Учебное пособие 1691

ференциальное уравнение первого порядка, которое можно решать заменой

равнивая нулю выражение в скобках: υ′+υtg x = 0 . Относительно функции υ это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

1.Запишем в нем υ′ в виде ddυx . Имеем ddυx +υtg x = 0 .

2.Разделяем переменные: ddυx = −υtg x , dυυ = − tg xdx (υ ≠ 0).

3.Интегрируем: ∫dυυ = − ∫tg xdx , ln υ = ln cos x + ln C1 .

Примем C1 =1 и окончательно получим ln υ = ln cos x .

Выразим функцию υ : eln υ = eln cos x и υ = cos x .

Далее подставляем найденное значение υ = cos x в исходное ДУ и учиты-

4.4.Дифференциальные уравнения высших порядков

4.4.1.Основные определения

Дифференциальными уравнениями высших порядков называются ДУ порядка выше первого.

Как отмечалось ранее (см. п. 4.1.), ДУ n – го порядка в общем виде записывается так

Начальные условия для ДУ n – го порядка записывается в виде

131

Задача Коши для ДУ n – го порядка ставится следующим образом: найти решение ДУ(4.21), удовлетворяющее заданным начальным условиям (4.22).

Общим решением дифференциального уравнения n – го порядка (4.21) называется функция

зависящая от n произвольных постоянных C1,C2 ,…,Cn и такая, что:

•она удовлетворяет уравнению (4.21) при любых значениях постоянных

C1,C2 ,…,Cn ;

•при заданных начальных условиях (4.22) существуют единственные

неявно определяющие решение, соответственно называются общим или част-

ным интегралом ДУ n – го порядка.

Задача нахождения решения ДУ n – го порядка сложнее, чем первого.

Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков, в основном,

сконцентрировав внимание на ДУ второго порядка F (x, y, y′, y′′) = 0 или

Исходя из сформулированных основных определений для ДУ n – го по-

рядка, можно записать аналогичные понятия и определения и для ДУ вто-

рого порядка. Например: общим решением ДУ второго порядка (4.24) является функция, зависящая от двух произвольных постоянных C1 и C2 ; начальные

132

Решение. Данное уравнение имеет вид (4.27). Следовательно, для отыскания общего решения его необходимо четырежды проинтегрировать по переменной x:

y′′′ = ∫sin xdx = −cos x +C1 ,

y′′ = ∫(−cos x +C1 )dx = −sin x +C1x +C2 ,

Таким образом, общее решение исходного уравнения четвертого поряд-

ка y =sin x + C61 x3 + C22 x2 +C3x +C4 зависит от четырех произвольных посто-

янных.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Пусть дано уравнение второго порядка вида

не содержащее искомую функцию y(x) явно.

Такое уравнение следует решать с помощью замены

134

где P = P(x) – новая неизвестная функция, зависящая от х.

В результате замены (4.32) получаем ДУ первого порядка

из которого следует искать P = P(x).

Если уравнение (4.30) известного нам типа (с разделяющимися переменными, линейное или др.), то мы сможем найти его общее решение – функцию P =ϕ(x,C1 ), где C1 произвольная постоянная.

Далее, вспоминая формулу замены, y′= P снова приходим к дифференциальному уравнению первого порядка y′ =ϕ(x,C1 ), в котором переменные всегда будут разделяться.

После разделения переменных ddxy =ϕ(x,C1 ), d y =ϕ(x,C1 )dx и интегри-

рования ∫d y = ∫ϕ(x,C1 )dx получаем общее решение исходного ДУ (4.28)

y = ∫ϕ(x,C1 )dx = Φ(x,C1 )+C2 ,

где Φ(x,C1 ) – первообразная функции ϕ(x,C1 ).

Пример 4.4. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′x = y′.

Решение. Определяем тип исходного ДУ. Данное уравнение второго порядка и не содержит явно искомую функцию y(x). Значит, оно допускает по-

ного ДУ первого порядка: оно разрешено относительно производной и функция в правой части ДУ f (P, x) имеет вид произведения двух функций, каждая из

135

y′= P = xC1 . Как говорилось выше, в этом ДУ переменные разделяются:

ddxy = xC1 и d y = xC1dx . Интегрируем ∫d y = C1∫xdx и получаем общее решение

исходного ДУ: y =C1 x2 +C2 . 2

которое не содержит явно независимую переменную х.

Для понижения порядка уравнения (4.31) введем новую функцию P = P(y), зависящую от переменной у. Обозначим y′ = P(y) и продифферен-

цируем это равенство по х, учитывая, что P = P(y(x)):

из которого будем искать функцию P = P(y).

Пусть P =ϕ(y,C1 ) является общим решением ДУ (4.33). Заменяя функцию P(y) на у', снова получаем дифференциальное уравнение первого порядка y′ =ϕ(y,C1 ) – с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим об-

щий интеграл уравнения (4.31):

136

Решение. Это уравнение не содержит явно независимую переменную х. Произведя замену y′ = P(y), y′′ = P′(y) P , получим уравнение 2 yP′P − P2 =1.

Определим тип, полученного ДУ первого порядка. Для этого выразим из него

P′:

Видим, что ДУ (4.34) является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его

Интегрируя, найдем общее решение:

что y′= 0 когда y =1. Подставив эти значения в (4.35), получим

0 = ± 1 C1 −1 , 0 =1 C1 −1 C1 =1 .

137

Уравнение (4.39) называется характеристическим уравнением ЛОДУ

(4.37). Если k будет являться решением уравнения (4.39), то ekx будет решением ЛОДУ (4.37). Следовательно, чтобы проинтегрировать ЛОДУ (4.37) необходимо решить его характеристическое уравнение, которое является квадратным уравнением. Как известно, квадратное уравнение всегда имеет два корня: обозначим их k1 и k2 . Тогда

Для составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (4.37) заменить у", у' и у соответственно на k2 , k и 1.

При решении характеристического уравнения (4.37) возможны три слу-

чая.

1. Корни k1 и k2 характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 различ-

ные действительные числа. В этом случае общее решение уравнения (4.37) имеет вид

действительные числа. В этом случае общее решение уравнения (4.37) имеет вид

плексные числа: k1 =α +iβ и k2 =α −iβ . Общее решение уравнения (4.37) мо-

139

Пример 4.6. Найти общее решение ЛОДУ y′′+3y′− 4 y = 0 . Решение. Составляем характеристическое уравнение:

k2 +3k − 4 = 0 .

Корни характеристического уравнения получились различные действительные числа. Поэтому, записываем общее решение данного уравнения, пользуясь формулой (4.40):

y =C1ex +C2e−4x .

Пример 4.7. Найти общее решение ЛОДУ y′′−8y′+16 y = 0 . Решение. Составляем характеристическое уравнение:

Так как корни характеристического уравнения получились равные действительные числа, то, используя формулу (4.41), запишем общее решение исходного ЛОДУ в виде

y = e4x (C1 + xC2 ).

Пример 4.8. Найти общее решение ЛОДУ y′′− 2 y′+ 2 y = 0 . Решение. Записываем характеристическое уравнение

k2 − 2k + 2 = 0 .

Решаем его:

140