
+15 |
|
|
||||||||
а) |
y = |
x |
|
+3x |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
105 x2 −510 x9 |
|
||||||||||||||
б) |
y = ln (x2 +3)e−x3 , |
|
||||||||||||||
в) |
y = ln (4cos4x), |
|
||||||||||||||
г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 −ex |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
y = arcsin |
x . |
|
|||||||||||||
28. |
4 |
|
x +33 x |
|
||||||||||||
а) |
y = |
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
(x3 − 2x5 )2 |
|
|||||||||||||||
б) |
y =(4x2 + e−x )ln3x , |
|||||||||||||||
в) |
y = tg(e2x ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||
г) |
|
(1−e−x ) |
3 |
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
y = arctg |
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
4 − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
147 x3 −3x2 |
|
|||||||||||||||
а) |
y = |
|
|
, |
|
|||||||||||
(2 −3x2 )2 |
|
|||||||||||||||
б) |
y =(15x −3e5x )ln (15 −5x), |
|||||||||||||||
в) |
y = cos4 |
|
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4 x2 + 4 x |
|
|||||||||||||
д) |
y = arccos 3 x2 . |
|
159
Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой x = x0 .
Варианты:
1.y = 4x −2 x2 ,
3.y = 2x − x3 ,
5. y = 2x + x3 ,
7.y =1 +x x ,
9.y =1−3x +3x2 ,
11. |
y =33 x + |
|
x , |
||||
13. |
y = 2x3 −3x , |
||||||
15. |
y = 2x + |
1 |
, |
||||
|
|
|
|
x |
|
||
17. |
y = |
x5 |
+1 |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|||
x3 |
+ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
||||
19. |
y =3(3 x − 2 x ), |
21. y = 2x2x+1 , 23. y =1+2xx2 ,
25. y = x2 +3 ,
1+3x
27. y =55 x −34 x ,
29. y = x4 + 3 ,
10 x
x0 = 2 .
x0 = −1.
x0 =1.
x0 = 4 .
x0 =1.
x0 = 64 .
x0 = −1.
x0 =1.
x0 = 2 .
x0 =1.
x0 = −1.
x0 = 4 .
x0 =1.
x0 =1.
x0 = −2 .
2. |
y = 2x2 +5x − 2 , |
x0 = −2 . |
|||||||||
4. |
y = x3 −8 x −32 , |
x0 =1. |
|||||||||
6. |
y = 23 x2 −10 , |
x0 = −8 . |
|||||||||
8. |
y = 44 x −60 , |
x0 =16 . |
|||||||||
10. |
y = |
x2 −3x + 6 |
, |
x0 = 2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||
12. |
y = |
x3 + 2 |
|
|
, |
|
|
x0 = −2 . |
|||
x3 −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
y = |
x2 + 6 |
|
, |
|
|
x0 = −1. |
||||
x4 +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
y = − |
x8 +3 |
, |
x0 =1. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1− 2x |
|
||||||
18. |
y = |
x16 +9 |
, |
x0 =1. |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1− 2x5 |
|
||||||||
20. |
y = |
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
x0 = 2 . |
|
2 |
+5x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
y = |
x2 + 2 |
, |
|
|
x0 = −3. |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2x |
x + 3 x2 ), |
|
|||||
24. |
y = −2(3 |
x0 =1. |
|||||||||
26. |
y = 4 |
x −123 x +1, |
x0 =1. |
||||||||
28. |
y = 2x3 −3x , |
x0 = −1. |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
30. |
y =16 4 x −33 x , |
x =1. |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160