Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

		x′y′′2	− x′′2 y′
		x′y′′2	− x′′2 y′
K =		t t	t	t		.	(5.5)

					3
	(xt′)2 +(yt′)2 2

Если линия задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ), то

K =	ρ2 + 2(ρϕ′ )2 − ρρϕ′′2				.	(5.6)
	ρ2 + 2(ρϕ′ )2 − ρρϕ′′2

				3
				3
		ρ2	+(ρϕ′	)2 2

5.3. Радиус и центр кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Величина R, обратная кривизне K линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке

			3
R =	1	=	1+(y′)2 2		.	(5.7)
	K			y′′

Отметим, что для окружности радиус кривизны совпадает с ее радиусом. Проведем в точке М нормаль к кривой y = f (x), направленную в сторону

вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок MO , равный радиусу R кривизны кривой y = f (x) в точке М (рис. 5.5).

Точка О называется центром кривизны данной кривой в точке М, а круг радиуса R с центром в точке О, проходящий через точку М, называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Совокупность всех центров кривизны точек данной линии образует новую линию, называемую эволютой данной линии.

По отношению к своей эволюте исходная кривая называется эвольвентой (в переводе с лат. «развертка»).

151

M (x; y)

R = K1

y = f (x)

Рис. 5.5. Радиус, центр и круг кривизны линии в точке М графика функции y = f (x)

152

6.ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

6.1.Расчетно-графическая работа 1 «аналитическая геометрия»

ВРГР 1 входят три задачи с общими для всех 30 вариантов условиями, но разными исходными данными.

Задача 1. Для треугольника АВС определить:

●уравнения сторон АВ, АС, ВС;

●углы в треугольнике;

● периметр АВС;

●уравнение и длину высоты АН, опущенной из вершины А;

●площадь треугольника.

Варианты:

1.	А(4;–3),	В(2;4),	С(–1;2);
2.	А(–3;–2),	В(5;1),	С(1;– 4);
3.	А(1;5),	В(–3;2),	С(1;3);
4.	А(–3;–2),	В(–1;4),	С(4;2);
5.	А(–5;1),	В(–1;2),	С(–3;–2);
6.	А(1;– 4),	В(5;–1),	С(–2;3);
7.	А(1;–2),	В(4;1),	С(0;4);
8.	А(–1;– 4),	В(4;1),	С(–1;2);
9.	А(–3;2),	В(2;3),	С(–1;– 4);
10.	А(–1;3),	В(4;1),	С(0;–3);
11.	А(4;0),	В(–1;–3),	С(–2;– 6);
12.	А(– 4;0),	В(2;3),	С(1;–2);
13.	А(–3;1),	В(2;2),	С(0;–2);
14.	А(4;2),	В(–2;3),	С(1;–2);
15.	А(5;1),	В(1;6),	С(–2;0);
16.	А(– 6;2),	В(2;3),	С(1;– 4);
17.	А(–3;– 4),	В(–1;3),	С(4;1);
18.	А(–1;–3),	В(– 6;2),	С(2;3);
19.	А(5;3),	В(– 4;2),	С(3;– 4);
20.	А(4;–3),	В(–3;– 4),	С(–1;4);
21.	А(– 4;– 4),	В(3;3),	С(5;–2);
22.	А(– 6;–1),	В(5;2),	С(–1;1);
23.	А(–1;–5),	В(1;–3),	С(–2;6);

153

24.	А(– 4;1),	В(4;–1),	С(1;–2);
25.	А(–1;5),	В(6;1),	С(1;–1);
26.	А(– 6;–2),	В(–1;8),	С(6;1);
27.	А(–3;3),	В(5;6),	С(1;– 4);
28.	А(– 4;4),	В(–1;–5),	С(4;–2);
29.	А(2;2),	В(– 4;3),	С(–1;– 6);
30.	А(–3;– 4),	В(6;1),	С(2;– 6).

Задача 2. Уравнение кривой второго порядка привести к каноническому виду. Сделать чертеж в системе координат xOy . Определить ко-

