Задача 3. Провести полное исследование и построить графики функций.
Варианты:
|
|
|
|
|
1. |
а) y = x −53 x2 , |
|
б) y =13x2 − x4 −36 . |
3. |
а) y =5x + 3 x2 , |
|
б) y = x4 −10x2 +9 . |
5. |
а) |
y = 2x + 43 x2 , |
|
б) y = x5 − x3 − 2 . |
7. |
а) |
y = x + 23 x2 , |
|
б) |
y = x3 +12x . |
9. |
а) y = ln (x2 +9), |
|
б) |
y = x4 −2x2 . |
11. |
а) |
y = 3x +53 x2 , |
|
б) y =1− x2 + |
x4 |
. |
|
|
13. |
|
8 |
|
а) |
y = −2x +53 x2 , |
|
б) |
y =16x(x −1)3 . |
15. |
а) |
y = 2x + 3 x2 , |
|
б) y =3x4 −8x3 + 6x2 . |
2. а) |
y = −x +53 x2 , |
|
б) y =5x2 − x4 −6 . |
4. а) y = 4x − 23 x2 , |
|
б) y = x4 −3x2 + 4 . |
6. а) |
y = −x +33 x2 , |
|
б) |
y =(x −3)2 (x − 2). |
8. а) y = ln (x2 +1), |
|
б) |
y = x5 +12x . |
|
|
10. |
а) |
y =(x − 2)e3−x , |
|
|
|
x4 |
− x2 |
|
|
б) y =3 |
|
|
|
. |
|
2 |
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y = −5x + 23 x2 , |
|
б) y = x2 + |
x3 |
− |
x4 |
. |
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
а) |
y =5x − 23 x2 , |
|
б) y =(1− x2 )(1− x3 ). |
16. |
а) |
y = −4x +33 x2 , |
|
б) |
y = |
x4 |
|
− 2x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
а) |
y = −3x − 43 x2 , |
18. |
а) |
y =3x + 43 x2 , |
|
б) y = |
x3 |
|
+ x2 . |
|
|
|
б) y = |
x3 |
− x2 |
−3x . |
|
3 |
|
|
|
|
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
3 |
|
|
|
|
а) |
y =(x +1)e−2x , |
а) |
y = 2x −33 x2 , |
|
|
y |
|
x |
|
(x |
|
2) |
2 |
. |
|
|
( |
) |
|
|
|
б) |
|
= |
|
3 |
|
|
+ |
|
|
|
б) y = x2 1− x |
|
. |
|
21. |
а) |
y = 2x + 63 x2 , |
22. |
а) |
y = 2 + ex−6 , |
|
|
|
б) |
y = |
x4 |
|
− x3 . |
|
|
|
б) |
y =1− 2x2 − |
x4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
4 |
|
|
|
4 |
23. |
а) |
y =(x + 4)e2x , |
|
б) |
y = 4x − |
|
x3 |
. |
25. |
|
3 |
|
y = e−x2 , |
|
|
а) |
|
|
|
|
б) |
y = 4x − |
x2 |
|
. |
27. |
2 |
а) |
y = xex , |
|
|
|
б) y = 2x3 −3x2 .
29.а) y = ex +e−x ,
б) y = x4 −8x2 −9 .
24. а)
б)
26. а)
б)
28.а)
б)
30.а)
б)
y = ln (2x2 +3), y = x(x2 −1)3 .
y = e2x−x2 ,
y = x4 −2x2 −8 .
y = ex −e−x ,
y = 16 x3 (x2 −5). y = ln (x2 + 4),
y =(x + 4)2 (x −5).
6.3. Расчетно-графическая работа 3 «неопределенные интегралы»
РГР 3 включает четыре задачи с общими для всех 30 вариантов условиями, но разными исходными данными.
Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы, используя внесение под знак дифференциала.
Варианты:
1.∫xe3x2 dx .
2.∫cos x 1 −sin xdx .
3.∫costg2xxdx .
4.∫x5x+4 5 dx .
5.∫lnx3 x dx .
6.∫arctg1+ x22xdx .
11.∫sinxln xdx .
12.∫e xx dx .
13.∫cos хе2sin xdx .
