Методическое пособие 704
.pdf
398. Линейный оператор A , действующий в унитарном пространстве, имеет в ортонормированном базисе e1, e2 мат-
рицу |
|
2 |
1 i |
. Найдите матрицу сопряженного опера- |
||||||||
Ae |
|
|
||||||||||
|
|
1 i |
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора |
A* в базисе |
f , f |
2 |
, если |
f |
e |
e , |
f |
2 |
e |
ie . Является |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
||
ли оператор A* эрмитовым?
399. Выясните, является ли эрмитовым оператор A , если в некотором ортонормированном базисе он имеет матрицу:
|
|
1 |
|
|
2 3i |
i |
|
|
1) |
2 3i |
|
3 |
2 i ; |
|
|||
|
|
i |
|
|
2 i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
|
5 |
i |
; |
4) |
0 |
1 |
; |
|
i |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2i |
|
|
|
1 |
2 3i |
i |
|
|
2) |
2 3i |
|
3 |
2 i ; |
|
|
i |
2 |
i |
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
1 i |
0 |
|
|
5) 1 i |
3 |
i . |
|
||
|
0 |
i |
1 |
|
|
|
|
|
|||
400.Выясните, при каких условиях диагональная матрица будет ортогональной.
401.Выясните, является ли унитарным линейный оператор A , имеющий в ортонормированном базисе унитарного про-
странства матрицу:
|
1 |
|
1 |
i |
|
|
1 |
i |
0 |
|
||
1) |
|
; |
2) |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
0 1 |
0 |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||
402. Докажите, что если один и тот же вектор x является собственным для линейного оператора A и сопряженного
оператора A* с собственными значениями 1 и 2 соответ-
ственно, то 1 2 .
403. Докажите, что если подпространство L инвариантно относительно линейного оператора A , то ортогональное до-
полнение L инвариантно относительно сопряженного оператора A* .
71
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
404. Запишите матрицу данной квадратичной формы:
1) |
f (x , x ) x2 |
2x2 |
x x |
; |
2) |
f (x , x ) x2 |
2x x |
2 |
; |
|||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
3)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 4x22 4x32 5x1x2 3x1x3 x2 x3 ;
4)f (x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 x42 2x2 x4 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
405. |
Запишите квадратичную форму в виде aij xi x j , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
если дана ее матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
4 |
|||
1) |
2) |
|
0 |
2 |
3 |
|
||||
|
3 |
; |
|
. |
||||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
406.Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, укажите соответствующий канонический базис. Найдите положительный и отрицательный индекс инерции:
1)f (x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;
2)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 x22 4x1x2 4x2 x3 ;
3)f (x1, x2 , x3 ) 2x12 5x22 5x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ;
4)f (x1, x2 , x3 ) 6x12 5x22 7x32 4x1x2 4x1x3 ;
5)f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 ;
6)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3 .
407.Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование переменных:
1)f (x1, x2 , x3 ) x12 5x22 4x32 2x1x2 4x1x3 ;
2)f (x1, x2 , x3 ) 4x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 3x2 x3 .
72
408. Определите, является ли данная квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной:
1)9x12 6x22 6x32 12x1x2 10x1x3 2x2 x3 ;
2)12x1x2 12x1x3 6x2 x3 11x12 6x22 6x32 ;
3) x2 |
15x2 4x x 2x x 6x x ; 4) |
4x2 2x2 2x x 2x x 2x x |
; |
|||||||||||||||
1 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
5) 4x2 |
x2 |
2x x 2x x 2x x ; 6) |
x2 |
4x2 |
4x2 |
8x2 |
8x x |
; |
|
|
||||||||
|
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
7)2x42 x1x2 x1x3 2x2 x3 2x2 x4 .
409.Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена:
1)5x12 x22 x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
2)2x12 x22 3x32 2 x1x2 2x1x3 ;
3)x12 x22 5x32 2 x1x2 2x1x3 4x2 x3 ;
4)x12 4x22 x32 2 x1x2 10x1x3 6x2 x3 .
410.Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма отрицательно определена:
1)x12 x22 3x32 2x1x2 2x1x3 4x2 x3 ;
2)x12 x22 ( 3)x32 2x1x2 2 x1x3 2x2 x3 ;
3)2x12 8x22 3x32 2 x1x2 4x1x3 2 x2 x3 ;
4)2x12 5x22 x32 6x1x2 6x1x3 10x2 x3 .
411.Докажите, что для квадратичной формы f (x1,..., xn )
над |
следующие утверждения эквивалентны: |
(а) f |
отрицательно определена; |
(б) отрицательный индекс инерции f равен n ;
(в) в матрице квадратичной формы все главные угловые миноры нечетного порядка – отрицательны, а четного порядка - положительны.