		ординаты вершин и фокусов.
	Варианты:
1.	3x2 + 4 y2 −12x +16 y = 0 .		16.	2x2 − 4 y2 +16x − 25 = 0.
2.	5x2 −6 y2 + 20x −12 y = 0 .		17.	−2x2 + 4 y2 +8x −8y = 0 .
3.	−8x2 + 2 y2 +16x −10 y = 0 .		18.	x2 + 4 y2 −8x +8y + 2 = 0 .
4. 12x2 −8y2 + 24 y −36x = 0 .			19.	3x2 + 6x − y2 + 2 y + 4 = 0 .
5.	4x2 +12 y2 −8x + 24 y = 0 .		20.	4x2 − y2 − 4x −6 y = 6 .
6.	−x2 + 4 y2 + 4x −16 y =8.		21.	y2 −6x2 +18x + 2 y = 0 .
7.	x2 +8y2 −12x −16 y + 2 = 0.		22.	x2 − y2 + 4x −6 y = 0 .
8.	2x2 −8y2 −6x +16 y = 0 .		23.	4x2 + y2 +12x − 4 y = 0 .
9.	−8x2 +6 y2 −16x +12 y = 0 .		24.	x2 + 4 y2 −6x + 4 y = 0 .
10.		6x2 −8y2 − 24x +16 y = 0 .	25.	6x2 −8y2 +12x + 24 y = 6 .
11.		2x2 −6 y2 −12x −12 y + 4 = 0 .	26.	−4x2 −8y2 +8x −16 y = 0 .
12.		−3x2 −6 y2 +12x + 24 y = 0 .	27.	2x2 −4 y2 −6x +8y =5 .
13.		4x2 + 6 y2 +8x − 24 y = 0 .	28.	−x2 + 4 y2 − 2x +16 y = 4 .
14.		3x2 − y2 −12x + 2 y = 0 .	29.	−4x2 − y2 +8x − 2 y = 0 .
15.		x2 +3y2 −6x +12 y =1.	30.	2x2 −6 y2 +6x −12 y = 6 .

Задача 3. Для пирамиды ABCD определить:

●уравнения граней;

●угол между гранями ABC и ABD;

●объем.

Варианты:

A (4,2,5),

B (0,7,2),

C (0,2,7),

D (1,5,0);

154

2.	A (4,4,10),	B (4,10,2),	C (2,8,4),	D (9,6,4);
3.	A (4,6,5),	B (6,9,4),	C (2,10,10),	D (7,5,9);
4.	A (3,5,4),	B (8,7,4),	C (5,10,4),	D (4,7,8);
5.	A (10,6,6),	B (–2,8,2),	C (6,8,9;),	D (7,10,3);
6.	A (1,8,2),	B (5,2,6),	C (5,7,4),	D (4,10,9);
7.	A (6,6,5),	B (4,9,5),	C (4,6,11),	D (6,9,4);
8.	A (7,2,2),	B (5,7,7),	C (5,6,8),	D (8,10,7);
9.	A (8,6,4),	B (10,5,5),	C (5,3,1),	D (2,3,7);
10.	A (7,7,3),	B (6,5,8),	C (3,5,8),	D (8,4,1);
11.	A (3,5,4),	B (5,8,3;),	C (1,9,9),	D (6,4,8);
12.	A (9,5,5),	B (–3,7,1),	C (5,7,8),	D (6,9,2);
13.	A (0,7,1),	B (4,1,5),	C (4,6,3),	D (3,9,8);
14.	A (6,1,1),	B (4,6,6),	C (4,2,0),	D (1,2,6);
15.	A (2,4,3),	B (4,7,2),	C (0,8,8),	D (5,6,11);
16.	A (8,4,4),	B (– 4,6,0),	C (4,6,7),	D (5,8,1);
17.	A (–1,6,0),	B (3,0,4),	C (3,5,2),	D (0,1,5);
18.	A (5,0,1),	B (3,5,5),	C (3,1,–1),	D (2,8,7);
19.	A (1,–1,2),	B (–3,4,–1),	C (–3,–1,4),	D (–2,2,3);
20.	A (1,3,2),	B (3,6,1),	C (–1,7,7),	D (4,2,6);
21.	A (–2,5,–1),	B (2,4,4),	C (2,4,1),	D (1,7,6);
22.	A (4,–1,1),	B (2,1,3),	C (2,4,1),	D (4,7,0);
23.	A (0,2,1),	B (2,5,0),	C (–2,6,6),	D (3,1,5);
24.	A (6,2,2),	B (– 6,4,2),	C (2,4,5),	D (3,6,–1);
25.	A (–3,4,–2),	B (1,–2,2),	C (1,3,0),	D (0,6,5);
26.	A (1,4,7),	B (–2,4,1),	C (– 4,0,2),	D (8,–1,5);
27.	A (1,5,0),	B (0,2,7),	C (0,7,2),	D (4,2,5);
28.	A (9,6,4),	B (2,8,4),	C (4,10,2),	D (3,4,10);
29.	A (7,5,9),	B (2,7,10),	C (6,9,4),	D (4,6,5);
30.	A (4,7,8),	B (5,10,4),	C (8,7,4),	D (3,5,4);

6.2. Расчетно-графическая работа 2 «дифференциальное исчисление»

РГР 2 включает три задачи с общими для всех 30 вариантов условиями, но разными исходными данными.