14.∫ xx23d−x1 .
15.∫x2−x2 dx .
16.∫(1 + lnx x)2 dx .
|
21. |
∫ |
(arctgx +1)3 |
dx . |
|
1+ x2 |
|
|
|
22.∫x dlnx x .
23.∫x2 cos2 x3dx .
24.∫cossinxdxx .
25.∫tgx dcosx 2 x .
1−ctgx
26.∫ sin2 x dx .
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∫ |
|
|
|
|
. |
17. |
∫ |
|
x dx |
. |
|
27. |
∫e x2 dx . |
|
arcsin x 1− x2 |
|
cos x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
8. |
∫ |
|
xdx |
. |
18. |
∫ |
|
|
|
dx . |
28. |
∫sin24 x dx . |
|
|
2 2 |
3 |
3 |
+1 |
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
4x |
|
|
cos x |
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
∫ |
. |
19. |
∫ |
x |
dx . |
29. |
∫x 32x2 −1dx . |
|
e3x3 |
|
sin2 x3 |
|
10. |
∫ |
|
ctg |
x |
dx . |
20. |
∫ |
2arctg x |
|
dx . |
30. |
∫x2 1−3x3 dx . |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы, используя замену переменных.
Варианты:
1.∫sin (2x −1)dx .
2.∫4x−dxx2 .
3. |
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 4x2 |
4. |
∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
|
xdx |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16x − |
1 |
|
|
6. |
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
. |
|
1 |
+16x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 + x2 |
8. |
∫ |
|
|
xdx |
. |
|
x |
2 |
|
|
|
|
− 25 |
9. |
∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
2 |
|
|
|
cos 3x |
10. |
∫24x dx . |
11.∫xx2d+x9 .
12.∫ 36xd−xx2 .
|
13. |
∫ |
xdx |
|
. |
|
1 −36x2 |
|
|
|
|
|
|
14. |
∫ |
xdx |
|
. |
|
x2 −36 |
|
|
|
|
15.∫4 +xd9xx2 .
16.∫9 −xd6xx2 .
17.∫3xx2d−x 4 .
18.∫ 4x−d9xx2 .
|
19. |
∫ |
xdx |
. |
|
16 +9x2 |
|
|
|
|
|
20. |
∫ |
xdx |
|
. |
|
5x2 + 25 |
|
|
|
|
|
21.∫ 9xd−xx2 .
22.∫4xx2d−x 3 .
23.∫6 −xd4xx2 .
24.∫25xxd2 x+ 4 .
xdx
25. ∫4x2 +15 .
xdx
26. ∫10x2 +100 .
xdx
28. ∫ 25x2 −16 .
xdx
29. ∫ 4x2 +9 .
xdx
30. ∫2x2 +16 .
Задача 3. Проинтегрировать выражения, содержащие квадратный трехчлен.
Варианты:
1. |
∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
11. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
21. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
1 − x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 −12x +3 |
2x2 − 4x +3 |
2. |
∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
12. |
∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
22. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4x |
2 |
+ 6x − |
|
|
|
|
4x |
2 |
−8x + |
2 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8x +5 |
3. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
13. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
23. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 −3x +3x |
2 |
|
|
|
2x |
+ 4x |
2 −8x + 7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
14. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
24. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
∫ 2x2 + 4x −3 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 + 6x −1 |
|
6 −6x − x2 |
5. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
15. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
25. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
1− 4x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
5x2 −10x +3 |
5 −6x +3x2 |
6. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
16. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
26. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −8x − 4x2 |
|
|
|
|
2x2 + 6x + 7 |
|
|
|
2x2 −8x −5 |
7. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
17. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
27. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
∫ 4x2 +8x −3 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + 6x −3x2 |
|
2x2 +12x +1 |
8. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
18. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
28. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − 2x − 2x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
− 2x − |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+12x −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
19. |
∫ |
|
|
dx |
|
. |
29. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −6x − x2 |
3x2 + 6x −7 |
|
|
|
4x2 −8x + 2 |
10. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
20. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
30. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
+ 6x |
−7 |
|
|
6 −9x + 2x |
2 |
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6x +1 |
|
Задача 4. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интег- |
|
Варианты: |
|
рирования по частям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫xe−3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
∫arctg6xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
∫2xcos 4xdx . |
2. |
∫arctg2xdx . |
|
|
|
|
|
12. |
∫xe−2xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. ∫(−3x)cos4xdx . |
3. |
∫2xe3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
∫xe−4xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
∫(x +5)sin 2xdx . |
4. |
∫xcos 2xdx . |
|
|
|
|
|
14. |
∫arctg3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
∫(2 − x)sin3xdx . |
5. |
∫xsin 4xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
∫arctg5xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
∫(x +3)sin3xdx . |
6. |
∫xe5xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
∫arctg2 xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
∫(x −10)sin 4xdx . |
7. |
∫xe2xdx . |
17. |
∫5xcos 2xdx . |
27. |
∫( |
2 − x)sin 2xdx . |
8. |
∫ln (x + 4)dx . |
18. |
∫3xcos5xdx . |
28. |
∫ |
|
xdx |
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
9. |
∫ln (4x +1)dx . |
19. |
∫xcos |
2xdx . |
29. |
∫ |
|
xdx |
. |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
10. |
∫xsin 2xdx . |
20. |
∫4xsin |
3xdx . |
30. |
∫xsin2 xdx . |
6.4. Расчетно-графическая работа 4 «дифференциальные уравнения»
РГР 4 включает одну задачу с общим для всех 30 вариантов условием, но разными исходными данными.
Задача 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.
Варианты:
1.(x +1)dx +(y −1)dy = 0 .
3.y′− y = e2x .
5.y′−2 y = e−x .
7.y′′=3x2 −4x +1.
9.y′′+ 2 y′ = 0 .
11. 9 y′′+ y = 0 .
13.y′′−6 y′+13y = 0 .
15. 9 y′′−6 y′+ y = 0 .
17.y(V ) =120 .
19.xy′′′ =1.
21.y′tg2x − y = 4.
23.x y′+ y = y2.
25.xy′+ y = ex.
27.yy′′+ x = 0.
29. y′′− y′+ 2 y = 0
2.ye2xdx +(1 + e2x )dy = 0 .
4.xy′− 2 y = x3 + x .
6.y′+1−xx2 y =1.
8.y′′=3y′.
10. |
(1+ x2 )y′′− 2xy′ = 0 . |
12. |
4 y′′− y = 0 . |
14.y′′− 4 y′+5y = 0 .
16.y′′′ = e−x .
18.xy′− y = 0.
20.xy′− y = x2e−x .
22. |
y′ = |
y ln x. |
24. |
′ |
|
y |
=1. |
(1+ y )e |
|
26.y′− ytgx = cos1 x .
28.x2 y′′+ x y′ =1.
30.y′′ = −25y
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие позволит студентам ускоренной формы обучения выполнить контрольные работы и подготовиться к экзамену, так как включает необходимые теоретические сведения по курсу высшей математики и примеры решений задач, входящих в контрольные работы студентов – ускоренников.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 544 с.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. –
М.: Наука, 1973. – 870 с.
Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П. Е.
Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.– М.: Издательский дом «ОНИКС 21
Век»: Мир и Образование, 2003. – 720 с.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. – М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. – 640 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 2 т. / Н.
С. Пискунов. – М.: ИНТЕГРАЛ–ПРЕСС, 2002. – 1032 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов.– СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 304 с.
Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике / П.Ф. Фильчаков. – Киев. Наукова думка, 1972. – 744 с.
Шипачев В. С. Высшая математика / В. С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.
166
Учебное издание
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ АЛЕЙНИКОВ ВИТАЛИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ ГОРЯЙНОВ
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
для студентов, обучающихся по специальности 270205 «Автомобильные дороги и аэродромы» ускоренной формы обучения
Компьютерный набор и верстка Горяйнова В.В. Оформление обложки Алейникова С.М.,
Горяйнова В.В., Танкеева А.С.
Подписано в печать 14.09.2009. Формат 60 х 84 1/16. Уч.–изд. л. 10,44.
Усл. печ. л. 10,54. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № .
Отпечатано: отдел оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно–строительного университета 394006 Воронеж, ул. 20–летия Октября, 84
167