412. Докажите, что квадрат длины вектора | x |2 в n -мерном
евклидовом пространстве является положительно определенной квадратичной формой.
73
ЧАСТЬ 2. ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
При выполнении и оформлении заданий типовых расчетов необходимо соблюдать следующие правила.
1.Вариант назначается преподавателем. Как правило, вариант постоянный и совпадает с порядковым номером студента в академической группе.
2.Работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку. На внешней обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер группы, номер варианта.
3.Задания выполняются шариковой или гелевой ручкой (не карандашом). В тетради должны быть поля для замечаний преподавателя.
4.Каждое задание выполняется с новой страницы. Задания нумеруются, причем номер задания должен соответствовать его номеру в задачнике. Условие задачи необходимо переписать, а затем привести ее решение. Решение каждой задачи необходимо заканчивать записью ответа.
5.Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными, аккуратными, без сокращения слов. Для задач по аналитической геометрии надо сделать поясняющий рисунок.
6.Все вычисления, в том числе и вспомогательные, необходимо делать полностью. Вычисления нужно производить по возможности точно в обыкновенных или десятичных дробях, не делать округлений в промежуточных вычислениях.
7.Типовой расчет должен быть сдан преподавателю в установленные сроки. Кроме того, типовой расчет должен быть защищен в письменном или устном виде (по указанию преподавателя).
74
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЗАДАЧА 1. Векторы c и d построены по данным векторам a и b . Выясните (аналитически и геометрически) являются ли векторы c , d коллинеарными, ортогональными.
1) |
a (1, 2) , |
b (3, 0) , |
c 2a 4b , |
d 3a 4b ; |
|||
2) |
a (1, 2) , |
b (3, 4) , |
c 2a 4b , |
d 3a 2b ; |
|||
3) |
a (2, 3) , |
b ( 3, 5) , |
c a 4b , |
d 3a 3b ; |
|||
4) |
a (3, 4) , |
b ( 5, 2) , |
c a 4b , |
d 3a 3b ; |
|||
5) |
a ( 5, 2) , |
b ( 3, 4) , |
c 2a b , |
d 2a 5b ; |
|||
6) |
a ( 4, 3) , |
b (0, 10), c 2a b , |
d 2a b ; |
||||
7) |
a (4, 2) , |
b ( 5, 6) , |
c a 3b , |
d 2a 3b ; |
|||
8) |
a ( 4, 5) , |
b ( 1, 5) , |
c a 3b , |
d 2a 3b ; |
|||
9) |
a ( 5, 3) , |
b (3, 4) , |
c a 3b , |
d 4a 3b ; |
|||
10) |
a ( 3, 2) , |
|
b ( 4, 5) , |
c a 3b , |
|
d 3a 2b ; |
11) |
a ( 2, 3) , |
|
b (1, 2) , c 3a b , |
d 5a 2b ; |
||
12) |
a (2, 3) , |
b ( 4, 2) , |
c 3a b , |
d a 5b ; |
||
13) |
a ( 3, 1) , |
b (5, 3) , |
c 2a 4b , |
d 2a 3b ; |
||
14) |
a ( 4, 2) , |
|
b (2, 3) , |
c 3a b , |
d 3a 3b ; |
|
15) |
a (2, 4) , |
b ( 4, 2) , c 2a 4b , |
d 2a 5b ; |