155

Задача 1. Продифференцировать функции.

Варианты:

1.		x3 −63	x2 + 7
а)	y =						,
а)	y =	3x	−1				,
		3x	−1
б)	y =(ln 2x +1)e−x ,
в)	y =	1 tg2 3x ,
		2
г)	y = 4 − 4 x2 − 4x ,
д)	y = arcsin 2 .
3. а)		x
3. а)	y =	3 −3x + x3			,
		2x −	x
б)	y =(4 −3ln x)e−2x ,
в)	y = 2cos2 (		6x + 2),
г)	y = 63 (2x −3)2 ,
д)	y = arcsin (x +1).
5.		(2x −1)2
а)	y =			,
а)	y =	x3 −3	x	,
б)	y =(ln 7x +1)e3x ,
в)	y = 4sin (x2 + 2),
г)	y = 3 x2 − x +1 ,
д)	y = arccos x2 .
7.	y =	x4 −4	x +1			,
а)
а)		(3x −1)2
		(3x −1)2
б)	y =(2 −log3 x)e−4x ,
в)	y = 2cos3 (2x +3),
г)	y = 63 x3 −3x +3 ,

y =

124 x3

− x2 − 4

а)

+ 2x

б)

y =(e2x − 2)ln3x ,

в)

y = 4sin (3x −1),

г)

y =

2 +1

д)

y =

1 arctg

4. а)

y =

3x2 + 63 x ,

2x2 −5

б)

y =(2x + e−x )ln (x −3),

в)

y =3ctg2 (x +3),

г)

y =

+ 4x

д)

y = arctg(3x − 2).

y =

x − x3 + x

а)

2x3

−7

б)

y =(ex+1 − 4)log2 3x ,

в)

y =5sin (

x −1),

г)

y =

3 1−3x4

д)

y = arctg4x2 .

y =

6 −63

x2 + x2

а)

(2x

−1)2

б)

y =(3 −ex2 )ln5x ,

в)

y = 3tg(x3 −3x),

г)

y =

3x2 + 6x

156

д)

y = 2arcsin

sin x −84 x3

а)

y =

−

2x3

б)

y =(ln x −3)e2x+4 ,

в)

y =

1 sin (x3 +3),

г)

y =

1− 4x3

д)

y = arctg (−x2 ).

11.

2x −

а)

y =

x +

3 x

б)

y = ln (2x2 −1)e2x2 ,

в)

y =3ctg(3 x −1),

г)

y = 3 (2x2 −5)2 ,

д)

y = 12 arcsin (1− x2 ).

13.

y =

+ x2

а)

2(2

3 x − x3 )

б)

y = (1+ e−x )ln (x3 ),

в)

y =

sin 2x ,

г)

y = 7 14x − 2x7 ,

д)

y = arctgex .

15.

y =

105

x2 −3x3

а)

2x −33 x4

б)

y = e4−x (ln 2x +5),

д)

y = arccos(2x −1).

10.

5 − 44

x3 +3x2

а)

y =

2x − x3

б)

y =(esin x − 2)ln x ,

в)

y = cos2 (4x + 2),

г)

y = 205 x4 +3x2 −7 ,

д)

y = arctg 3 .

12.

2x −33 x2

а)

y =

1− x5

б)

y =(2 −e−3x )ln x2 ,

в)

y = 14 sin (1− 2x2 ),

г)

y =

3 6 −3x + x3

д)

y =

1 arcsin 4x2 .

14.

y = 6x

− x

+3 ,

а)

63 x2 − x

б)

y =(1−ln (x3 ))e−2x+4 ,

в)

y =

1 cos(4x − x2 ),

г)

y =

3 3x2

−6x

д)

y = arcsin

(1−3x).

16.

y = 2x

−

+7 ,

а)

84 x5 − 2x

б)

y =(ex2 + x3 )ln (1− 2x),

157

в)	y =		1 cos3	(x −3),
		3
г)	y = 6 (x2 −6x +1)3 ,
д)	y = arcsin (1− 2x).
17.	y =		4x2 −55 x7						,
а)			1−63 x

б)	y = ln (1− 2x2 )e4−3x ,
в)	y = 4cos6 (2x − 4),
г)	y =	1				,

			1−e2x
д)	y = arccos				1		.

19.					x2
		123 x4 − 2x							4
а)	y =										,
			3x +155 x
б)	y =(ln x −3x)e3x ,
в)	y = cos(tg3x),
г)	y = 3 sin2 x + 4 ,
д)	y = arccos x3 ,
21.			x4 − 205 x4
а)	y =									,
			4 x + x2
б)	y =(e−3x + x3 )ln 3 x ,
в)	y = sin (2ex ),
г)	y =		4 x + x2 ,
д)	y = arctg6x3 .
23.			3 5x4 − x4
а)	y =
								,
			4 + 63 2x

в)

y = 4tg3x2 ,

y =

г)

(1+ 2x −3x3 )

д)

y = arctg(2 −3x).

