Учебное пособие 1691

окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность (рис. 1.26).

уε = 0

ε=12

ε = 23

х

Рис. 1.26. Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Если оси симметрии эллипса параллельны координатным осям Ox и Oy , то его уравнение имеет вид

где x0 и y0 координаты центра эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и

F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если выбрать систему координат, у которой начало расположено в середине отрезка F1F2 , и ось OX сонаправлена вектору OF2 , то уравнение гиперболы имеет вид

где а и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы соответственно.

Уравнение (1.33) называется каноническим уравнением гиперболы.

31

Исследуем форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (1.33) содержит координаты x и y только в четных степенях. Следовательно, гипербола – кривая, которая симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки O(0;0), которую называют центром ги-

перболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив y = 0 в уравнении (1.33), находим две точки A2 (−a;0) и A1 (a;0), в которых ось

Ox пересекает гиперболу. Положив x = 0 в (1.33), получаем y2 = −b2 . Так как

квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не извлекается, то можно сделать вывод: гипербола, описываемая уравнени-

ем (1.33), ось Oy не пересекает.

Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, отрезок A1A2 = 2a –

действительной осью, а отрезок OA1 =OA2 = a – действительной полуосью

гиперболы.

Отрезок B1B2 = 2b , соединяющий точки B1 (0;b) и B2 (0;−b) называется

мнимой осью, а число b – мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а

и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

−a ≥ x ≥ a . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x = −a (левая ветвь гиперболы).

x2 − y2

4. Разность a2 b2 сохраняет постоянное значение, равное единице.

Следовательно, при возрастании x возрастает и y .

5. Чтобы более ясно представить себе вид гиперболы необходимо рассмотреть две прямые, связанные с нею – так называемые асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки M (x; y), лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном

удалении этой точки по кривой от начала координат.

Покажем, что гипербола x2 − y2 =1 имеет две асимптоты a2 b2

32

Так как прямые (1.34) и гипербола (1.33) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий,

которые расположены в первой четверти. Возьмем на прямой y = ba x точку N,

Рис. 1.27. Асимптота гиперболы в I координатной четверти

Из последней формулы видно, что при неограниченном возрастании абсциссы х расстояние MN убывает и стремится к нулю. Так как MN больше рас-

33

стояния d от точки М до прямой y = ba x , то d тем более стремится к нулю. Та-

ким образом, прямые y = ± ba x являются асимптотами гиперболы.

Из выше сказанного следует, что гипербола, описываемая уравнением (1.33), имеет форму, изображенную на рис. 1.28.

При построении гиперболы (1.33) обычно сначала строят ее вершины A1 и A2 и ее основной прямоугольник, а затем проводят прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника – асимптоты гиперболы.

Рис. 1.28. Гипербола

Также как и у эллипса, фокусы гиперболы обозначены через F1 и F2

(рис. 1.28), расстояние между которыми равно 2с, где фокусное расстояние с определяется по следующей формуле

c = a2 +b2

34

Пусть M (x; y) – произвольная точка гиперболы (см. рис. 1.28). Длины отрезков F1M = r1 и F2M = r2 также как и у эллипса называются фокальными радиусами точки M (x; y). Из определения гиперболы следует, что

r2 − r1 = 2a < 2c .

Форму гиперболы характеризует отношение

ac =ε ,

называемое эксцентриситетом, причем у гиперболы ε >1, так как c > a . Чем меньше величина ε , тем более вытянут основной прямоугольник гиперболы.

Если a =b , получаем равнобочную гиперболу: x2 − y2 = a2 . Ее асимптотами будут прямые y = ±x , т.е. биссектрисы координатных углов.

Если оси симметрии гиперболы параллельны координатным осям Ox и Oy , то ее уравнение имеет вид

где x0 и y0 координаты центра гиперболы.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных

от некоторой точки плоскости, называемой фокусом, и некоторой прямой,

называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, прохо-

дящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, и будем считать ось Ox

направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой. Расстояние от фокуса F до дирек-

трисы называется параметром параболы и обозначается через р ( p > 0 ). Ко-

35

у

Рис. 1.29. Вывод уравнения параболы

Пусть M (x; y) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F и

проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе (см. рис. 1.29). По определению параболы имеем MN = MF . Применяя формулу расстояния между

двумя точками, находим

Следовательно,

Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение параболы в выбранной системе координат:

откуда

36

Уравнение (1.35) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем форму параболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1.В уравнение (1.35) координата y входит в четной степени. Значит, парабола – кривая, которая симметрична относительно оси Ox , а ось Ox являет-

ся осью симметрии параболы.

2.При x = 0 имеем y = 0 . Следовательно, парабола проходит через нача-

ло координат. Точка O(0;0) называется вершиной параболы (1.35).

3.Так как p > 0 , то из уравнения (1.35) следует, что x ≥ 0 . Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy .

4.При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно воз-

растает.

Из выше сказанного следует, что парабола, описываемая уравнением (1.35), имеет форму, изображенную на рис. 1.30.

Отрезок MF = r (рис. 1.30) называется фокальным радиусом точки

M (x; y).

Уравнения

y2 = −2 px , x2 = −2 py и x2 = 2 py (p > 0)

также определяют параболы, вид которых изображен на рис.1.31 – 1.33.

37

4x2 +9 y2 −32x +18y +37 = 4(x2 −8x)+9(y2 + 2 y)+37 =

=4(x2 − 2x 4 + 42 − 42 )+9(y2 + 2 y 1+12 −12 )+37 =

=4((x − 4)2 − 42 )+9((y +1)2 −12 )+37 = 4(x − 4)2 −64 +9(y +1)2 −9 +37 = 0.

иокончательно

4(x − 4)2 +9(y +1)2 = 36.

Разделив полученное уравнение на 36, и обозначив x − 4 = X и y +1 =Y ,

получим

X 2 + Y 2 =1. 9 4

Следовательно, исходная кривая второго порядка является эллипсом, полуоси которого равны a = 3 и b = 2 . Центр эллипса находится в точке O(4;−1)

(рис. 1.34)

Y

х

O(4;−1) Х

Рис. 1.34. Эллипс

1.3. Аналитическая геометрия в пространстве

Уравнением поверхности (рис. 1.35) в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F (x; y; z)= 0 с тремя переменными

х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки M (x; y; z), ле-

жащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

39

z

M (x; y; z )

Рис. 1.35. Поверхность F (x; y; z)= 0

Простейшей поверхностью является плоскость. Она является поверхностью первого порядка. В пространстве плоскость можно задать различными способами и каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

1.3.1. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору

Пусть в пространстве плоскость Q задана точкой M0 (x0; y0; z0 ) и вектором N {A; B;C}, перпендикулярным этой плоскости (рис. 1.36). Вектор

N {A; B;C} называется нормальным вектором плоскости.

Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M (x; y; z) и рассмотрим вектор M0M {x − x0; y − y0; z − z0} (см. рис. 1.36). При

любом расположении точки М на плоскости Q векторы N и M0M ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: N M0M = 0 или, применив формулу (1.8), получим

Уравнение (1.36) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0; y0; z0 ) ортогонально данному вектору N {A; B;C}.

40