|||
16) |
a ( 3, 5) , |
|
b ( 5, 6) , |
c 2a 4b , |
|
d 3a b ; |
17) |
a (2, 3) , |
|
b (6, 4) , |
c a 4b , |
d 2a 3b ; |
|
18) |
a (5, 2) , |
|
b ( 5, 8) , |
c a 4b , |
d 3a 2b ; |
|
19) |
a ( 3, 2) , |
b ( 4, 5) , c 2a b , |
d 4a 3b ; |
|||
20) |
a (2, 6) , |
b ( 5, 2) , |
c 2a b , |
d 4a 2b . |
||
75
ЗАДАЧА 2. Найдите скалярное произведение векторов a и
b , |
построенных по векторам p |
и q , если известны длины |
||||||
векторов p и q и угол между ними. |
|
|
||||||
1) |
a 3 p q , |
b p 2q , |
|
| p | 4 , |
| q | 1 , |
( p, q) 4 ; |
||
2) |
a p 3q , |
b p 2q , |
|
| p | 1 5 , |
| q | 1 , |
( p, q) 2 ; |
||
3) |
a 3 p 2q , |
b p 5q , |
| p | 4 , |
| q | 1 2 , |
( p, q) 5 6 ; |
|||
4) |
a p 2q , |
b 2 p q , |
|
| p | 2 , |
|
| q | 3 , |
( p, q) 3 4 ; |
|
5) |
a p 3q , |
b p 2q , |
|
| p | 2 , |
| q | 3 , |
( p, q) 3 ; |
||
6) |
a 2 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 3 , |
| q | 2 , |
( p, q) 2 ; |
||
7) |
a 4 p q , |
b p q , |
| p | 7 , |
| q | 2 , |
( p, q) 4 ; |
|||
8) |
a p 4q , |
b 3 p q , |
|
| p | 1, |
| q | 2 , |
( p, q) 6 ; |
||
9) |
a p 4q , |
b 2 p q , |
|
| p | 7 , |
|
| q | 2 , |
( p, q) 3 ; |
|
10) |
a 7 p 2q , |
b p 3q , |
| p | 1 |
2 , | q | 2 , ( p, q) 2 ; |
|||
11) |
a 6 p q , |
b p q , |
| p | 3 , |
| q | 4 , |
( p, q) 4 ; |
||
12) |
a 10 p q , |
b 3 p 2q , | p | 4 , | q | 1 , |
( p, q) 6 ; |
||||
13) |
a 6 p q , |
b p 2q , |
|
| p | 8 , |
| q | 1 2 , |
( p, q) 3 ; |
|
14) |
a 3 p 4q , |
b q p , |
|
| p | 2, 5 , | q | 2 , |
( p, q) 2 ; |
||
15) |
a 5 p q , |
b p q , |
| |
p | 5 , |
| q | 3 , |
( p, q) 5 6 ; |
|
16) |
a 3 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 7 , |
| q | 2 , |
( p, q) 4 ; |
|
17) |
a p 3q , |
b 3 p q , |
|
| p | 3 , |
| q | 5 , |
( p, q) 2 3 ; |
|
18) |
a 7 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 3 , |
| q | 1 , |
( p, q) 3 4 ; |
|
19) |
a 5 p q , |
b p 3q , |
|
| p | 1, |
| q | 2 , |
( p, q) 3 ; |
|
20) |
a 2 p 3q , |
b 3 p q , |
| p | 4 , | q | 1 , |
( p, q) 6 . |
|||
76
ЗАДАЧА 3. Найдите скалярное и векторное произведение векторов c 2a b и d a 3b , построенных по данным векторам a и b .
1) |
a ( 2,1,1) , b (3, 2, 4) ; |
2) |
a (1, 2, 4) , b (2, 1, 3) ; |
||
3) |
a (5, 2, 2) , b (3, 3, 4) ; |
4) |
a (2, 2,1) , b ( 2, 3, 0) ; |
||
5) |
a (2, 4,1) , b (3,1, 2) ; |
6) |
a ( 2,1,1) , b (0, 2, 5) ; |
||
7) |
a (0,1,1) , b (3, 1, 0) ; |
8) |
a (0, 1, 1) , b (1, 3,8) ; |
||
9) |
a ( 2,1, 0) , b (1, 0, 1) ; |
10) |
a (0,1,1) , b ( 3, 1,1) ; |
||
11) |
a ( 2,1,1) , b (1, 0, 1) ; |
12) |
a ( 2,1, 2) , b ( 1, 0, 3) ; |
||
13) |
a (1, 1, 1), b ( 2, 3, 1) ; |
14) |
a (2, 1, 3) , b (0,1,1) ; |
||
15) |
a (2,1, 2) , b ( 1, 0, 2) ; |
16) |
a (1, 1, 0), b (0, 3, 2) ; |
||
17) |
a (2,1, 0) , b (1,1, 3) ; |
18) |
a (2,1, 2) , b (0,1,1) ; |
||
19) |
a (1, 0, 1), b (0, 3, 1) ; |
20) |
a (0,1,1) , b ( 3, 1,1) . |
||
ЗАДАЧА 4. Выясните, компланарны ли данные векторы:
1) |
a (3, 7, 2) , |
|
b ( 2, 0, 1), c (2, 2,1) ; |
|||
2) |
a (1, 2, 6) , |
|
b (1, 0,1) , |
c (2, 6,17); |
||
3) |
a (6, 3, 4) , |
|
b ( 1, 2, 1) , |
c (2,1, 2) ; |
||
4) |
a (2, 3, 2) , |
|
b (4, 7, 5) , |
c (2, 0, 1) ; |
||
5) |
a (5, 3, 4) , |
|
b (1, 0, 1) , |
c (4, 2, 4) ; |
||
6) |
a (3,10, 5) , |
|
b ( 2, 2, 3) , |
c (2, 4, 3) ; |
||
7) |
a ( 2, 4, 3) , b (4, 3,1), |
c (6, 7, 4) ; |
||||
8) |
a (3,1, 1) , |
|
b (1, 0, 1) , |
c (8, 3, 2) ; |
||
9) |
a (4,1, 2) , |
b (9, 2, 5), c (1,1, 1) ; |
||||
10) |
a (5, 3, 4) , |
|
b (4, 3, 3) , |
c (9, 5, 8) ; |
||
11) |
a (7, 3, 4) , |
b ( 1, 2, 1) , |
c (4, 2, 4) ; |
|||
77
12) |
a (3, 4, 2) , |
b (1,1, 0) , |
c (8,11, 6) ; |
|
13) |
a (4, 1, 6), b (1, 3, 7) , |
c (2, 1, 4) ; |
||
14) |
a (3,1, 0) , |
b ( 5, 4, 5) , |
c (4, 2, 4) ; |
|
15) |
a (3, 0, 3) , |
b (8,1, 6), |
c (1,1, 1) ; |
|
16) |
a (1, 1, 4) , |
b (1, 0, 3), |
c (1, 3, 8) ; |
|
17) |
a (6, 3, 4) , |
b ( 1, 2, 1) , |
c (2,1, 2) ; |
|
18) |
a (4,1,1) , |
b ( 9, 4, 9) , |
c (6, 2, 6); |
|
19) |
a (3, 2,1) , |
b (1, 3, 7) , c (1, 2, 3) ; |
||
20) |
a (6, 7, 4) , |
b (4, 3,1), |
c (2, 0, 1) . |
|
ЗАДАЧА 5. Дан параллелограмм ABCD , три вершины которого заданы. Найдите четвертую вершину D и острый угол параллелограмма.
1) |
A( 1, 2, 3) , |
B( 4,1, 2) , |
C(5, 2, 7) ; |
2) |
A(1, 2, 3) , |
B(3, 4, 2) , |
C( 4, 3, 2) ; |
3) |
A(2, 3, 1) , |
B( 3, 5, 3) , |
C(4, 3, 4) ; |
4) |
A(3, 4, 2) , |
B( 5, 2, 3) , |
C( 1, 7, 2) ; |
5) |
A( 5, 2, 4) , |
B( 3, 4, 2) , |
C(6, 3, 3) ; |
6) |
A( 4, 3, 5) , |
B(2, 5, 6) , |
C( 2, 3, 5) ; |
7) |
A(4, 2, 3) , |
B( 5, 6, 4) , |
C( 2, 3, 4) ; |
8) |
A( 4, 5, 2) , |
B( 1, 5, 8) , |
C(3, 2, 4) ; |
9) |
A( 5, 3, 2) , |
B(3, 4, 5) , |
C(4, 2, 3) ; |
10) |
A( 3, 2, 6) , |
B( 4, 5, 2) , |
C(1, 3, 5) ; |
11) |
A( 2, 3, 1) , |
B(1, 2, 4) , |
C(2, 7, 5) ; |
12) A(2, 3,1) , |
B( 4, 2, 3) , |
C( 3, 2, 4) ; |
|
13) A( 3, 1, 2) , |
B(5, 3, 3) , |
C(3, 4, 4) ; |
|
14) |
A( 4, 2, 3) , |
B(2, 3, 5) , |
C(7, 2, 1) ; |
15) A(2, 4, 5) , |
B( 4, 2, 3) , |
C( 3, 3, 6) ; |
|
16) |
A( 3, 5, 4) , |
B( 5, 6, 2) , |
C(3, 5, 2) ; |
78
17) |
A(2, 3, 4) , |
B(6, 4, 5) , |
C( 3, 4, 2) ; |
18) |
A(5, 2, 4) , |
B( 5, 8, 1) , |
C( 2, 4, 3) ; |
19) |
A( 3, 2, 5) , |
B(4, 5, 3) , |
C(2, 3, 4) ; |
20) |
A(2, 6, 3) , |
B( 5, 2, 4) , |
C( 3, 5,1) . |
ЗАДАЧА 6. Даны вершины треугольника ABC . Найдите его площадь и косинус внутреннего угла B .
1) |
A( 1, 3, 3) , |
B(2, 2,1) , |
C(0, 3, 2) ; |
|
2) |
|
A( 3,1, 3), |
B(1, 7, 2) , |
C(7, 3, 3) ; |
3) |
|
A(0, 2,1), |
B(4, 0,1) , |
C(3, 4, 2) ; |
4) |
|
A( 1, 2,1), |
B( 4, 3,1) , |
C(5, 4, 2) ; |
5) |
|
A(2, 3, 1) , |
B( 3, 4,1) , |
C( 2, 2, 4) ; |
6) |
|
A(3, 4, 6), |
B(1, 2, 6) , |
C( 3, 5,1) ; |
7) |
|
A(4, 3, 2), |
B( 1, 4, 3) , |
C(6, 3, 2) ; |
8) |
|
A(0, 3, 4), |
B(1,1, 2) , |
C(5, 0, 4) ; |
9) |
|
A(2, 1, 0), |
B( 2,1,1) , |
C(2, 2, 1) ; |
10) |
A( 1, 7,1), |
B(3, 1, 2) , |
C( 5, 3,1) ; |
|
11) |
A(2, 3, 4), |
B( 4, 3, 0) , |
C(2, 6, 2) ; |
|
12) |
A(3, 2, 2) , |
B(0, 1, 3) , |
C(1, 2, 2) ; |
|
13) |
A(3, 4, 2) , |
B(2,1, 5) , |
C(5, 2, 2) ; |
|
14) |
A(5, 0, 4), |
B(4, 1,1) , |
C(7, 0, 2) ; |
|
15) |
A(2, 2, 2), |
B(3, 5, 7) , |
C(4,8, 0) ; |
|
16) |
A( 1, 2, 7), |
B(3,1, 4) , |
C(4, 5,1) ; |
|
17) |
A(2, 6, 4), |
B(1, 3, 3) , |
C(4, 4, 4) ; |
|
18) |
A( 1, 2, 0), |
B(1, 4, 5) , |
C( 4, 6, 3) ; |
|
19) |
A(2, 5, 2), |
B(1, 3, 2) , |
C(2, 3, 0) ; |
|
20) |
A(2,1, 5), |
B(1, 3, 2) , |
C(4, 5, 3) . |
|
79
ЗАДАЧА 7. Найдите уравнение прямой, проходящей через данные точки A и В. Преобразуйте полученное уравнение к виду: а) общему, б) каноническому, в) параметрическому, г) в отрезках, д) с угловым коэффициентом. Постройте прямую.
1) |
A( 1, 2) , |
B(4, 6) ; |
2) |
A( 3, 4) , |
B(11, 7) ; |
||
3) |
A( 2, 5) , |
B(8, 3) ; |
4) |
A( 1, 3) , |
B(4, 5) ; |
||
5) |
A( 5, 6) , |
B( 3, 2) ; |
6) |
A(1, 7) , |
B(2, 6) ; |
||
7) |
A(2, 6) , |
B(5, 3) ; |
8) |
A( 5, 7) , |
B(4,1) ; |
||
9) |
A(1, 4) , |
B( 1, 2) ; |
10) |
A( 4, 6) , |
B(5, 2) ; |
||
11) |
A(1, 7) , |
B(12, 5) ; |
12) |
A( 8, 3) , |
B(4, 6) ; |
||
13) |
A( 4, 6) , |
B(8, 3) ; |
14) |
A(1, 2) , |
B( 3, 4) ; |
||
15) |
A(6, 3) , |
B(1, 2) ; |
16) |
A( 1, 2) , |
B(5, 3) ; |
||
17) |
A( 2, 4) , |
B(4, 3) ; |
18) |
A(3, 5) , |
B(12, 5) ; |
||
19) |
A( 3, 7) , |
B(7, 8) ; |
20) |
A( 3, 4) , |
B(7, 5) . |
||
ЗАДАЧА 8. Найдите уравнение прямой, которая проходит через точку A и через точку пересечения двух данных прямых.
1) |
A(1, 2) , |
2x y 1 0 , |
x 3y 4 0 ; |
2) |
A(4, 3) , |
5x 2 y 1 0 , |
2x 3y 4 0 ; |
3) |
A(1, 1) , |
7x 2 y 5 0 , |
x 5 y 4 0 ; |
4) |
A(0, 3) , |
x 4 y 3 0 , |
x 5 y 4 0 ; |
5) |
A(2, 2) , |
3x 2 y 1 0 , |
x 3y 4 0 ; |
6) |
A( 2, 0) , |
2x 3y 5 0 , |
x 4 y 3 0 ; |
7) |
A(1, 2) , |
2x y 6 0 , |
3x 5 y 5 0 ; |
8) |
A(2,1) , |
2x y 3 0 , |
3x 5 y 11 0 ; |
9) |
A( 1, 3) , |
3x 2 y 5 0 , |
x 2 y 1 0 ; |
10) A(2, 3) , |
x y 2 0 , |
x 2 y 1 0 ; |
|
80