18.

y =

6x −10

а)

(2x −3)4

б)

y =(4x −e−8x )ln (5x −1),

в)

y = ln (cos2x),

г)

y =

1 4

(x3 −3x)3 ,

д)

y = arctg

4 .

20.

y =

4x − x

а)

93 x − x3

б)

y = e1−x2 ln (2x + x2 ),

в)

y = ln (tg2x),

г)

y =

1−

д)

y = arcsin (1+ x3 ).

22.

y =

1 −63 x2 +

а)

x3 −

б)

y =(e x + x )ln x ,

в)

y = lg(1 −cos2x),

г)

y =

x +5x

д)

y = arcsin (2x +1).

24.

а) y =

4x2 −63 x

7x3 +3x7

158

б)

y = ln x3 (x2 −e−x ),

в)

y = cos(ln (−3x)),

г)

y = 6 − 3 4x2 ,

д)

y = arcsin

25.

y =

− 2x

а)

23 x +3

б)

y =(2x2 −e4x )ln (1 − 4x),

в)

y = tg(ln x),

г)

y = 3 e3x + x3 ,

д)

y = arctg

27.

y =

16 + x4

3 x

а)

123 x5 −10x7

б)

y = ex2 +2 ln 5x ,

в)

y = cos(e3x ),

г)

y = 3 ex3 − x3 ,

д)

y = arctg5

x .

29.

6x2 −93 x7

а)

y =

5x −55 x ,

б)

y = ln (4x3 )(4 −e−4x ),

в)

y = tg 2 (4 −5x),

г)

y =

− x ,

д)

y = arcsin 4

x .

б)

y = ln (1− x3 )(ex − x3 ),

в)

y = cos(2sin x),

г)

y =

3 6 −

д)

y = arccos3x2 .

26.

+15

а)

y =

+3x

105 x2 −510 x9

б)

y = ln (x2 +3)e−x3 ,

в)

y = ln (4cos4x),

г)

y =

x2 −ex

д)

y = arcsin

x .

28.

x +33 x

а)

y =

(x3 − 2x5 )2

б)

y =(4x2 + e−x )ln3x ,

в)

y = tg(e2x ),

y =

г)

(1−e−x )

д)

y = arctg

4 − x

30.

147 x3 −3x2

а)

y =

(2 −3x2 )2

б)

y =(15x −3e5x )ln (15 −5x),

в)

y = cos4

x ,

г)

y =

4 x2 + 4 x

д)

y = arccos 3 x2 .

159

Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой x = x0 .

Варианты:

1.y = 4x −2 x2 ,

3.y = 2x − x3 ,

5. y = 2x + x3 ,

7.y =1 +x x ,

9.y =1−3x +3x2 ,

11.	y =33 x +					x ,
13.	y = 2x3 −3x ,
15.	y = 2x +			1		,
				x
17.	y =	x5	+1		,

		x3	+	1

19.	y =3(3 x − 2 x ),

21. y = 2x2x+1 , 23. y =1+2xx2 ,

25. y = x2 +3 ,

1+3x

27. y =55 x −34 x ,

29. y = x4 + 3 ,

10 x

x0 = 2 .

x0 = −1.

x0 =1.

x0 = 4 .

x0 =1.

x0 = 64 .

x0 = −1.

x0 =1.

x0 = 2 .

x0 =1.

x0 = −1.

x0 = 4 .

x0 =1.

x0 = −2 .

2.	y = 2x2 +5x − 2 ,								x0 = −2 .
4.	y = x3 −8 x −32 ,								x0 =1.
6.	y = 23 x2 −10 ,								x0 = −8 .
8.	y = 44 x −60 ,								x0 =16 .
10.	y =		x2 −3x + 6					,	x0 = 2 .

				x2
12.	y =		x3 + 2		,				x0 = −2 .
			x3 −1

14.	y =		x2 + 6		,				x0 = −1.
			x4 +1

16.	y = −			x8 +3			,		x0 =1.

				1− 2x
18.	y =		x16 +9			,			x0 =1.

		1− 2x5
20.	y =			1	,				x0 = 2 .
		2		+5x

22.	y =		x2 + 2		,				x0 = −3.

				2x	x + 3 x2 ),
24.	y = −2(3								x0 =1.
26.	y = 4			x −123 x +1,					x0 =1.
28.	y = 2x3 −3x ,								x0 = −1.
				3
30.	y =16 4 x −33 x ,								x =1.
		3							0

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1716 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика